2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案 (2)

1 2008 年全国初中数学竞赛试题及参考答案年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分 以下每道小题均给出了代号为分 以下每道小题均给出了代号为 A B C D 的四的四 个选项 期中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都个选项 期中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都 得得 0 分 分 1 已知实数 满足 则的值为 xy 42 42 3 xx 42 3yy 4 4 4 y x A 7 B C D 5 113 2 713 2 答 A 解 因为 0 0 由已知条件得 2 x 2 y 2 1244 4 3113 44x 2 114 3113 22 y 所以 4 4 4 y x 22 22 22 3367yy xx 2 把一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次 若两个正 面朝上的编号分别为 m n 则二次函数的图象与 x 轴有两个不同交点的概率是 2 yxmxn A B C D 5 12 4 9 17 36 1 2 答 C 解 基本事件总数有 6 6 36 即可以得到 36 个二次函数 由题意知 0 即 2 4mn 2 4mn 通过枚举知 满足条件的 有 17 对 故mn 17 36 p 3 有两个同心圆 大圆周上有 4 个不同的点 小圆周上有 2 个不同的点 则这 6 个点可以确定的 不同直线最少有 A 6 条 B 8 条 C 10 条 D 12 条 答 B 解 如图 大圆周上有 4 个不同的点 A B C D 两两连线可以确定 6 条不 同的直线 小圆周上的两个点 E F 中 至 少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 则它与 A B C D 的连线中 至少有两条不同于 A B C D 的两两连线 从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条 当这 6 个点如图所示放置时 恰好可以确定 8 条直线 所以 满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条 4 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦 且 AB 1 以 AB 为一边在圆 O 内作正 ABC 点a A B C D E O F 第 3 题答案图 2 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点 且 DB AB DC 的延长线交圆 O 于点 E 则 AE 的长为 a A B 1 C D 5 2 a 3 2 a 答 B 解 如图 连接 OE OA OB 设 D 则a ECA 120 EACa 又因为 ABO 11 601802 120 22 ABDaa 所以 ACE ABO 于是 AE OA 1 5 将 1 2 3 4 5 这五个数字排成一排 最后一个数是奇数 且使得其中任意连续三个数之和 都能被这三个数中的第一个数整除 那么满足要求的排法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 答 D 解 设是 1 2 3 4 5 的一个满足要求的排列 12345 a a a a a 首先 对于 不能有连续的两个都是偶数 否则 这两个之后都是偶数 与已知条件 1234 a a a a 矛盾 又如果 1 i 3 是偶数 是奇数 则是奇数 这说明一个偶数后面一定要接两个或 1 a 1 1 a 1 2 a 两个以上的奇数 除非接的这个奇数是最后一个数 所以只能是 偶 奇 奇 偶 奇 有如下 5 种情形满足条件 12345 a a a a a 2 1 3 4 5 2 3 5 4 1 2 5 1 4 3 4 3 1 2 5 4 5 3 2 1 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分 分 6 对于实数 u v 定义一种运算 为 uv uv v 若关于 x 的方程有 1 4 xax 两个不同的实数根 则满足条件的实数的取值范围是 a 答 0 或 1aa 解 由 得 1 4 xax 2 1 1 1 0 4 axax 依题意有 解得 0 或 1 2 10 1 1 0 a aa aa 7 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车 那么 发车间隔的时间是 分钟 答 4 解 设 18 路公交车的速度是 x 米 分 小王行走的速度是 y 米 分 同向行驶的相邻两车的间距为 s 米 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车 则 66xys AB C O D E 第 4 题答案图 3 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车 则 33xys 由 可得 所以4sx 4 s x 即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟 8 如图 在 ABC 中 AB 7 AC 11 点 M 是 BC 的中点 AD 是 BAC 的平分线 MF AD 则 FC 的长为 答 9 解 