解答题规范专练(三)　数　列

解答题规范专练 三 数 列 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n 1 2 数列 bn 是首项为 a1 公差为 d d 0 的等差 数列 且 b1 b3 b11成等比数列 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设 cn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn bn an 2 已知数列 an 满足 an 1 且 a1 2 2an an 2 1 判断数列是否为等差数列 若是 请给予证明 若不是 请说明理由 1 an 2 若 bn n 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 2 an an 1 2 3 2014 皖南八校联考 将数列 an 中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如 下数表 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第 1 列数 a1 a2 a4 a7 构成的数列为 bn b1 a1 1 Sn为数列 bn 的 前 n 项和 且满足 1 n 2 n N 2bn bnSn S2 n 1 证明数列是等差数列 并求数列 bn 的通项公式 1 Sn 2 上表中 若从第 3 行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公比 为同一个正数 当 a81 时 求上表中第 k k 3 行所有项的和 4 91 答 案 1 解 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 2n 又 a1 S1 21 1 2 2 21 也满足上式 所以数列 an 的通项公式为 an 2n b1 a1 2 设公差为 d 则由 b1 b3 b11成等比数列 得 2 2d 2 2 2 10d 解得 d 0 舍去 或 d 3 所以数列 bn 的通项公式为 bn 3n 1 2 由 1 可得 Tn b1 a1 b2 a2 b3 a3 bn an 2 21 5 22 8 23 3n 1 2n 2Tn 2 5 21 8 22 3n 1 2n 1 两式相减得 Tn 2 3 21 3 22 3 2n 1 3n 1 2n Tn 2 5 3 2 1 1 2n 1 1 1 2 3n 1 2n 3n 5 2n 2 解 1 数列是等差数列 理由如下 1 an an 1 an 0 2an an 2 1 an 1 1 an 1 2 数列是首项为 公差为 的等差数列 1 an 1 2 1 2 2 由 1 知 n 1 1 an 1 2 1 2 n 2 bn n n n 1 n 2 an an 1 2 2 an 1 1 2 1 2 Tn 2 3 2 4 3 n 1 n 1 2 1 2 1 2 1 2 Tn 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 得 Tn 1 2 3 n n 1 n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n 1 n 1 Tn 3 1 4 1 1 2 n 1 1 1 2 1 2 3 2 n 3 2n 1 n 3 2n 3 解 1 由已知 当 n 2 时 1 2bn bnSn S2 n 又 bn Sn Sn 1 所以 1 2 Sn Sn 1 Sn Sn 1 Sn S2 n 即 1 所以 2 Sn Sn 1 Sn 1Sn 1 Sn 1 Sn 1 1 2 又 S1 b1 a1 1 所以数列是首项为 1 公差为 的等差数列 1 Sn 1 2 故 1 n 1 即 Sn 1 Sn 1 2 n 1 2 2 n 1 所以当 n 2 时 bn Sn Sn 1 因此 bn Error 2 n 1 2 n 2 n n 1 2 设表中从第 3 行起 每行的公比都为 q 且 q 0 因为 1 2 12 78 12 13 2 所以表中第 1 行至第 12 行含有数列 an 中的前 78 项 故 a81在表中第 13 行第 3 列 因此 a81 b13 q2 又 b13 4 91 2 13 14