第1课不等关系与不等式（含答案）

高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 1 页 共 8 页 细节决定成败 第第 1 课课 不等关系与不等式不等关系与不等式 编者 彭小平 审订 高三理科数学组 班级 姓名 考纲导读 1 了解现实世界和日常生活中的不等关系 2 了解不等式 组 的实际背景 3 掌握不等式的性质及应用 知知 识识 梳梳 理理 1 两个实数比较大小的方法 1 作差法Error 2 作商法Error 2 不等式的性质 1 对称性 a b b a 2 传递性 a b b c a c 3 可加性 a b a c b c a b c d a c b d 4 可乘性 a b c 0 ac bc a b 0 c d 0 ac bd 5 可乘方 a b 0 an bn n N n 1 6 可开方 a b 0 n N n 2 n a n b 基基 础础 练练 习习 一 判断正误 1 两个实数 a b 之间 有且只有 a b a b a b 三种关系中的一种 2 若 1 则 a b a b 3 在一个不等式的两边同乘以一个非零实数 不等式仍然成立 4 同向不等式具有可加性和可乘性 5 设 a b 为实数 则 0 ab 1 是 b 成立的既不充分也不必要条 1 a 件 6 2013 北京卷改编 若 a b 则 1 a 1 b 若 a b 则 a2 b2 若 a b 则 a3 b3 典典 例例 分分 析析 例 1 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售 每天可销售 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 2 页 共 8 页 细节决定成败 100 件 现在他采用提高售价 减少进货量的办法增加利润 已知这种商品的 单价每提高 1 元 销售量就相应减少 10 件 若把提价后商品的单价设为 x 元 怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元 解 若提价后商品的单价为 x 元 则销售量减少 10 件 因此 每天的 x 10 1 利润为 x 8 100 10 x 10 元 则 每天的利润不低于 300 元 可以表示为 不等式 x 8 100 10 x 10 300 规律方法 对于不等式的表示问题 关键是理解题意 分清变化前后的各种量 得出相应的代数式 然后用不等式表示 而对于涉及条件较多的实际问题 则 往往需列不等式组解决 变式训练 1 某化工厂制定明年某产品的生产计划 受下面条件的制约 生 产此产品的工人不超过 200 人 每个工人的年工作时间约为 2 100 h 预计此产 品明年的销售量至少为 80 000 袋 生产每袋产品需用 4 h 生产每袋产品需用 原料 20 kg 年底库存原料 600 t 明年可补充 1 200 t 试根据这些数据预测明 年的产量 解 设明年的产量为 x 袋 则Error 解得 80 000 x 90 000 预计明年的产量在 80 000 袋到 90 000 袋之间 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 3 页 共 8 页 细节决定成败 例 2 1 若 a b c 则 ln 2 2 ln 3 3 ln 5 5 A a b c B c b a C c a b D b a c 2 已知 a 1 且 a R 试比较与 1 a 的大小 1 1 a 1 解析 易知 a b c 都是正数 log89 1 所以 b a 2ln 3 3ln 2 b a log2532 1 所以 a c 即 c a b 故选 C a c 5ln 2 2ln 5 答案 C 2 解 1 a 1 1 a a2 1 a 当 a 0 时 0 1 a a2 1 a 1 1 a 当 a 1 且 a 0 时 0 a2 1 a 1 a 1 1 a 当 a 1 时 0 1 a a2 1 a 1 1 a 规律方法 1 比较大小时 要把各种可能的情况都考虑进去 对不确定的因素 需进行分类讨论 每一步运算都要准确 每一步推理都要有充分的依据 2 用作商法比较代数式的大小一般适用于分式 指数式 对数式 作商只是思 路 关键是化简变形 从而使结果能够与 1 比较大小 变式训练 2 2012 四川卷 设 a b 为正实数 现有下列命题 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 4 页 共 8 页 细节决定成败 若 a2 b2 1 则 a b 1 若 1 则 a b 1 若 1 则 1 b 1 aab a b 1 若 a3 b3 1 则 a b 1 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 解析 中 a2 b2 a b a b 1 a b 为正实数 若 a b 1 则必有 a b 1 又 a b 不合题意 故 正确 1 a b 中 1 只需 a b ab 即可 如取 a 2 b 满足上式 但 1 b 1 a a b ab 2 3 a b 1 故 错 4 3 中 a b 为正实数 所以 1 abab 且 a b 1 故 错 ababab 中 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 ab