如图 设点 N 是 AC 的中点 连接 MN 则 MN AB 又 MF AD 所以 FMN BAD DAC MFN 所以 FN MN AB 1 2 因此 FC FN NC AB 9 1 2 1 2 AC 9 ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过 ABC 的内切圆圆心 l 作 DE BC 分别与 AB AC 相 交于点 D E 则 DE 的长为 答 16 3 解 如图 设 ABC 的三边长为 a b c 内切圆 l 的半径为 r BC 边上的高为 则 a h 11 22 aABC ahSabc r 所以 a ra habc 因为 ADE ABC 所以它们对应线段成比例 因此 a a hrDE hBC 所以 DE 1 1 a aa hrraa bc aaa hhabcabc 故 DE 8 79 16 8796 10 关于 x y 的方程的所有正整数解为 22 208 xyxy 答 48 32 x y 160 32 x y 解 因为 208 是 4 的倍数 偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0 奇数的平方数除以 4 所得的余数 为 1 所以 x y 都是偶数 设 则 2 2 xa yb 22 104 abab A B C DM F 第 8 题 A B C DM F 第 8 题答案图 N A BC DE I r ha 第 9 题答案图 4 同上可知 都是偶数 设 则 a b2 2ac bd 22 52 cdcd 所以 都是偶数 设 则 c d2 2cs dt 22 26 stst 于是 其中都是偶数 222 13 13 2 13st s t 所以 222222 13 2 13 13 2 131511st 所以 13 可能为 1 3 5 7 9 进而为 337 329 313 289 257 故只能是s 2 13 t 289 从而 13 7 于是 2 13 t s 6 4 s t 20 4 s t 因此 48 32 s y 160 32 s y 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 15 分 满分分 满分 60 分 分 11 已知一次函数 二次函数 是否存在二次函数 其 1 2yx 2 2 1yx cbxaxy 2 3 图象经过点 5 2 且对于任意实数 x 的同一个值 这三个函数所对应的函数值 都有 12 y y 3 y 成立 若存在 求出函数的解析式 若不存在 请说明理由 123 yyy 3 y 解 存在满足条件的二次函数 因为 所以 当自变量 x 取任意实数 222 12 2 1 21 1 0yyxxxxx 时 均成立 12 yy 由已知 二次函数的图象经过点 5 2 得cbxaxy 2 3 25 52abc 当时 有 1x 12 2yy 3 yabc 由于对于自变量取任实数时 均成立 所以有 2 2 x 132 yyy abc 故 2abc 由 得 所以 5 分4ba 25ca 2 3 4 25 yaxaxa 当时 有 即 13 yy 2 24 25 xaxaxa 2 42 25 0axaxa 所以 二次函数对于一切实数 x 函数值大于或等于零 故 2 42 25 yaxaxa 即 所以 2 0 42 4 25 0 a aaa 2 0 31 0 a a 1 3 a 5 当时 有 即 23 yy 22 4 25 1axaxax 2 1 4 51 0a xaxa 所以 二次函数对于一切实数 x 函数值大于或等于零 故 2 1 4 51 ya xaxa 即所以 2 10 4 4 1 51 0 a aaa 2 1 31 0 a a 1 3 a 综上 141 4 25 333 abaca 所以 存在二次函数 在实数范围内 对于 x 的同一个值 都有 2 3 141 333 yxx 成立 15 分 132 yyy 12 是否存在质数 使得关于 x 的一元二次方程有有理数根 p q 2 0pxqxp 解 设方程有有理数根 则判别式为平方数 令 其中是一个非负整数 则 222 4qpn n 2 4qn qnp 5 分 由于 1且与同奇偶 故同为偶数 因此 有如下几种可能情形 qmqn qn qn 2 2 2 qn qnp 2 4 qn qnp 4 qnp qnp 2 2 qnp qnp 2 4 qnp qn 消去 n 解得 2 1qp 2 2 2 p q 5 2 p q 2qp 2 2 2 p q 10 分 对于第 1 3 种情形 从而 对于第 2 5 种情形 从而 不合题意 2p 5q 2p 4q 舍去 对于第 4 种情形 是合数 不合题意 舍去 q 又当时 方程为 2 它的根为 它们都是有理数 2 5pq 2 520 xx 12 1 2 2 xx 综上有述 存在满足题设的质数 15 分 13 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 ABC 证 明你的结论 解 存在满足条件的三角形 当 ABC 的三边长分别为时 A 2 B 6 4 5abc 5 分 如图 当 A 2 B 时 延长 BA 至点 D 使 AD AC b 连接 CD 则 ACD 为等腰三角形 因为 BAC 为 ACD 的一个外角 所以 BAC 2 D 由已知 BAC 2 B 所以 A B C D 第 13 题答案图 6 B D 所以 CBD 为等腰三角形 又 D 为 ACD 与 CBD 的一个公共角 有 ACD CBD 于是 即 ADCD CDBD ba abc 所以 10 分 2 ab bc 而所以此三角形满足题设条件 故存在满足条件的三角形 2 64 45 15 分 