2011年四升五暑假考级班讲义.doc

2011年四升五暑假考级班讲义（一到十一讲）第一讲 消 去 问 题1、 某水库用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵20小时的抽水量等于大水泵8小时的抽水量，小水泵每小时抽水多少立方米？2、 已知一只玩具狗重16千克。两只玩具狗的重量相当于四只玩具猫的重量，两只玩具猫的重量相当于两只玩具小猴和两只玩具小兔的重量，由此推算一只玩具小猴和一只玩具小兔共重多少千克？3、 张大爷去买桌子和椅子，发现店中的1张桌子与4把椅子的价格相等。他买了2张桌子和7把椅子，一共用去300元。每张桌子和每把椅子各多少元？4、 书店把科技书和故事书按一定本数打包寄给希望小学。包好之后发现，4包科技书和3包故事书共380本，而每包中科技书比故事书少10本。每包共有科技书和故事书多少本？5、 师傅和徒弟每小时加工的零件数不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？6、 水果店的3筐苹果和5筐梨中，梨和苹果共有86个，6筐苹果和4筐梨中，梨和苹果共有112个。问：每筐苹果和每筐梨各有多少个？7、 某食堂第一次运进大米5袋，面粉3袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重850千克。问：一袋大米和一袋面粉共重多少千克？8、 4头牛和3匹马每天吃草90千克，4头牛和1匹马每天吃草60千克。每头牛和每匹马每天各吃草多少千克？9、 根据下面表中前两种水果组合的价钱，算一算第三种水果组合的价钱，填在括号里。组合芒果葡萄价钱一2千克3千克54元二3千克2千克46元三4千克4千克（ ）元10、买3千克茶叶和4千克糖一共用去420元，买同样的2千克茶叶比4千克糖贵130元。每千克茶叶与每千克糖相差多少元？11、4筐苹果和3筐桃子一共重195千克，3筐苹果和4筐桃子共重190千克，每筐苹果和每筐桃子各重多少千克？12、育才小学买了6个足球和10个皮球一共付460元，如果8个足球和20个皮球一共付680元，每个足球和每个皮球各多少元？13、5条花毛巾和4条白毛巾一共60元，8条花毛巾和7条白毛巾一共99元。每条花毛巾和每条白毛巾各多少元？14、7只鸡和4只鸭一共重20千克，10只鸡和7只鸭一共重30.5千克，一只鸡和一只鸭各重多少千克？15、买3千克精粉和4千克小米共付16.6元，如果买5千克精粉和7千克小米共付28.5元。每千克精粉和每千克小米各多少元？16、 甲筐里放了5只鸡，乙筐里放了4只兔，两筐一共重22千克，如果把两筐各交换一只，两筐的重量相等。问鸡、兔每只各多少千克？17、桌面上一边放5包茶叶，另一边放4包糖，每包茶叶比每包糖轻，茶叶和糖一共44千克，如果各取出一包茶叶和一包糖交换位置，那么两包的重量相等，求每包茶叶和每包糖各多少千克？18、1枝铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共5元3角；2枝铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共7元7角；3枝铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共9元6角。求1枝铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各多少钱？19、某文具店中铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售，文具盒内装4枝铅笔售4元；在同一种文具盒内装4枝彩色笔和2枝圆珠笔售8元；仍在这个文具盒内装4枝彩色笔和2枝圆珠笔，再加2枝铅笔售9元，如果在这个文具盒内装3枝铅笔、2枝彩色笔和1枝圆珠笔，那么售价应是多少元？20、按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005，那么，2006年全年中共有（ ）天会让英、美两国人在记法上产生误会。第二讲：加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决。加法原理：做一件事，完成它可以有几类方法。在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+mn（种）不同的方法。例如：从南京到上海乘汽车一天有3次，坐火车一天有5次，乘飞机一天有2次，那么一天内从南京到上海的方法一共有：3+5+2=10（种）在上面的问题中，完成一件事有三大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成并且三大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二、三类的方法数1、学校组织读书活动，要求每个同学读一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？2、有1克、2克、5克的砝码各一个，那么，天平称上可以称出多少种不同质量的物体？3、某小学自然实验室有2克、5克天平砝码各2个，用它们（至少用一个）来称物品，可以称出多少种不同重量的物品？4、袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小李从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有多少种可能？5、用一张10元、一张5元、一张2元、一张1元可以组成多少种不同的币值？