奥数几何-三角形五大模型带解析

1 三角形五大模型三角形五大模型 专题知识点概述专题知识点概述 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识 旨在提高学生对该部分本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识 旨在提高学生对该部分 知识的综合运用能力 知识的综合运用能力 重点模型重温重点模型重温 一 等积模型一 等积模型 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如右图 12 SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形 如右图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平行四 边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 两个平行四边形底相等 面积比等于它们的高之比 二 等分点结论 二 等分点结论 鸟头定理鸟头定理 如图 三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 2 3 1 4 1 6 DC BA b a s2 s1 2 三 任意四边形中的比例关系三 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理蝴蝶定理 S1 S2 S4 S3 或者 S1 S3 S2 S4 AO OC S1 S2 S4 S3 梯形中比例关系 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理 S1 S3 a2 b2 S1 S3 S2 S4 a2 b2 ab ab S 的对应份数为 a b 2 模型四 相似三角形性质模型四 相似三角形性质 如何判断相似如何判断相似 1 1 相似的基本概念 相似的基本概念 两个三角形对应边城比例 对应角相等 2 2 判断相似的方法 判断相似的方法 两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似 两个三角形若有两条边对应成比例 且这两组对应边所夹的角相等则两 个三角形相似 h h H cb a C B A a c b H C B A abch ABCH S1 S2 a2 A2 S4 S3 s2 s1 O D C B A S4 S3 s2 s1 b a 3 模型五 燕尾定理模型五 燕尾定理 S ABG S AGC S BGE S GEC BE EC S BGA S BGC S AGF S GFC AF FC S AGC S BCG S ADG S DGB AD DB 重点难点解析重点难点解析 1 1 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形模型一与其他知识混杂的各种复杂变形 2 2 在纷繁复杂的图形中如何辨识在纷繁复杂的图形中如何辨识 鸟头鸟头 竞赛考点挖掘竞赛考点挖掘 1 1 三角形面积等高成比三角形面积等高成比 2 2 鸟头定理鸟头定理 3 3 蝴蝶定理蝴蝶定理 习题精讲习题精讲 例例 1 1 难度等级 难度等级 如图 长方形如图 长方形 ABCDABCD 的面积是的面积是 5656 平方厘米 点平方厘米 点 E E F F G G 分别分别 是长方形是长方形 ABCDABCD 边上的中点 边上的中点 H H 为为 ADAD 边上的任意一点 求阴边上的任意一点 求阴 影部分的面积影部分的面积 例例 2 2 难度等级 难度等级 如右图 如右图 ABFEABFE 和和 CDEFCDEF 都是矩形 都是矩形 ABAB 的长是的长是 4 4 厘米 厘米 BCBC 的长是的长是 3 3 厘米 那么图中阴影部分的面积是厘米 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 F E D C B A G H F E D CB A 4 例例 3 3 难度等级 难度等级 如图 在三角形如图 在三角形 ABCABC 中 中 BC 8BC 8 厘米 厘米 AD 6AD 6 厘米 厘米 E E F F 分别为分别为 ABAB 和和 ACAC 的中点 那么三角形的中点 