说明 满足条件的三角形是唯一的 若 A 2 B 可得 有如下三种情形 2 ab bc i 当时 设 为大于 1 的正整数 acb 1 1ancn bn n 代入 得 解得 有 2 ab bc 2 1 1 21 nnn 5n 6 4 5abc ii 当时 设 为大于 1 的正整数 bac 1 1cnan bn n 代入 得 解得 有 此时不能构成三角 2 ab bc 2 1 2nnn 2n 2 1 3abc 形 iii 当时 设 为大于 1 的正整数 abc 1 1anbn cn n 代入 得 即 此方程无整数解 2 ab bc 2 1 21 nnn 2 310nn 所以 三边长恰为三个连续的正整数 且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形存在 而且只 有三边长分别为 4 5 6 构成的三角形满足条件 14 已知有 6 个互不相同的正整数 且 从这 6 个数中任意取出 126 a aa 126 aaa 3 个数 分别设为 其中 记 ijk a a aijk 123 ijk f i j k aaa 证明 一定存在 3 个不同的数组 其中 使得对应着的 3 个 i j k16ijk 两两之差的绝对值都小于 0 5 f i j k 证明 在 6 个正整数中任意取出 3 个数共有 20 种取法 从而确定了 20 个数组 i j k 由于 0 5 分 12312313 3213 ijk f i j k aaa 把数轴上的点 0 到点分成如下 9 个部分 13 3 7 0 1 2 x 1 1 2 x 3 1 2 x 3 2 2 x 5 2 2 x 5 3 2 x 10 分 7 3 2 x 7 4 2 x 13 4 3 x 由于 20 9 2 2 由抽屉原则知 在上述 9 个部分中 一定有一个至少含有 3 个 从而 f i j k 这 3 个两两之差的绝对值都小于 0 5 f i j k 15 分 数学周报数学周报 杯杯 2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分分 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个的四个 选项 其中有且只有一个选项是正确的选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 已知非零实数 a b 满足 则等于 2 242 3 42ababa ab wennuan A 1 B 0 C 1 D 2 2 如图 菱形 ABCD 的边长为 a 点 O 是对角线 AC 上的一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B C 1 D 2 51 2 51 2 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次 记第一次掷出的点数为 第二次掷出的点数为 则使关于 x y 的方程组ab 只有正数解的概率为 3 22 axby xy A B C D 12 1 9 2 18 5 36 13 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB DC 动点 P 从点90B B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的面积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数的图象如图 2 所示 则 ABC 的面积为 A 10 B 16 C 18 D 32 第 2 题 8 5 关于 x y 的方程的整数解 x y 的组数为 22 229xxyy A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分 分 6 一个自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000 km 后报废 若把它安装在后轮 则自 行车行驶 3000 km 后报废 行驶一定路程后可以交换前 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行 车的一对新轮胎同时报废 那么这辆车将能行驶 km 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 A 为圆心 AB 的长为半径作圆 在线段 AB 的 延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长为半径作圆 与 A 分别 相交于 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则的值为 AH AB 8 已知是满足条件的五个不同的整数 若 12345 aaaaa 12345 9aaaaa 是关于 x 的方程的整数根 则的值为 b 12345 2009xaxaxaxaxa b 9 如图 在 ABC 中 CD 是高 CE 为的平分线 若ACB AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长等于 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里都想好一个数 并把自己想好的数如 实地告诉他两旁的两个人 然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来 若报出来的数如图 所示 则报 3 的人心里想的数是 