b2 1 若 a b 1 不妨取 a b 1 则必有 a2 ab b2 1 不合题意 故 正确 答案 例 3 若 x y a b 则在 a x b y a x b y ax by x b y a 这五个式子中 a y b x 恒成立的所有不等式的序号是 解析 1 令 x 2 y 3 a 3 b 2 符合题设条件 x y a b a x 3 2 5 b y 2 3 5 a x b y 因此 不成立 又 ax 6 by 6 ax by 因此 也不成立 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 5 页 共 8 页 细节决定成败 又 1 1 a y 3 3 b x 2 2 因此 不成立 a y b x 由不等式的性质可推出 成立 2 由不等式性质及 a b 1 知 又 c 正确 构造函数 1 a 1 b c a c b y xc c 0 y xc在 0 上是减函数 又 a b 1 ac bc 知 正确 a b 1 a c 0 a c b c 1 a b 1 logb a c loga a c loga b c 知 正确 答案 变式训练 3 若 0 则下列不等式 a b 0 a 1 a 1 b 1 a b 1 ab b ln a2 ln b2中 正确的不等式是 1 a 1 b A B B C D 解析 法一 由 0 可知 b a 0 中 因为 a b 0 ab 0 所以 1 a 1 b 0 0 故有 即 正确 中 因为 b a 0 所以 1 a b 1 ab 1 a b 1 ab b a 0 故 b a 即 a b 0 故 错误 中 因为 b a 0 又 1 a 0 所以 a b 故 正确 中 因为 b a 0 根据 y x2在 1 b 1 a 1 b 0 上为减函数 可得 b2 a2 0 而 y ln x 在定义域 0 上为增函 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 6 页 共 8 页 细节决定成败 数 所以 ln b2 ln a2 故 错误 由以上分析 知 正确 法二 因为 0 故可取 a 1 b 2 1 a 1 b 显然 a b 1 2 1 0 所以 错误 因为 ln a2 ln 1 2 0 ln b2 ln 2 2 ln 4 0 所以 错误 综上所述 可 排除 答案 C 巩巩 固固 训训 练练 1 设 x y R 则 x 1 且 y 2 是 x y 3 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由不等式性质知当 x 1 且 y 2 时 x y 3 而当 x 2 y 时满足 3 2 x y 3 但不满足 x 1 且 y 2 故 x 1 且 y 2 是 x y 3 的充分而 不必要条件 答案 A 2 已知 a b 则下列不等式成立的是 A a2 b2 0 B ac bc C a b D 2a 2b 解析 A 中 若 a 1 b 2 则 a2 b2 0 不成立 当 c 0 时 B 不成立 当 0 a b 时 C 不成立 由 a b 知 2a 2b成立 故选 D 答案 D 3 已知 a 0 1 b 0 那么下列不等式成立的是 A a ab ab2 B ab2 ab a C ab a ab2 D ab ab2 a 解析 由 1 b 0 可得 b b2 1 又 a 0 ab ab2 a 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 7 页 共 8 页 细节决定成败 答案 D 4 若角 满足 则 2 的取值范围是 2 2 解析 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 又 2 2 2 3 2 2 答案 3 2 2 5 对于实数 a b c 有下列命题 若 a b 则 ac bc 若 ac2 bc2 则 a b 若 a b 0 则 a2 ab b2 若 c a b 0 则 若 a c a b c b a b 则 a 0 b 0 其中真命题是 把正确命题的序号写在横 1 a 1 b 线上 解析 若 c 0 则 不成立 由 ac2 bc2知 c2 0 则 a b 成立 由 a b 0 知 a2 ab b2 成立 由 c a b 0 得 0 c a c b 则 则 成立 1 c a 1 c b a c a b c b 若 a b 0 则 a 0 b 0 成立 1 a 1 b b a ab 答案 6 比较下列各组中两个代数式的大小 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 8 页 共 8 页 细节决定成败 1 3x2 x 1 与 2x2 x 1 2 当 a 0 b 0 且 a b 时 aabb与 abba 解 1 3x2 x 1 2x2 x 1 x2 2x 2 x 1 2 1 0 3x2 x 1 2x2 x 1 2 aa bbb a aa b a b a b aabb abba 1 b a b 当 a b 即 a b 0 1 时 a b 1 aabb abba a b a b 当 a b 即 a b 0 0 1 a b a b aabb abba 当 a 0 b 0 且 a b 时 aabb abba 7 甲 乙两人同时从寝室到教室 甲一半路程步行 一半路程跑步 乙一半时 间步行 一半时间跑步 如果两人步行速