打印常微分习题1

1 习习题题 1 2 1 求下列可分离变量微分方程的通解 求下列可分离变量微分方程的通解 1 xdxydy 解 积分 得解 积分 得 即即 1 22 2 1 2 1 cxy cyx 22 2 yy dx dy ln 解 解 为特解 当为特解 当时 时 1 0 yy1 0 yydx yy dy ln 积分 得积分 得 即 即0ln lnln 1 1 cceeeycxy xxc x ce ey 3 yx e dx dy 解 解 变形得变形得 积分 得积分 得dxedye xy cee xy 4 0cottan xdyydx 解 变形得解 变形得 为特解 当为特解 当时 时 积分 得积分 得 x y dx dy cot tan 0 y0 ydx x x dy y y cos sin sin cos 即即 11 cossinln coslnsinlncxycxy 0 cossin 1 ccexy c 2 求下列方程满足给定初值条件的解 求下列方程满足给定初值条件的解 1 1 0 1 yyy dx dy 解 解 为特解 当为特解 当时 时 1 0 yy1 0 yydxdy yy 1 1 1 积分 得积分 得 0 1 1 ln 1 1 cceee y y cx y y xxc 将将代入 得代入 得 即 即为所求的解 为所求的解 1 0 y0 c1 y 2 1 0 02 1 22 yxyyx 解 解 为特解 当为特解 当时 时 0 1 2 2 2 y x xy dx dy 0 ydx x x y dy 1 2 22 积分 得积分 得 cx y 1ln 1 2 2 将将代入 得代入 得 即 即为所求的解 为所求的解 1 0 y1 c 11ln 1 2 x y 3 0 2 33 2 yyy 解 解 为特解 当为特解 当时 时 积分 得 积分 得 0 y0 ydx y dy 3 2 3 3 3 1 cxycxy 将将代入 得代入 得 即 即和和均为所求的解 均为所求的解 0 2 y2 c 3 2 xy0 y 4 1 1 0 2222 ydyyxxdxxyy 解 解 为特解 当为特解 当时 时 0 0 yx0 0 yx0 11 22 dy y y dx x x 积分 得积分 得 0 ln 1 ln 1 1111 1 1 cceee y x cy y x x yxyxc 将将代入 得代入 得 即 即为所求的解 为所求的解 1 1 y 2 ec yx ee y x 11 2 4 求解方程 求解方程 011 22 dyxydxyx 解 解 为特解 为特解 11 1 11 1 xyyx 当当时 时 积分 得积分 得 1 1 yx0 11 22 dy y y dx x x 0 11 22 ccyx 6 求一曲线 使其具有以下性质 曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 求一曲线 使其具有以下性质 曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成轴可围成 一个等腰三角形一个等腰三角形 以以 x 轴为底轴为底 且通过点 且通过点 1 2 解 设所求曲线为解 设所求曲线为 对其上任一点对其上任一点的切线方程 的切线方程 xyy yx 于于 x 轴上的截距为轴上的截距为由题意建立方程 由题意建立方程 xXyyY y y xa 即即 求得方程的通解为求得方程的通解为再由再由0 xx y y x2 1 y x y y0 cexy c 得得 c ln2 得所求曲线为得所求曲线为 c e 2 为为2 xy 3 7 人工繁殖细菌 其增长速度和当时的细菌数成正比 人工繁殖细菌 其增长速度和当时的细菌数成正比 1 如果如果 4 小时的细菌数为原细菌数的小时的细菌数为原细菌数的 2 倍 那么经过倍 那么经过 12 小时应有多少 小时应有多少 2 如果在如果在 3 小时时的细菌数为得小时时的细菌数为得个 在个 在 5 小时时的细菌数为得小时时的细菌数为得个 那个 那 4 10 4 104 么在开始时有多少个细菌 么在开始时有多少个细菌 解 设解 设 t 时刻的细菌数为时刻的细菌数为 q t 由题意建立微分方程由题意建立微分方程0 kkq dt dq 求解方程得求解方程得 再设再设 t 0 时 细菌数为时 细菌数为 求得方程的解为求得方程的解为 kt ceq 0 q kt eqq 0 1 由由 即即 得得 0 2 4 qq 0 4 