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧 22 21 yxkxk x1x 若是 请说明理由 若不一定是 请求出两个交点都在直线的右侧时 k 的取值范围 1x 12 在平面直角坐标系中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完全平方数的点称为 好xOy 点 求二次函数的图象上所有 好点 的坐标 2 90 4907yx 13 如图 给定锐角三角形 ABC AD BE 是它的两条高 过点作BCCA C ABC 的外接圆的切线 过点 D E 分别作 的垂线 垂足分别为 F G 试比较线段ll 第 4 题 图 1 图 2 第 10 题 第 7 题 第 9 题 9 DF 和 EG 的大小 并证明你的结论 14 n 个正整数满足如下条件 12n aaa 12 12009 n aaa 且中任意 n 1 个不同的数的算术平均数都是正整数 求 n 的最大值 12n aaa 答案 1 答 C 解 解 由题设知 a 3 所以 题设的等式为 于是 从而 2 2 3 0bab 32ab 1 ab 2 答 A 解 解 因为 BOC ABC 所以 即 BOBC ABAC 1 1 a aa 所以 2 10aa 由 解得 0a 15 2 a 3 答 D 解 解 当时 方程组无解 20ab 当时 方程组的解为02 ba 62 2 23 2 b x ab a y ab 由已知 得即或 0 2 32 0 2 26 ba a ba b 3 2 3 02 b a ba 3 2 3 02 b a ba 由 的实际意义为 1 2 3 4 5 6 可得ab 共有 5 2 10 种情况 或共 3 种情况 2 3 4 5 6 12 a b 1 4 5 6 a b 又掷两次骰子出现的基本事件共 6 6 36 种情况 故所求的概率为 36 13 4 答 B 第 13 题 10 解 解 根据图像可得 BC 4 CD 5 DA 5 进而求得 AB 8 故 S ABC 8 4 16 1 2 5 答 C 解 解 可将原方程视为关于的二次方程 将其变形为x 22 229 0 xyxy 由于该方程有整数根 则判别式 且是完全平方数 0 由 222 4 229 7116yyy 0 解得 于是 2 y 116 16 57 7 2 y014916 11610988534 显然 只有时 是完全平方数 符合要求 2 16y 4 当时 原方程为 此时 4y 2 430 xx 12 1 3xx 当 y 4 时 原方程为 此时 2 430 xx 34 1 3xx 所以 原方程的整数解为 1 1 1 4 x y 2 2 3 4 x y 3 3 1 4 x y 4 4 3 4 x y 6 答 3750 解 解 设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k 则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为 安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 又设一对新轮胎交换位置前走了 x 5000 k 3000 k km 交换位置后走了 y km 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程 有 50003000 50003000 kxky k kykx k 两式相加 得 2 50003000 k xyk xy k 则 2 3750 11 50003000 xy 11 7 7 解 解 如图 延长 AD 与 D 交于点 E 连接 AF EF 由题设知 在 FHA 和 EFA 中 1 3 ACAD 1 3 ABAE 90EFAFHA FAHEAF 所以 Rt FHA Rt EFA AHAF AFAE 而 所以 AFAB AH AB 1 3 8 答 10 解 解 因为 且是五 12345 2009bababababa 12345 aaaaa 个不同的整数 所有也是五个不同的整数 12345 bababababa 又因为 所以 2009117741 12345 41bababababa 由 可得 12345 9aaaaa 10b 9 答 60 2 7 解 解 如图 由勾股定理知 AD 9 BD 16 所以 AB AD BD 25 故由勾股定理逆定理知 ACB 为直角三角形 且 90ACB 作 EF BC 垂足为 F 设 EF x 由 得 CF x 于是 1 45 2 ECFACB BF 20 x 由于 EF AC 所以 EFBF ACBC 即 20 1520 xx 解得 所以 60 7 x 60 2 2 7 CEx 10 答 2 解 解 设报 3 的人心里想的数是 则报 5 的人心里想的数应是 x8x 12 于是报 7 的人心里想的数是 报 9 的人心里想的数是 12 8 4xx 报 1 的人心里想的数是 报 3 的人心里想的数是16 4 12xx 20 12 8xx 所以4 8 4xx 4xx 解得 2x 11 解 解 不一定 例如 当 k 0 时 函数的图象与 x 轴的交点为 0 0 和 1 0 不都在直线的右侧 5 分1x 设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 则 当 12 xx 2 1212 21 xxkx xk 且仅当满足如下条件 10 分 12 12 0 1 1 0 1 1 0 xx xx 时 抛物线与轴的两交点都在直线的右侧 x1x 由 22 2 21 40 210 20 kk k kk 解之 得 15 分 1 4 1 2 20 k k kk 或 所以当时 