6、 汽车售票员有1元、2元、5元、10元4种票价的车票各一本（每本有若干张），她要给一乘客8元的车票，有多少种不同的给法？你认为哪种方法最合理？7、 -=的减法算式，要求所用的数为1，2，3，9。你能列出多少种不同的算式？8、 从A市到B市可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有5班，汽车有6班，轮船有4班，那么一天中，从A市到B市共有多少种不同的走法？9、一把钥匙配一把锁，现有10把钥匙10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？10、一把钥匙配一把锁，现有5把钥匙10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？11、从北京开往南京的火车，中途要停靠10个站，问这列火车需准备多少种火车票？12、两次投掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？13、图中所示是由A到B可通行的几条街道，从A到B路程最短的路线是多少种？第三讲、乘法原理与排列组合在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决乘法原理：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1m2mn(种)不同的方法。例如：某人从南京出发经过镇江作短暂停留再去上海，都是坐的火车，从南京到镇江的火车有2次，从镇江到上海的火车一天有3次。某人从南京到上海的方法一共有23=6（种）补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题加法原理、乘法原理是与组合数、排列数的计算密切相关的。运用加法原理或乘法原理解决实际问题，都与“完成一件工作”有关系，如果完成一件工作，有几类方法而不分步骤，就用加法原理，如果分步骤进行，就用乘法原理。在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来这种方法叫穷举法（枚举法）穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的。1、 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？2、有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？3、书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 4、王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？5、由数字0、1、2、3组成三位数，问： 可组成多少个不相等的三位数？ 可组成多少个没有重复数字的三位数？ 6、 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？7、5个同学去照相馆拍合影留念，摄影师要他们排成一横排，其中小明个子较高只能站在中间。共有多少种不同的排法？8、由18个人参加联欢会，如果每2个人握一次手，这些人一共要握多少次手？9、如图，A、B、C、D 4个区域分别用红、黄、蓝、白4种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？ABCD10、如图，A、B、C、D 4个区域分别用红、黄、蓝、白4种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？ABDC11、现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？12、从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？13、自然数115中含有两个数字1，那么从1到1000这1000个自然数中共有多少个数字1？14、甲、乙、丙三个同学拍照留念，根据拍照人数和所在位置一共可以拍出多少种不同的照片？15、在下面一排数字中间的任意两个位置写上2个“+”号,可以得到三个自然数相加的加法算式, 所有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个? 16、用数码0至5可以组成多少个小于1000的自然数（数码可以重复使用)?用数码0至6可以组成多少个小于1000的自然数（数码不可以重复）17、在4位数中,至少出现一个5的奇数有多少个？18、有四组数:(1)1,2,3;(2)0.1,0.2,0.3,0.4;(3) 0.8，1.2,(4)5,6如果从每组数中各取出一个数相乘,那么所有不同取法的四个数乘积的总和是多少?19、三条直线上分别有3,3,4个点（下图),已知在不同直线上的任意三个点都不共线。问:以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形?20、在一个圆周上有10个点,以这些点为端点或顶点,可以画出多少条直线?多少个三角形?多少个四边形？21、在自然数中，用两位数做被减数,一位数做减数,共能组成多少个不同的减法算式？22、一个三位数,如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字,就称它吃掉另一个三位数。例如,532吃掉311,123吃掉123,但726与267相互都不被吃掉,能吃掉584的三位数共有多少个?23、在所有的四位数中,前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于8的共有多少个？