那么三角形 EBFEBF 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 例例 4 4 难度等级 难度等级 如图 在面积为如图 在面积为 1 1 的三角形的三角形 ABCABC 中 中 DC 3BD FDC 3BD F 是是 ADAD 的中点 延长的中点 延长 CFCF 交交 ABAB 边于边于 E E 求三角求三角 形形 AEFAEF 和三角形和三角形 CDFCDF 的面积之和 的面积之和 例例 5 5 难度等级 难度等级 如右图如右图 BE BE BCBC CD CD ACAC 那么三角形 那么三角形 AEDAED 的面积是三角形的面积是三角形 ABCABC 面积的几分之几 面积的几分之几 3 1 4 1 F E DC B A D E C B A F A B C D E 5 例例 6 6 难度等级 难度等级 如图所示 四边形如图所示 四边形 ABCDABCD 与与 AEGFAEGF 都是平行四边形 请你证明它们的面都是平行四边形 请你证明它们的面 积相等 积相等 例例 7 7 难度等级 难度等级 如图 在长方形如图 在长方形 ABCDABCD 中 中 Y Y 是是 BDBD 的中点 的中点 Z Z 是是 DYDY 的中点 如果的中点 如果 AB 24AB 24 厘米 厘米 BC 8BC 8 厘米 厘米 求三角形求三角形 ZCYZCY 的面积 的面积 例例 8 8 难度等级 难度等级 如图 正方形如图 正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 4 4 厘米 厘米 EFEF 和和 BCBC 平行 平行 ECHECH 的面积是的面积是 7 7 平方厘米 求平方厘米 求 EGEG 的的 长 长 G F E DC BA Y Z DC B A H G F E D C B A 6 例例 10 10 难度等级 难度等级 如图已知四边形如图已知四边形 ABCDABCD 和和 CEFGCEFG 都是正方形 且正方形都是正方形 且正方形 ABCDABCD 的边长的边长 为为 1010 厘米 那么图中阴影三角形厘米 那么图中阴影三角形 BFDBFD 的面积为多少平方厘米的面积为多少平方厘米 例例 11 11 难度等级 难度等级 如图 一个长方形被切成如图 一个长方形被切成 8 8 块 其中三块的面积分别为块 其中三块的面积分别为 1212 2323 3232 则图中阴影部分的面积为 则图中阴影部分的面积为 例例 12 12 难度等级 难度等级 如图 平行四边形如图 平行四边形 ABCDABCD 周长为周长为 7575 厘米 以厘米 以 BCBC 为为 底时高是底时高是 1414 厘米 以厘米 以 CDCD 为底时高是为底时高是 1616 厘米 求厘米 求 平行四边形平行四边形 ABCDABCD 的面积 的面积 例例 13 13 难度等级 难度等级 如右图 正方形如右图 正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 6 6 厘米 厘米 ABE ABE ADF ADF 与四边形与四边形 AECFAECF 的面积彼此相等 求三角形的面积彼此相等 求三角形 AEFAEF 的面积的面积 12 32 23 d c b a x A B C D E F F E D CB A 7 例例 14 14 难度等级 难度等级 如图 三角形如图 三角形 ABCABC 被分成了甲 阴影部分 被分成了甲 阴影部分 乙两部分 乙两部分 BD DC 4BD DC 4 BE 3BE 3 AE 6AE 6 甲部分面积是乙部分面积的几分之几 甲部分面积是乙部分面积的几分之几 例例 15 15 难度等级 难度等级 某公园的外轮廓是四边形某公园的外轮廓是四边形 ABCDABCD 被对角线 被对角线 ACAC BDBD 分成四个部分 分成四个部分 AOB AOB 面积为面积为 1 1 平方千米 平方千米 BOC BOC 面积为面积为 2 2 平方千米 平方千米 COD COD 的面的面 积为积为 3 3 平方千米 公园陆地的面积是平方千米 公园陆地的面积是 6 926 92 平方千米 求人工湖平方千米 求人工湖 的面积是多少平方千米 的面积是多少平方千米 例例 16 16 难度等级 难度等级 图中是一个正方形 其中所标数值的单位是厘米 问 阴影部分的面图中是一个正方形 