抛物线与轴的两交点在直线的右侧 2k x1x 20 分 12 解 解 设 m k 都是非负整数 则 2 ym 22 90 xk 22 7 7011 4907km 即 10 分 7 7011 4907km km 则有 701 4907 7 1 kmkm kmkm 13 解得 12 12 354 2454 347 2453 kk mm 所以 3124 1234 2544 444 264 2364 120409 120409 6017209 6017209 xxxx yyyy 故 好点 共有 4 个 它们的坐标是 444 120409264 1204092544 60172092364 6017209 20 分 13 解法解法 1 结论是 下面给出证明 5 分DFEG 因为 所以 Rt FCD Rt EAB 于是可得FCDEAB CD DFBE AB 同理可得 CE EGAD AB 10 分 又因为 所以有 于是可得tan ADBE ACB CDCE BE CDAD CE 20DFEG 分 解法解法 2 结论是 下面给出证明 DFEG 5 分 连接 DE 因为 所以 A B D E 四点共圆 90ADBAEB 故 10 分CEDABC 又 l 是 O 的过点 C 的切线 所以 15 分ACGABC 所以 于是 DE FG 故 DF EG CEDACG 20 分 14 解 解 设中去掉后剩下的 n 1 个数的算术平均数为正整数 12n aaa i a i b 即 12in 12 1 ni i aaaa b n 于是 对于任意的 1 n 都有ij 1 ji ij aa bb n 第 13 题 第 13 题 14 从而 5 分1 ji naa 由于 是正整数 故 1 1 2008 11 n n aa bb nn 10 分 3 1 2251n 由于 11221 1 nnnnn aaaaaaa 2 111 1 nnnn 所以 2008 于是 n 45 2 1 n 结合 所以 n 9 15 分 3 1 2251n 另一方面 令 123 8 0 1 8 1 1 8 2 1aaa 8 8 7 1a 则这 9 个数满足题设要求 9 8 251 1a 综上所述 n 的最大值为 9 20 分 数学周报数学周报 杯杯 2010 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分分 其中有且只有一个选项是正确的其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填请将正确选项的代号填 入题后的括号里入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 若 若 则 则的值为 的值为 20 10 ab bc ab bc A B C D 11 21 21 11 110 21 210 11 解 解 由题设得 D 1 20 1210 1 11 11 10 a ab b c bc b 2 若实数 若实数 a b 满足满足 则 则 a 的取值范围是的取值范围是 2 1 20 2 aabb A a B a 4 C a 或或 a 4 D a 42 2 2 解解 C 因为 b 是实数 所以关于b的一元二次方程 2 1 20 2 baba 的判别式 0 解得 a 或 a 4 2 1 4 1 2 2 aa 2 3 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCD 中 中 B 135 C 120 AB BC CD 则 则2 342 2 4 2 AD 边的长为 边的长为 A B 2 664 15 C D 64 622 解 解 D 如图 过点 A D 分别作 AE DF 垂直于直线 BC 垂足分别为 E F 由已知可得 BE AE CF DF 2 62 26 于是 EF 4 6 过点 A 作 AG DF 垂足为 G 在 Rt ADG 中 根据勾股定理得 AD 222 46 6 224 22 6 4 在一列数 在一列数 中 已知中 已知 且当 且当 k 2 时 时 123 xxx 1 1 x 1 12 1 4 44 kk kk xx 取整符号 取整符号表示不超过实数表示不超过实数的最大整数 例如的最大整数 例如 则 则等于 等于 aa 2 62 0 20 2010 x A 1 B 2 C 3 D 4 解 解 B 由和可得1 1 x 1 12 1 4 44 kk kk xx 1 1x 2 2x 3 3x 4 4x 5 1x 6 2x 7 3x 8 4x 因为 2010 4 502 2 所以 2 2010 x 5 如图 在平面直角坐标系 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 等腰梯形中 等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为 A 1 1 B 2 1 C 2 1 D 1 1 y 轴上一点轴上一点 P 0 2 绕点 绕点 A 旋转旋转 180 得点得点 P1 点 点 P1绕点绕点 B 旋转旋转 180 得点得点 P2 点 点 P2绕点绕点 C 旋转旋转 180 得点得点 P3 点 点 P3绕点绕点 D 旋转旋转 180 得点得点 P4 重复操作依次得到点 重复操作依次得到点 P1 P2 则点则点 P2010的坐标是 的坐标是 A 2010 2 B 2010 2 C 2012 D 0 2 2 第 3 题 第 3 题 第 5 题 16 解 解 B 由已知可以得到 点 的坐标分别为 2 0 2 1 P 2 P2 记 其中 222 P ab 22 2 2ab 根据对称关系 依次可以求得 322 42 Pab 