温控设备问题及答案

1 温控设备问题及答案温控设备问题及答案 在某一温控设备中有一水平放置的弹性圆柱形细杆 左端与壁垂直固联 以固联处为 坐标原点 梁的中心轴线位于 x 轴上 杆长 L 34mm 抗弯刚度 EI 1318 4 N mm2 牛 毫米平方 细杆右端与一竖直的钢臂相连 在臂的两端对称于细杆用两根水平放置的相同 弹簧 不受力时长度 L0 21mm 与壁相连 两弹簧之间距 h 11mm 设两根弹簧的刚性系数 k 与温度 T C 有关 当 T 在 35 C 到 60 C 之间时 k 0 034 0 061 1 sin 0 04 T 47 5 N mm 其他温度时刚性系数不变 即 T 60 C 时 k 0 156 N mm T 35 C 时 k 0 034 N mm 问题是 当上弹簧温度为 60 C 下弹簧温度为 35 C 时 画出细杆的中心轴线的形状并求出细 杆的中心轴线右端坐标 x0 y0 mm 以及转角 0 弧度 的数值 假定钢臂 钢臂与细杆的夹 角都没有形变 并且忽略重力及细杆的轴向形变 建立数学模型 设细杆的中心轴线弧长 s 为自变量 在坐标原点弧长为零 z 是曲线的切线的倾角 由力 学原理 两弹簧对弹性杆的拉力 F1 F2作用在点上 可归结为以下常微分方 sysx 程组的初值问题 1 d cos 0 0 d d sin 0 0 d d1 0 0 d x zx s y zy s z Mz sEI 其中 M 是两个弹簧的拉力 F1 F2作用在点上的总力矩 逆时针方向为正 由弹 sysx 性力作用在壁上和钢臂上是大小相等 方向相反 钢臂和细杆的夹角也是直角 如果把壁 当作钢臂 则由几何的对称性 细杆关于中点应是轴对称的 故两弹簧应当是平行的 两端点的曲率相等 因此由两弹簧的平行性可得 2 2 tan 0 00 xy 作坐标系的旋转 3 y x y x 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 00 00 2 0 zz 使得细杆的两个端点位于轴上 弹簧的拉力平行于轴 这样容易计算力矩 M 方程组 1 化xx 为 2 4 2 0 2 cos 2 1 d d 0 0 sin d d 0 0 cos d d 0 21 021 zyFF FFh EIs z yz s y xz s x 其中 5 1011 LL kF 2021 LL kF 分别是上 下弹簧拉力的大小 6 2 sin 2 cos L 0 0 0 1 h x 2 sin 2 cos L 0 0 0 2 h x 分别是上 下弹簧的长度 对方程组 4 的第三个方程关于 s 求导 并利用 4 中的第 2 个方程 得二阶微分方程的边 值问题 7 z FF s z sin EId d 21 2 2 2 0 z 0 2 L z 0 L 0 s 这方程还要满足条件 才能确定未知参数 2 cos 2EI d 0 d 021 FFh s z 2 cos L 0 0 x x 方程 7 的解要用椭圆函数来表示 加上参数是未知的 要求 7 的解析解是 00 x 00 x 不容易的 因此在大挠度的形变时 还是要用数值计算来解决问题 用坐标变换 3 的逆变 换 得方程组 1 的具体形式 8 0 0 2 sin 2 cos 2 cos 2 1 d d 0 0 sin d d 0 0 cos d d 00 21 021 zxyFF FFh EIs z yz s y xz s x 方程组 8 的解在右端点要满足条件 以Ls 0 L xx 2 tan L y 0 00 xy 0 L z 下是用数值求解方程组 1 的方法 任意给定细杆的右端点的值 求解常微分方程组的初值问题的解 可以得到一 000 yx 组新的右端点的值 若 则得到了解 L L L yx L L L 000 yxyx 3 因此问题就转化为求方程的根的问题 可以用0 L L L 000 yxyx MATLAB 的求根函数 fsolve 来求 也可以用叠代法求方程的根 对于本题用叠代法较好 2 式可以用来检验结果 以下是 MATLAB 的叠代程序 输入上 下弹簧的温度向量 t t1 t2 画出杆的中心轴 线的形状及给出右端坐标 x0 y0 毫米 以及转角 0 弧度 的数值 输出 w x0 y0 z0 对 于不太大的挠度 初值可取为 x0 y0 z0 L 0 0 对于本题的数据 在叠代时 w 的三 个分量都是单调变化而趋于有限的极限 叠代 7 次就得到精度为 5 位有效数字的解 主程序 function w err exliang t t t1 t2 是上 下弹簧的温度 err是误差 T satlins 0 08 t 3 8 t的分量大于60时T的相应分量为 1 t小于35时为 1 k 0 034 0 061 1 sin 0 5 pi T 上 下弹簧的刚性系数 上下温差最大时k 0 156 0 034 Y0 0 0 0 L 34 常微分方程的初值条件 杆长数据 w0 L 0 0 设定杆右端点的初值 options odeset options RelTol 1e 10 options AbsTol 1e 10 ode45误差设定 for ii 1 100 叠代 最大叠代次数限制为100 对于k的直到k 0 9 0 034 叠代都是收敛 的 s Y ode45 liang 0 L Y0 options w0 k 调用ode45数值求解常微分方程 w Y end err norm w w0 1 杆右端点的新值及新 旧值的差的模 if err0 9 则下弹簧 将与细杆相交于