0 2qeq k 4 2ln k 0 4 2ln 12 0 12 0 8 12 qeqeqq k 2 由条件 由条件 45 0 43 0 104 5 10 3 kk eqqeqq 比较两式得比较两式得 再由再由 得得 2 4ln k 4 0 2 4ln 3 0 3 0 108 3 qeqeqq k3 0 1025 1 q 习习题题 1 3 1 解下列方程 解下列方程 2 0 2 22 dyxdxxyy 解 方程改写为解 方程改写为 2 2 x y x y dx dy 令令 有 有 整理为整理为 x y u 2 2uu dx du xu 1 0 1 11 u x dx du uu 积分 得积分 得 即即xc u u 1 ln 1 ln 1 1 1 xc xc u 代回变量 得通解代回变量 得通解也是方程的解也是方程的解0 ycyxyx 4 x y xyyxtan 解 方程改写为解 方程改写为 x y x y dx dy tan 令令 有 有 即即 x y u u u u dx du x cos sin tan 0 sincot u x dx udu 积分 得积分 得 代回变量 得通解代回变量 得通解cxu sincx x y sin 5 x yx yxyyx ln 解 方程改写为解 方程改写为 令令 有 有 x yx x y x y dx dy ln 1 x y u 1ln 1 uu dx du x 4 当当时时 积分 得积分 得 1 0 uu x dx uu du 1ln 1 cxu 1ln 代回变量 得通解代回变量 得通解cx x y 1ln 6 yyxyx 22 解 方程改写为解 方程改写为 x y x y dx dy 2 1 令令 有 有 分离变量分离变量 x y u 2 1u dx du x 11 1 2 u x dx u du 积分 得积分 得 cxulnarcsin 代回变量 得通解代回变量 得通解也是方程的解也是方程的解xycx x y lnarcsin 2 解下列方程 解下列方程 1 0 3 642 dyyxdxyx 解 方程改写为解 方程改写为 3 624 yx xy dx dy 令令 解得 解得 03 042 2 1 作变换作变换 有有 再令再令 上方程可化为上方程可化为2 1 yx 24 d d u u u d du u 1 24 整理为整理为 积分 得积分 得 2 1 2 1 1 u d du uu u c u u u 2 1 2 2 代回变量 得通解代回变量 得通解也是方程的解也是方程的解1 1 2 23 xyxycxy 2 0 324 12 dyyxdxyx 解 方程改写为解 方程改写为 324 12 yx yx dx dy 令令 有 有 分离变量分离变量 yxu 2 32 55 u u dx du 1 5 1 32 udxdu u u 积分 得积分 得 1 51ln2cxuu 5 代回变量 得通解代回变量 得通解 xy ceyx 2 12 4 2 1 2 2 yx y y 解 令解 令 则原方程变为则原方程变为 2 1 yvxu 2 2 vu v du dv 再令再令 则方程化为 则方程化为 u v z 2 1 2 z z du dz uz 分离变量分离变量 积分 得积分 得 0 1 1 2 2 z u du dz zz z czzulnarctan2ln 代回变量 得通解代回变量 得通解 1 2 arctan2 2 x y cey 3 解方程解方程 0 823 732 2222 ydyyxxdxyx 解 方程改写为解 方程改写为 即即 823 732 2 2 22 22 yx yx xdx ydy 823 732 22 22 2 2 yx yx dx dy 令令 则则 再令再令 解得解得vyux 22 823 732 vu vu du dv 0823 0732 作变换作变换 则方程化为 则方程化为 再作变换再作变换 1 2 1 2 vu 23 32 d d 则方程化为 则方程化为 积分 得积分 得 1 1 2 23 2 d d 4 5 1 1 c 代回原变量 得原方程的通解为代回原变量 得原方程的通解为 3 1 22522 yxcyx 习习题题 1 4 1 解下列方程解下列方程 1 24 dy xyx dx 解 原方程对应的齐次方程解 原方程对应的齐次方程的通解为的通解为 20 dy xy dx 2 x yCe 由常数变易法得原方程的一个特解为由常数变易法得原方程的一个特解为 2y 