422 2 Pab 4 522 2 Pab 622 4 Pab 令 同样可以求得 点的坐标为 即 662 P ab 10 P 62 4 a b 10 P 22 4 2 a b 由于 2010 4502 2 所以点的坐标为 2010 2010 P2 二 填空题二 填空题 6 已知 已知 a 1 则 则 2a3 7a2 2a 12 的值等于的值等于 5 解 解 0 由已知得 a 1 2 5 所以 a2 2a 4 于是 2a3 7a2 2a 12 2a3 4a2 3a2 2a 12 3a2 6a 12 0 7 一辆客车 一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶 在某一时刻 客车在前 一辆客车 一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶 在某一时刻 客车在前 小轿车在后 货车在客车与小轿车的正中间 过了小轿车在后 货车在客车与小轿车的正中间 过了 10 分钟 小轿车追上了货车 又过了分钟 小轿车追上了货车 又过了 5 分钟 小轿分钟 小轿 车追上了客车 再过车追上了客车 再过 t 分钟 货车追上了客车 则分钟 货车追上了客车 则 t 解 解 15 设在某一时刻 货车与客车 小轿车的距离均为 S 千米 小轿车 货车 客车的速度分别为 千米 分 并设货车经 x 分钟追上客车 由题意得abc 10 abS 152acS x bcS 由 得 所以 x 30 故 分 30 bcS 30 10515t 8 如图 如图 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中 中 多边形多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是 O 0 0 A 0 6 B 4 6 C 4 4 D 6 4 E 6 0 若直线 若直线 l 经过点经过点 M 2 3 且将 且将多边形多边形 OABCDE 分割分割 成面积相等的两部分 则直线成面积相等的两部分 则直线 l 的函数表达式是的函数表达式是 第 8 题 第 8 题 17 解 解 111 33 yx 如图 延长 BC 交 x 轴于点 F 连接 OB AFCE DF 且相交于点 N 连接 由已知得点 M 2 3 是 OB AF 的中点 即点 M 为矩形 ABFO 的中心 所以直线 把矩形 ABFOl 分成面积相等的两部分 又因为点 N 5 2 是矩形 CDEF 的中心 所以 过点 N 5 2 的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分 于是 直线即为所求的直线 MNl 设直线 的函数表达式为 则lykxb 23 52 k b kb 解得 故所求直线 的函数表达式为 1 3 11 3 k b l 111 33 yx 9 如图 射线 如图 射线 AM BN 都垂直于线段都垂直于线段 AB 点 点 E 为为 AM 上一点 过点上一点 过点 A 作作 BE 的垂线的垂线 AC 分别交分别交 BE BN 于点于点 F C 过点 过点 C 作作 AM 的垂线的垂线 CD 垂足为 垂足为 D 若 若 CD CF 则 则 AE AD 解 解 2 15 见题图 设 FCmAFn 因为 Rt AFB Rt ABC 所以 2 ABAF AC 又因为 FC DC AB 所以 即 2 mn nm 2 10 nn mm 解得 或 舍去 51 2 n m 51 2 n m 又 Rt Rt 所以 即 AFECFB AEAEAFn ADBCFCm 51 2 AE AD 51 2 10 对于 对于 i 2 3 k 正整数 正整数 n 除以除以 i 所得的余数为所得的余数为 i 1 若 若的最小值的最小值满足满足n 0 n 则正整数 则正整数的最小值为的最小值为 0 20003000n k 解 解 因为为的倍数 所以的最小值满足91n 2 3 k n 0 n 0 12 3 nk 第 9 题 18 其中表示的最小公倍数 2 3 k 2 3 k 由于 2 3 88402 3 92520 2 3 1025202 3 1127720 因此满足的正整数的最小值为 0 20003000n k9 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 如图 如图 ABC 为等腰三角形 为等腰三角形 AP 是底边是底边 BC 上的高 点上的高 点 D 是线段是线段 PC 上的一点 上的一点 BE 和和 CF 分分 别是别是 ABD 和和 ACD 的外接圆直径 连接的外接圆直径 连接 EF 求证 求证 tan EF PAD BC 证明 证明 如图 连接 ED FD 因为 BE 和 CF 都是直径 所以 ED BC FD BC 因此 D E F 三点共线 5 分 连接 AE AF 则 AEFABCACBAFD 所以 ABC AEF 10 分 作 AH EF 垂足为 H 则 AH PD 由 ABC AEF 可得 EFAH BCAP 从而 EFPD BCAP 所以 20 分 tan PDEF PAD APBC 12 如图 抛物线 如图 抛物线 a0 与双曲线 与双曲线相交于点相交于点 A B 已知点已知点 A 的坐标为 的坐标为 1 4 2 yaxbx k y x 点点 B 在第三象限内 且在第三象限内 且 AOB 的面积为的面积为 3 O 为坐标原点 为坐标原点 1 求实数 求实数 a b k 的值 的值 第 12B 题 第 12A 题 第 11 题 第 12B 题 第 11 题 19 2 过抛物线上点 过抛物线上点 A 作直线作直线 AC x 轴 交抛物线于另一点轴 