第四讲 数码问题页码问题和周期问题有点相似，每个数字代表一个页码，一位数是1个页码，两位数是2个页码，同理三位数3个页码。19共有9个页码，1099共有290=180个页码，100999共有3900=2700个页码，同理10009999共有49000=36000个页码1、有一串数字,任何相邻的4个数码之和都是20,从左往右起第105,1043,128个数码分别是4,3,9,求第2个数码。2、 有一串数字9213从第3个数码起每一个数码都是前面2个数码的和的个位数。问:第100个数码是几?前100个数码之和是多少? 3、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了4253个数码,问:n是什么数?4、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了5293个数码,问:n是什么数?5、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了6093个数码,问:n是什么数?6、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了6293个数码,问:n是什么数?7、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了7293个数码,问:n是什么数?8、 将自然数从小到大无间隔地排列起来,得到一串数码123456789101112131415这串数码中从左起第4001个数码是几? 9、将自然数从小到大无间隔地排列起来,得到一串数码123456789101112131415这串数码中从左起第2010个数码是几? 10、排印一本2200页的书的页码,共需要多少个数码?11、 排印一本1665页的书的页码,共需要多少个数码?12、从1开始将自然数写出来：12345678910111213从左向右数，数到第12个数字起将开始第一次出现三个连续的1，数到第（ ）个数字起将开始第一次出现五个连续的613、求1,2,399998,99999这99999个数所有数码的和。14、求1,2,3,10000，这10000个数所有数码的和。15、求333320111234567890的各位数字之和。 16、求5555201120112011的各位数字之和。第五讲、抽 屉 原 理大家都知道，将4本书放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放两本或两本以上的书。这就是抽屉原理的简单实例。抽屉原理有两种形式： 1、第一（简单）抽屉原理：如果把多于n件东西，任意分放进n个抽屉里，那么必有一个抽屉里有至少放有两个或两个以上的东西。理解抽屉原理应注意以下几点：A、抽屉原理要求东西数比抽屉数多，至于多多少无关紧要，因而“多于n件东西”可以改为“n+1件东西”。B、“任意分放”是指不加限制地将这些东西放入抽屉，不规定每个抽屉都放东西，也不限制每个抽屉中放入多少东西。C、抽屉原理只能解决存在性原理，它不能告诉我们到底是哪一个抽屉放有至少两件东西。也许具有所述条件的抽屉有多个，但至少有一个。2、第二（加强）抽屉原理：将多于mn件东西任意分放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的东西不少于m+1件。解释为：如果东西的个数多于抽屉数量的m倍，那么就必有一个抽屉放有至少m+1件东西。运用抽屉原理解题时，首先应认真审题，分清“东西”是什么，“抽屉”是什么，其次还要根据题目的条件与结论，结合有关的数学知识恰当地建立抽屉，分清“东西”是运用抽屉原理解题的前提，建立“抽屉”是运用抽屉原理解题的关键。抽屉原理的方法在应用时有两点很重要：A、必须把题目中的一些条件想成“抽屉”，并知道抽屉的数目。如性别（2种），一年中的月份数（12个月）和天数（365天或366天），每月的天数，每周的天数，人的属相（12种），被一个数除后的余数，按照题目条件排列组合的方法等等。B、必须把题目的另一些条件想成“苹果”，并知道它们的数目。结论：1、任意三个自然数中，必然有两个数的和为偶数2、任意三个整数中，总有两个整数之差能被2整除。3、任取n+1个自然数，其中必定有两个自然数的差是n的倍数。 4、任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当作和）。例题：例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？例3 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。例4 从1、2、3、4、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。例5 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。例6 证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。例7 某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。例8 为了欢迎外宾来校参观，学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同学都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾.至少有多少位同学才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗颜色一样，而且（左、右）顺序也相同？例9 从10至20这11个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。例10 从1、2、3、20这20个数中，任选12个数，证明其中一定包括两个数，它们的差是11。一、基础题1、图书角有文艺书、故事书、科技书各7本，现有7名同学来借书，每人可任意借2本。证明：必有2名同学借的书完全相同。2、钢铁厂第一车间有31名男工出生在六月份。请你说明：至少有2名男工生日相同。3、学校体育室还剩下足球和排球各4个。现有4位同学来借球，每人可从中任选2个球。证明：必有两位同学借的球完全相同。4、学校有红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位同学最少借一个，最多可借两个不同颜色的球，那么至少要来几位同学借球，才能保证必有3位同学借的球的颜色完全相同？5、有5支足球队进行单循环赛。证明：在比赛的过程中的任何时候，至少有2个球队赛过的场次相同。6、有18朵鲜花，现要插入4个花瓶里。证明：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。7、在正方形的每个面上分别染上红、黄、蓝三种颜色（每个面只涂一种颜色）。证明：至少有2个面涂有相同的颜色。8、一副扑克牌共有54张，至少抽取多少张，才能保证其中必有一张“A”？9、体育室有三种球：足球、篮球和排球。每位同学可任意借2个球。问：至少来几位同学借球，才能保证其中必有4人借的球完全一样？10、19只鸽子飞进5只笼子里。证明：至少有一个笼子里有4只或4只以上的鸽子。11、4个同学练习投篮，一共投进30个球。问：投进最多的同学至少投进多少个？12、有红、黄、黑小球各10个，混合在一布袋里，一次至少摸出多少个，才能保证有4个是同色的？13、库房里有一批A、B、C、D四种不同的球，每人任意搬运三个。问：在41个搬运者中至少有几个搬运的球完全相同？二、提高题1、从120中任取11个数，证明：必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。2、从25、26、27、28、44这20个数中任取11个不同的数，其中至少有两个数的差为10，请说明为什么？ 3、从1、3、5、7、43、45这23个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是48？4、至少取多少个自然数，才能保证其中必有两数的差是19的倍数？5、五年级（1）班的一次语文考试成绩都是整数，其中最高分为95分，最低分为81分。问：在至少多少名学生中一定能有4个或4个以上的人成绩相同？ 6、从一列数1，5，9，13，93，97中，任取14个数，证明：其中必有两个数的和等于102。7、能否在6行6列方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数中的任一个数，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？第六讲 定义新运算1、 例：规定ab=(b+a)b，求(23)5。规定ab=(b+a)b，求(32)7。2、 例：定义新运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab。例如：46=（4,6）+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算，1812等于几？定义新运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab。例如：23=（2,3）+2,3=1+6=7.根据上面定义的运算，2718等于几？3、 例：两个整数a和b，a除以b的余数记为ab。例如，135=3.根据这样定义的运算，（269）4等于几？两个整数a和b，a除以b的余数记为ab。例如，185=3.根据这样定义的运算，（3213）4等于几？4、 例：规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，35=5，35=3。请计算下式：(73) 55(37)规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，25=5，26=2。请计算下式：(65) 88(56)5、例：对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知1，3，5，x=7，求x的值。对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知2，5，7，x=24，求x的值。6、 例：规定：62=6+66=72，23=2+22+222=246，14=1+11+111+1111=1234，求75。规定：52=5+55=60，43=4+44+444=492，14=1+11+111+1111=1234，求66。7、 例：如果用（a）表示a的所有约数的个数，例如（4）=3，那么（18）等于几？如果用（a）表示a的所有约数的个数，例如（4）=3，那么（24）等于几？8、 例：如果 ab表示（a-2）b，例如34=(3-2)4=4，那么当(a2)3=12时，a等于几？如果 ab表示（a-2）b，例如34=(3-2)4=4，那么当(a3)6=42时，a等于几？