则原方程的通解为则原方程的通解为 y Ce x 2 2 2 2 1 2 2 2 yyx x 解 解 原方程对应的齐次方程原方程对应的齐次方程的通解为的通解为 1 0 2 yy x 2 yC x 由常数变易法得原方程的一个特解为由常数变易法得原方程的一个特解为 3 2 yx 6 则原方程的通解为则原方程的通解为 2 2 4 yxxxC 3 32 d d 解 解 原方程对应的齐次方程原方程对应的齐次方程的通解为的通解为 30 d d 3 Ce 由常数变易法得原方程的一个特解为由常数变易法得原方程的一个特解为 2 3 则原方程的通解为则原方程的通解为 或者或者 3 2 3 Ce 3 32Ce 2 求曲线求曲线 使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标 解 设所求曲线为解 设所求曲线为 则它在曲线上任一点的斜率则它在曲线上任一点的斜率 yy x ky 过点过点的方程为的方程为 依题意得依题意得 即即 它对应的它对应的 x y Yyy Zx yxyx 1 y y x 齐次方程齐次方程的通解为的通解为 它的一个特解为它的一个特解为 因此因此 所求曲线为所求曲线为 y y x yCx ln yxx ln yxxCx 3 解下列伯努利方程解下列伯努利方程 2 4 20yxyxy 解 原方程可化为解 原方程可化为 令令 z y 3 则有则有 43 2yyxyx 63 dz xzx dx 它对应的齐次线性方程为它对应的齐次线性方程为 当当时时 有有 得得 6 dz xz dx 0z 3 0y 0y 当当时时 有有 得得 令令为方程为方程的一个解的一个解 0z 6 dz xdx z 2 3x zCe 2 3 x zC x e 63 dz xzx dx 则有则有 两边积分得两边积分得 带回得原方程的通解为带回得原方程的通解为 2 3 3 x C xxe 2 3 1 1 2 x C xeC 2 3 1 2 x zCe 即即 2 33 1 2 x yCe 4 2 cos sin dy yyxx dx 解 方程两边同乘以解 方程两边同乘以得得 2 y 21 sincos dy yyxx dx 令令 则则 于是于是 该方程对应的齐次方程该方程对应的齐次方程 1 zy 2 dzdy y dxdx sincos dz zxx dx 的通解为的通解为 由常数变易法得一个特解为由常数变易法得一个特解为 则它的通解为则它的通解为0 dz z dx x zCe sinzx 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 另外 另外 也是原方程的解也是原方程的解 sin x zCex 1 sin x yCex 0y 6 设设在在上连续可微上连续可微 且且 证明证明 y x 0 lim 0 x y xy x lim 0 x y x 7 证明 设证明 设 则则 y xy xf x lim 0 x f x 0 x s x x Cf s e ds y x e 对充分大的对充分大的 当当时时 有有 故故0 1 x 1 xx f x 0 1 01 xx xx x e x x s x x ss Cf se ds y x e Cf se dse ds 由由的任意性有的任意性有 lim 0 x y x 习习题题 1 5 1 1 22 2 0 xydxxydy 解 因为解 因为 所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程 于是方程的通解为于是方程的通解为 2 MN x yx 23 3x yyC 2 2 0 yy e dxyxedy 解 解 所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程 于是方程的通解为于是方程的通解为 y MN e yx 2y xeyC 2 求下列方程的积分因子和积分求下列方程的积分因子和积分 1 22 0 xyx dxxydy 解 由于解 由于 所以方程不是全微分方程所以方程不是全微分方程 2 M y y N y x 而而只与只与有关有关 故可得积分因子为故可得积分因子为 11 MN Nyxx x xx 以积分因子乘以原方程两端以积分因子乘以原方程两端 得全微分方程 得全微分方程 3222 0 xxyxdxx ydy 则原方程的的通解为则原方程的的通解为 4223 364xx yxC 2 432422 22 3 