交抛物线于另一点 C 求所有满足 求所有满足 EOC AOB 的点的点 E 的坐标的坐标 解 解 1 因为点 A 1 4 在双曲线上 k y x 所以 k 4 故双曲线的函数表达式为 x y 4 设点 B t AB 所在直线的函数表达式为 则有 4 t 0t ymxn 解得 4 4 mn mtn t 4 m t 4 1 t n t 于是 直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 故 4 1 0 t t 整理得 141 13 2 AOB t St t 2 2320tt 解得 或 t 舍去 所以点 B 的坐标为 2t 2 1 2 2 因为点 A B 都在抛物线 a0 上 所以 2 yaxbx 解得 10 分 4 422 ab ab 1 3 a b 2 如图 因为 AC x 轴 所以 C 4 于是 CO 44 又 BO 2 所以 222 BO CO 设抛物线 a0 与 x 轴负半轴相交于点 D 则 2 yaxbx 点 D 的坐标为 0 3 因为 COD BOD 所以 COB 45 90 i 将 绕点 O 顺时针旋转 得到 这时 点 2 是 CO 的中点 点BOA90 1 B OA B 2 的坐标为 4 1 A1 延长到点 使得 这时点 8 是符合条件的点 1 OA 1 E 1 OE 1 2OA 1 E2 ii 作 关于 x 轴的对称图形 得到点 1 延长到点 使得BOA 2 B OA 2 A4 2 OA 2 E 这时点 E 2 是符合条件的点 2 OE 2 2OA8 所以 点的坐标是 8 或 2 20 分 E2 8 第 12 题 第 12 题 20 13 求满足 求满足的所有素数的所有素数 p 和正整数和正整数 m 22 282ppmm 解 解 由题设得 21 4 2 ppmm 所以 由于 p 是素数 故 或 5 分 4 2 pmm 4 pm 2 pm 1 若 令 k 是正整数 于是 4 pm 4mkp 2mkp 222 3 21 4 2 pppmmk p 故 从而 2 3k 1k 所以解得 10 分 4 221 mp mp 5 9 p m 2 若 令 k 是正整数 2 pm 2mkp 当时 有 5p 46 1 mkpkppp k 22 3 21 4 2 1 pppmmk kp 故 从而 或 2 1 3k k 1k 由于是奇数 所以 从而 21 4 2 ppmm 2k 1k 于是 421 2 mp mp 这不可能 当时 当 无正整数解 当5p 2 263mm 9m 3p 2 229mm 时 无正整数解 2p 2 218mm 综上所述 所求素数 p 5 正整数 m 9 20 分 14 从 从 1 2 2010 这这 2010 个正整数中 最多可以取出多少个数 使得所取出的数中任意三个数之和个正整数中 最多可以取出多少个数 使得所取出的数中任意三个数之和 都能被都能被 33 整除 整除 解 解 首先 如下 61 个数 11 即 1991 满足题设条件 11 33 112 33 11 60 33 5 分 21 另一方面 设是从 1 2 2010 中取出的满足题设条件的数 对于这 n 个数 12n aaa 中的任意 4 个数 因为 ijkm aaaa 33 ikm aaa 33 jkm aaa 所以 33 ji aa 因此 所取的数中任意两数之差都是 33 的倍数 10 分 设 i 1 2 3 n 1 33 ii aad 由 得 123 33 aaa 123 33 33333 add 所以 即 11 15 分 1 33 3a 1 11 a 1 a 1 33 n n aa d 2010 11 61 33 故 60 所以 n 61 n d 综上所述 n 的最大值为 61 20 分 2011 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得 0 分 1 设 则代数式的值为 C 53 2 x 1 2 3 x xxx A 0 B 1 C 1 D 2 2 对于任意实数 定义有序实数对与之间的运算 为 a b c d a b c d 如果对于任意实数 都有 a bc dacbd adbc u v u vx yu v 那么为 B x y A B C D 0 1 1 0 1 0 0 1 3 已知是两个锐角 且满足 则实数 A B 22 5 sincos 4 ABt 222 3 cossin 4 ABt 所有可能值的和为 C t A B C 1 D 8 3 5 3 11 3 4 如图 点分别在 ABC 的边 AB AC 上 BE CD 相交于点 F 设 D E 1EADF SS四边形 则与的大小关系为 C BDF2 SS BCF3 SS CEF4 SS 13 SS 24 S S A 13 SS 24 S S B 13 SS 24 S S C 13 SS 24 S S A BC E D F 22 D 不能确定 5 设 则 4S 的整数部分等于 A 3333 1111 S 1232011 A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 两条直角边长分别是整数 其中 斜边长是的直角三角形的个数为 a b2011b 1b 31 7 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 2 2 3 3 4 另一枚质地均匀的正方 体骰子的六个面上的数字分别是 1 3 4 5 6 8 同时掷这两枚骰子 则其朝上的面两数字之和为 5 的概率是 9 1 8 如图 双曲线与矩形 OABC 的边 CB BA 分 2 0 yx x 别交于点 E F 且 AF BF 连接 EF 则 OEF 的面积为 2 3 9 