9、 例：如果ab表示(3a-2b)，例如45=34-25=2，那么，当 x5比5x大5时，x等于几？如果ab表示(3a-2b)，例如45=34-25=2，那么，当 x5比5x大10时，x等于几？10、例： 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”：ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+b-1)。如果x10=75，那么x等于几？对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”：ab=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+b-1)。如果(x3)2=3660，那么x等于几？规定ab,ab=a(a+1)(a+2)(a+b-1),已知:(x4)2=600,求x?11、例：Q、P0,且P#Q=（P+Q）/3 则 2#（17#10）=？Q、P0,且P#Q=（P+Q）/3 则 3#（25#11）=？12、例：有一运算符号，使下列算式成立，48=16，106=26，610=22，1814=50，求810？有一运算符合，使下列算式成立，24=2，106=26，610=8，1814=40，求810？13、a,b表示两个数,规定新运算:ab=3a-2b,已知:4b=2,求b？a,b表示两个数规定新运算:ab=3a-2b,已知:x(41)=7,求x？14、小明在一张神秘的纸上看到四个奇怪的算式:22=92,77=57,59=7,92=68爷爷告诉他,这四个算式所用的运算符号与我们的相同,进位也是十进制,只是每个数字与我们的写法不同,按照这个写法,2+7+9等于几?第七讲：数的整除特征一、基本概念：整除特征：（必须背熟）1、 如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。2、 如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。能被4整除的肯定能被2整除，能被25整除的肯定能被5整除，反之则不一定。3、 如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。能被8整除的肯定能被2、4整除，能被125整除的肯定能被5、25整除，反之则不一定。4、 如果一个数的末四位数字能被16或625整除，则这个数就能被16或625整除。能被16整除的肯定能被2、4、8整除，能被625整除的肯定能被5、25、125整除，反之则不一定。5、 如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。能被9整除的肯定能被3整除，反之则不一定。记住用“去3法”和“去9法”解题。6、 如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。被11整除的形式有： abba, aaa(a的个数为偶数)，abcabcabc(abc为偶数个数)7、 如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除，否则就不能。熟记：71113=1001，711=77，713=91，1113=143 3713=273， 317=51，319=57， 329=87 ，371337=101018、 要求能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被每个数整除的特征，但考虑时应注意顺序：一般是：首先考虑2或5，其次考虑4或25，再其次考虑8或125，最后考虑被3或9整除。9、2n的末尾数字是以2、4、8、6这四个数字循环出现，周期是4，如235的末尾数字可以由35除以4余3得末尾数字是8，同样3n的末尾数字是以3、9、7、1这四个数字循环出现，周期也是4，328的末尾数字是1，规律像这样周期是4的还有：7n、8n。周期是1的有：1n、5n、6n、10n,周期是2的有：4n、9n。整除性质：1、 如果a能b整除，b能被c整除，那么a就能被c整除。用字母表示为：如果ba， cb 则ca。2、 如果两个数(a,b)都能被一个自然数(c)整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 用字母表示为：如果ca, cb, 则c(a+b), c(a-b)3、 如果一个数(a)能被几个两两互质的自然数(b,c)整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。用字母表示为：如果ba, ca, 则(bc)a4、 几个数(a,b,c)相乘，如果其中一个因数能被某数整除(da)，那么乘积也能 被这个数整除。用字母表示为：如果da, 则d(abc)二、填空题1、能被2和5整除的数，只要看这个数的末 位能否被2和5整除，被2整除的数末位数字只能是 、 、 、 或 。被5整除的数的末位数字只能是 或 。2、能被4和25整除的数，只要看这个数的末 位能否被4和25整除，能被25整除的数末两位数字只能是 、 、 或 。3、能被8和125整除的数，只要看这个数的末 位能否被8和125整除。4、能被8整除的数一定能被 和 整除，能被4整除的数一定能被 整除，能被125整除的数一定能被 和 整除，能被25整除的数一定能被 整除，反过来就不一定，如：能被2整除的数不一定能被 和 整除，如：能被5整除的数不一定能被 和 整除。