其中所标数值的单位是厘米 问 阴影部分的面 积是多少平方厘米积是多少平方厘米 8 作业作业 1 1 如图 三角形如图 三角形中 中 三角形 三角形ABC2DCBD 3CEAE ADEADE 的面积是的面积是 2020 平方厘米 三角形平方厘米 三角形的面积是多少 的面积是多少 ABC 2 2 如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面 积分别是积分别是 13 35 49 那么图中阴影部分的面积是多少 那么图中阴影部分的面积是多少 3 3 右图是由大 小两个正方形组成的 小正方形的边长是右图是由大 小两个正方形组成的 小正方形的边长是 4 厘厘 米 米 求三角形求三角形 ABC 的面积 的面积 4 4 如图 平行四边形如图 平行四边形 ABCDABCD BE ABBE AB CF 2CBCF 2CB GD 3DCGD 3DC HA 4ADHA 4AD 平行四 平行四 边形边形 ABCDABCD 的面积是的面积是 2 2 求平行四边形求平行四边形 ABCDABCD 与四边与四边 形形 EFGHEFGH 的面积比的面积比 5 5 如图 在如图 在 ABC ABC 中 延长中 延长 BD ABBD AB CE CE BCBC F F 是是 ACAC 的中点 的中点 1 2 若若 ABC ABC 的面积是的面积是 2 2 则 则 DEF DEF 的面积是多少 的面积是多少 E D CB A H G F E D C BA F E D C B A 9 例例 1 1 难度等级 难度等级 如图 长方形如图 长方形 ABCDABCD 的面积是的面积是 5656 平方厘米 点平方厘米 点 E E F F G G 分别是长方形分别是长方形 ABCDABCD 边上的中点 边上的中点 H H 为为 ADAD 边上的任意一点 求阴影部分的面积边上的任意一点 求阴影部分的面积 分析与解分析与解 如右图 连接如右图 连接BHBH HCHC 由 由E E F F G G分别为分别为ABAB BCBC CDCD 三边的中点有三边的中点有AEAE EBEB BFBF FCFC CGCG CDCD 因此因此S S1 1 S S2 2 S S3 3 S S4 4 S S5 5 S S6 6 而阴影部分面积而阴影部分面积 S S2 2 S S3 3 S S6 6 空白部分面积 空白部分面积 S S1 1 S S4 4 S S5 5 所以阴影部分面所以阴影部分面 积与空白部分面积相等 均为长方形的一半 即阴影部积与空白部分面积相等 均为长方形的一半 即阴影部 分面积为分面积为 28 28 例例 2 2 难度等级 难度等级 如右图 如右图 ABFEABFE 和和 CDEFCDEF 都是矩形 都是矩形 ABAB 的长是的长是 4 4 厘米 厘米 BCBC 的长是的长是 3 3 厘米 那么图中阴影部分的面积是厘米 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 分析与解分析与解 上排上排 4 4 个阴影三角形的高都等于个阴影三角形的高都等于 BFBF 底边之和恰好为 底边之和恰好为 ABAB 他们 他们 的面积之和为的面积之和为 下排 下排 4 4 个三角形的高都等于个三角形的高都等于 CFCF 底边之和恰好为 底边之和恰好为 CDCD 他们的 他们的 1 2 BFAB 面积面积 之和为之和为 所以阴影部分面积为所以阴影部分面积为 11 22 CFCDCFAB 平方厘米平方厘米 1111 3 46 2222 BFABCFABBCAB 例例 3 3 难度等级 难度等级 如图 在三角形如图 在三角形 ABCABC 中 中 BC 8BC 8 厘米 厘米 AD 6AD 6 厘米 厘米 E E F F 分别为分别为 ABAB 和和 ACAC 的中点 那么三角形的中点 那么三角形 EBFEBF 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 分析与解分析与解 首先 首先 平方厘米 而平方厘米 而 F F 是是 ACAC 中点 中点 1 24 2 ABC SBCAD 所以所以 又又 E E 是是 ABAB 中点 所以中点 所以 1 2 ABFABC SS 平方厘米平方厘米 11 6 24 EBFABFABC SSS 例例 4 4 难度等级 难度等级 F E DC B A F A