的三个不同的内接正三角形将 分成的区域的个数为OO 28 10 设四位数满足 则abcd 3333 110abcdcd 这样的四位数的个数为 5 三 解答题 共 4 题 每题 20 分 共 80 分 11 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个x 2 0 xcxa 2 0 xaxb 根都大 1 求的值 abc 解 设方程的两个根为 其中 为整数 且 2 0 xaxb 则方程的两个整数根为 1 1 2 0 xcxa 由根与系数关系得 a 1 1 a 两式相加得 2 2 1 0 即 2 2 3 或 解得 或 32 12 12 32 1 1 3 5 又 a b c 1 1 a 0 b 1 c 2 或 a 8 b 15 c 6 故 3 或 29abc abc 12 如图 点 H 为 ABC 的垂心 以 AB 为直径的 和 BCH 的外接圆 相交于点 D 延长 1 O 2 O AD 交 CH 于点 P 求证 点 P 为 CH 的中点 证明 如图 延长 AP 交 于点 Q 2 O 连结 AH BD QC QH AB 为直径 ADB BDQ 900 BQ 为 的直径 2 O 于是 CQ BC BH HQ 点 H 为 ABC 的垂心 AH BC BH AC AH CQ AC HQ 四边形 ACHQ 为平行四边形 则点 P 为 CH 的中点 y x C A BE F O A B C 1 O H 2 O P D Q 23 13 若从 1 2 3 中任取 5 个两两互素的不同的整数 其中总有一n 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 个整数是素数 求的最大值 n 解 若 n 49 取整数 1 22 32 52 72 这五个整数是五个两两互素的不同的整数 但没有一个整数 是素数 n 48 在 1 2 3 48 中任取 5 个两两互素的不同的整数 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 若 都不是素数 则 中至少有四个数是合数 不妨 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 假设 为合数 1 a 2 a 3 a 4 a 设 的最小的素因数分别为 p1 p2 p3 p4 1 a 2 a 3 a 4 a 由于 两两互素 p1 p2 p3 p4两两不同 1 a 2 a 3 a 4 a 设 p 是 p1 p2 p3 p4中的最大数 则 p 7 因为 为合数 所以 中一定存在一个 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a aj p2 72 49 与 n 49 矛盾 于是 中一定有一个是素数 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 综上所述 正整数 n 的最大值为 48 14 如图 ABC 中 BAC 60 AB 2AC 点 P 在 ABC 内 且 PA PB 5 PC 2 求 ABC 的面积 3 解 如图 作 ABQ 使得 QAB PAC ABQ ACP 则 ABQ ACP 由于 AB 2AC 相似比为 2 于是 AQ 2 AP 2 BQ 2CP 43 QAP QAB BAP PAC BAP BAC 60 由 AQ AP 2 1 知 APQ 900 于是 PQ AP 33 BP2 25 BQ 2 PQ 2 从而 BQP 900 作 AM BQ 于 M 由 BQA 1200 知 AQM 600 QM AM 3 于是 3 AB2 BM 2 AM 2 4 2 32 28 833 故 S ABC AB ACsin600 AB 2 2 1 8 3 2 376 20122012 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 3535 分 分 1 如果实数 a b c 在数轴上的位置如图所示 那么代数式 22 aabcabc 可以化简为 A 2c a B 2a 2b C a D a 2 如果正比例函数 y ax a 0 与反比例函数 y x b b 0 的图象有两个交点 其中一个交点 的坐标为 3 2 那么另一个交点的坐标为 A C P B Q M 第 1 题图 24 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 3 如果ab 为给定的实数 且1ab 那么1121aabab 这四个数据的平均数与 中位数之差的绝对值是 A 1 B 21 4 a C 1 2 D 1 4 4 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币 小倩对小玲说 你若给我 2 元 我的钱数将是你 的 n 倍 小玲对小倩说 你若给我 n 元 我的钱数将是你的 2 倍 其中 n 为正整数 则 n 的可能值的 个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 2 3 4 5 6 掷两次骰子 设其朝上的面 上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0 1 2 3 的概率为 0123 pppp 则 0123 pppp 中最大的是 A 0 p B 1 p C 2 p D 3 p 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 3535 分 分 6 按如图的程序进行操作 规定 程序运行从 输入一个值 x 到 结果是否 487