0 yy xy exyy dxx y ex yx dy 解 由于解 由于 所以方程不是所以方程不是 342 8261 yy M xy exy exy y 42 223 y N xy exy x 8 全微分方程全微分方程 而而只与只与有关有关 故可得积分因子为故可得积分因子为 14 MN Myxy y 4 1 y y 以积分因子乘以原方程两端以积分因子乘以原方程两端 得全微分方程 得全微分方程 2 2 324 213 2 0 yy xxx xedxx edy yyyy 则原方程的的通解为则原方程的的通解为 2 2 3 y xx x eC yy 3 443 0 xydxxy dy 解 因为解 因为 所以方程不是全微分方程所以方程不是全微分方程 而而只与只与 3 4 M y y 3 N y x 15 MN Nyxx 有关有关 用积分因子用积分因子乘以原方程两端 得全微分方程 乘以原方程两端 得全微分方程 x 5 x 15443 0 xx ydxx y dy 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 444 ln xx yC 4 3222432 2422 2 0 x yx yxyxyy dxyx yx dy 解 由于解 由于 所以方程不是全微分方程所以方程不是全微分方程 而而 323 44442 M x yxxyxy y 42 N xy x 只与只与有关有关 故积分因子为故积分因子为 1 2 MN x Nyx x 2 x xe 用积分因子乘以原方程两端 得全微分方程 用积分因子乘以原方程两端 得全微分方程 22 3222432 2422 2 0 xx x yx yxyxyy e dxyx yx e dy 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 2 224 24 x x yxyyeC 习习题题 1 6 1 求解下列方程求解下列方程 1 22 0yy 解 因为解 因为 所以所以或或 由由得得 由由得得 0yyyy yy yy yy x yCe yy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 x yCe x yCe 2 3 8 27yy 9 解 令解 令 可得可得 此式关于此式关于求导数整理得求导数整理得 py 3 827py x2427 dp p dx 于是于是 从而原方程的通解为从而原方程的通解为 2 27 12 pxC 23 yxC 另外另外 也是原方程的解也是原方程的解 0y 3 22 1 1yy 解 首先解 首先 是方程的解是方程的解 令令 则则 于是于是1y yt 2 1 t y t 22 11 tt dxdydt tt 从而从而 2 2 1 1 t xdtCtC t 由此可得原方程的通解为由此可得原方程的通解为 2 1xCt yt 即即 22 1xCy 4 22 x yyyxy 解 方程关于解 方程关于是齐次的是齐次的 作代换作代换可把方程降一阶 其中可把方程降一阶 其中是是的新的未知的新的未知 y y y zdx ye zx 函数函数 故故 2 zdxzdx yzeyzze 把把的表达式代入方程并消去的表达式代入方程并消去 得得 或或 y y y 2 zdx ye 222 1 xzzxz 这是线性方程 这是线性方程 它的左边可以写成它的左边可以写成 由此得由此得 或 或 2 21x zxz 2 1x z 2 1 x zxC 原方程的通解是原方程的通解是 1 2 1C z xx 11 2 2 1 lnln CC zdxdxxC xxx 或或 此外 此外 方程还有解方程还有解 12 ln ln zdx x CxC yee 1 2 Cx yC xe 0y 第第 1010 章章 常微分方程常微分方程 之例题解析之例题解析 例例 1010 1 1 求方程 yyxy 22 31 的通解 解 当 1 y 时 分离变量得 2 2 3 1 x dx y ydy 10 两端分别积分得 C x y 3 1 1 2 或 0 3 1 1 2 C x y 这即是原方程的通解 容易看出 1 y 时也是解 但不能并入通解之中 例例 1010 2 2 解方程dx dy xy dx dy xy 22 解 原方程可化为 1 2 2 2 x y x y xxy y y 令 y u x 则y ux dx dy xu dx dy 于是原方程变为1 2 u u dx du