B C D E 10 如图 在面积为如图 在面积为 1 1 的三角形的三角形 ABCABC 中 中 DC 3BD FDC 3BD F 是是 ADAD 的中点 延长的中点 延长 CFCF 交交 ABAB 边于边于 E E 求三角求三角 形形 AEFAEF 和三角形和三角形 CDFCDF 的面积之和 的面积之和 分析与解分析与解 连接连接 DE DE 于是三角形于是三角形 AEFAEF 的面积的面积 三角形三角形 EFDEFD 的面积 所求被转化为三角形的面积 所求被转化为三角形 EDCEDC 的面积 的面积 因为因为 F F 是是 ADAD 中点 所以三角形中点 所以三角形 AECAEC 的面积和三角形的面积和三角形 EDCEDC 的面积相等 设的面积相等 设 S SBDEBDE 为为 1 1 份份 则则 S SAEC SAEC SEDCEDC 为为 3 3 份份 因此因此 S SABCABC 一共一共 7 7 份 份 每份面积为每份面积为 所以所以 S SEDCEDC 占占 3 3 份为份为 1 7 3 7 例例 5 5 难度等级 难度等级 如右图如右图 BE BE BCBC CD CD ACAC 那么三角形 那么三角形 AEDAED 的面积是三角形的面积是三角形 ABCABC 3 1 4 1 面积的几分之几 面积的几分之几 分析与解分析与解 上图中 三角形上图中 三角形 AECAEC 与三角形与三角形 ABCABC 的高相等 而的高相等 而 BE BE BCBC 于是 于是 EC EC 3 1 BCBC 3 22 3 AEC ABC S S 又由于三角形又由于三角形 AEDAED 与三角形与三角形 AECAEC 的高相等 而的高相等 而 CD CD AC AC 于是于是 AD AD AC AC 4 1 4 33 4 AED AEC S S 所以 三角形所以 三角形 AEDAED 的面积的面积 三角形三角形 AECAEC 的面积的面积 三三 4 3 4 32 3 角形角形 ABCABC 的面积的面积 三角形三角形 ABCABC 的面积的面积 1 2 例例 6 6 难度等级 难度等级 如图所示 四边形如图所示 四边形 ABCDABCD 与与 AEGFAEGF 都是平行四边形 请你证明它都是平行四边形 请你证明它 们的面积相等 们的面积相等 分析与解分析与解 连接连接BEBE 显然有显然有 1 2 ABEABCD SS 1 2 ABEAEGF SS 所以所以 ABCDAEGF SS D E C B A D E C B A A B C E D 11 例例 7 7 难度等级 难度等级 如图 在长方形如图 在长方形 ABCDABCD 中 中 Y Y 是是 BDBD 的中点 的中点 Z Z 是是 DYDY 的中点 如果的中点 如果 AB 24AB 24 厘米 厘米 BC 8BC 8 厘米 厘米 求三角形求三角形 ZCYZCY 的面积 的面积 分析与解分析与解 平方厘米平方厘米192 ABCD SABBC 因为因为Y Y是是BDBD中点 中点 Z Z是是DYDY中点 所以中点 所以 1 11 1 11 24 2 22 2 28 ZCYCDBABCDABCD SSSS 例例 8 8 难度等级 难度等级 如图 正方形如图 正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 4 4 厘米 厘米 EFEF 和和 BCBC 平行 平行 ECHECH 的面积是的面积是 7 7 平方厘米 求平方厘米 求 EGEG 的的 长 长 分析与解分析与解 EG AE EG AE EG EB EG EB 7 7 平方厘米平方厘米 1 2 1 2 即即 EG AB 7 EG AB 7 平方厘米 平方厘米 EG 3 5EG 3 5 厘米厘米 1 2 例例 10 10 难度等级 难度等级 如图已知四边形如图已知四边形 ABCDABCD 和和 CEFGCEFG 都是正方形 且正方形都是正方形 且正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 1010 厘米 那么图中阴影三角形厘米 那么图中阴影三角形 BFDBFD 的面积为多少平方厘米的面积为多少平方厘米 分析与解分析与解 连接连接CFCF 由由ABCDABCD和和CEFGCEFG都是正方形有都是正方形有45BDCDCF 所以所以 BD CFA 由平行线间距离相等知三角形由平行线间距离相等知三角形BDFBDF和三角形和三角形BDCBDC同底等高同底等高 所以所以 1 50 2 BFDBCDABCD SSS 例例 11 11 难度等级 难度等级 Y Z DC B A H G F E D C B A 12 如图 一个长方形被切成如图 一个长方形被切成 8 8 块 其中三块的面积分别为块 其中三块的面积分别为 1212 2323 3232 则图中阴影部分的面 则图中阴影部分的面 积为积为 分析与解分析与解 如右图 已知如右图 已知 a b x 23 a 32 12 ba b x 23 a 32 12 b 所以所以 x 23 32 12x 23 32 12 x 67 x 67 例例 12 12 难度等级 难度等级 如图 平行四边形如图 平行四边形 ABCDABCD 周长为周长为 7575 厘米 以厘米 以 BCBC 为底时高是为底时高是 1414 厘米 以厘米 以 CDCD 为底时高是为底时高是 1616 厘米 求平行四边形厘米 求平行四边形 ABCDABCD 的面积 的面积 分析与解分析与解 BC 14 CD 16BC 14 CD 16 BCBC CD 16CD 16 1414 BC CD BC CD BC BC 20 20 75 2 75 2 16 16 14 ABCDABCD 面积面积 14 20 280 14 20 280 平方厘米 平方厘米 例例 13 13 难度等级 难度等级 如右图 正方形如右图 正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 6 6 厘米 厘米 ABE ABE ADF ADF 与四边与四边 形形 AECFAECF 的面积彼此相等 求三角形的面积彼此相等 求三角形 AEFAEF 的面积的面积 分析与解分析与解 因为因为 ABE ABE ADF ADF 与四边形与四边形 AECFAECF 的面积彼此相等 所以四边的面积彼此相等 所以四边 形形 AECFAECF 的面积与的面积与 ABE ABE ADF ADF 的面积都等于正方形面积的三的面积都等于正方形面积的三 分之一 也就是 分之一 也就是 1 6 612 3 ABEADF SSS 四边形AEC F 在在 ABE ABE 中 因为中 因为 ABAB 6 6 所以所以 BEBE 4 4 同理 同理 DFDF 4 4 因此 因此 CECE CFCF 2 2 ECF ECF 的面积为的面积为 2 2 22 2 2 2 2 所以所以 平方厘米 平方厘米 122 10 AEFF SSS EC四边形AEC F 例例 14 14 难度等级 难度等级 如图 三角形如图 三角形 ABCABC 被分成了甲 阴影部分 被分成了甲 阴影部分 乙两部分 乙两部分 BD DC 4BD DC 4 BE 3BE 3 AE 6AE 6 甲部分面积是乙部分面积的几分之几 甲部分面积是乙部分面积的几分之几 12 32 23 d c b a x A B C D E F F E D CB A 13 分析与解分析与解 由由BD DCBD DC 有有 由 由 有 有 由鸟头定理有由鸟头定理有BDDC 1 2 BDBC 3BE 6AE 1 3 BEAB 故 故 111 326 ABCABC SSS 甲 5 6 ABCABC SSSS 乙甲 1 5 SS 乙甲 例例 15 15 难度等级 难度等级 某公园的外轮廓是四边形某公园的外轮廓是四边形 ABCDABCD 被对角线 被对角线 ACAC BDBD 分成四个部分 分成四个部分 AOB AOB 面积为面积为 1 1 平方千米 平方千米 BOC BOC 面积为面积为 2 2 平方千米 平方千米 COD COD 的面的面 积为积为 3 3 平方千米 公园陆地的面积是平方千米 公园陆地的面积是 6 926 92 平方千米 求人工湖平方千米 求人工湖 的面积是多少平方千米 的面积是多少平方千米 分析与解分析与解 由任意四边形的蝴蝶定理有由任意四边形的蝴蝶定理有 AOBCODAODBOC SSSS 所以所以平方千米 故公园总面积为平方千米 故公园总面积为1 321 5 AOD S 平方千米 人工湖面积为平方千米 人工湖面积为平方千米平方千米1 32 1 57 5 7 56 920 58 例例 16 16 难度等级 难度等级 图中是一个正方形 其中所标数值的单位是厘米 问 阴影部分的面图中是一个正方形 其中所标数值的单位是厘米 问 阴影部