5、58791342可以表示为： 10000000+ 1000000+ 100000+ 10000+ 1000+ 100+ 10+ 26748579可以表示为： 10000000+ 1000000+ 100000+ 10000+ 1000+ 100+ 10+ 6、能被3和9整除的数的特征是这个数的 分别能被3和9整除。能被9整除的数一定能被 整除，但是能被3整除的数不一定能被 整除。7、能被11整除的数的特征是： 。8、 能被7、11、13整除的数的特征是： 。9、71113=1001是一个非常漂亮的数，用它去乘以一个三位数的结果是把这个三位数重复写一次。如：1001487=487487，这就是三个质数7、11、13的团队力量而产生的数学美，那么1001001487的结果是 ，那么10001应该乘以一个 位数，结果是把这个数重复写二次，1000100014837的结果是 。我们可以推广到更一般的情况：10010011001（n+1）位数等于把这个数连续写n遍。10、2n的末尾数字是以 这四个数字循环出现，周期是 ，如：235的末尾数字可以用 得末尾数字是 ，同样3n的末尾数字是以 这四个数字循环出现，周期也是 ，328的末尾数字是 ，规律像这样周期是4的还有： 。周期是1的有： ,周期是2的有： 。11、判断一个乘积的最后数字有多少个零，关键看这个乘积有多少个因数 和 ，如1314151625的末尾数字是 个零。12、在625、705、225、375中既能被3，又能被25整除的数有 ；在2250、4320、9008、5400中既能被8，又能被9整除的数有 。13、已知67a5b，那么这个四位数最大为 ；最小为 。14、912ab2ab2ab，则2ab= 。15、在387后面补上三个数字，组成了一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，则该六位数最大为 ；最小为 。16、已知5567，则67= 。17、为使下面算式中五个数的乘积末尾有六个0，里的数最小是 。810152518、如果六位数1992能被95整除，求这个六位数的最后两位数字所组成的数 。19、三位数84能被4整除，则= ；四位数848能被11整除，则= 。三、各类题型1、把789连续写几次，所组成的数能被9整除，至少要写几次？2、 已知一个自然数能被15整除，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，那么这种最小的多位数是多少？3、 一个自然数各位数字均是0或1，并且能被225整除，求满足条件的最小自然数。4、 从3，5，0，1这四个数字中任选3个组成没有重复数字且同时能被3，5整除的三位数有几个？5、 下面这个41位数555999能被7整除，问中间方格代表的数字是几？6、 已知1001个5ab5ab5ab能被91整除，求ab。7、 设六位数N=x1527y,又N是4的倍数，且被11除余5，那么x+y等于多少？ 8、 能不能将1到10的各数排成一行，使得每两个相邻的数之和都能被3整除？9、 在97538的方框内填上什么数字，就能使这个数能被21整除。10、 2574既能被4整除，并且被9除余2，方框里填几？11、 有六个数：987654、987653、987652、987651、987650、987649，从中挑出两个数，使这两个数的乘积能被6整除，有多少种不同的挑法？并把每种挑法都写出来。12、 商店有三种油漆，每种漆的牌子和颜色都不同，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆装成每桶0.5千克油漆的小桶。结果“球光牌”装了280桶，“红海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。请问：每种牌子的油漆各是什么颜色？13、 一个三位数能被9整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数。这样的三位数中，最大是几？ 第八讲：质数和合数一、 根据2是最小的质数也是唯一的偶质数来解题。如果碰到两个质数的和是奇数，其中必有一个是2，一般情况下除了2以外，所有2个质数的和一定为偶数。 1、 两个质数的和是103，这两个质数的积是多少？2、 两个质数的和是99，这两个质数的差是多少？3、 两个质数的和是1995，这两个质数的差是多少？4、 两个质数的和是1999，这两个质数有多少种表示方法？二、 根据两个数的和一定，当这两个数越接近时，积越大，若两个数相等时，积最大。1、 两个质数的和是60，这两个质数的积最大是多少？2、 两个质数的和是40，这两个质数的积最大是多少？3、 三个质数的和是80，这三个质数的乘积最大是多少？三、 用“N法”判断一个自然数是质数还是合数。熟背112=121，122=144， 132=169，142=196152=225，162=256，172=289，182=324，192=361，212=441，232=529，292=841，312=961，372=13691、 判断277是质数还是合数？2、判断493是质数还是合数？3、判断713是质数还是合数？四、 根据合数的定义来判断是否是合数。如果一个数能写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。1、 判断1234568234567是质数还是合数？2、 判断425879425879是质数还是合数？3、 判断333333341111111是质数还是合数？4、 判断111111121111111是质数还是合数？五、 根据找规律来求。周期是1的有1n，5n, 6n, 10n；周期是2的有4n，9n；周期是4的有2n，3n，7n，8n，同时要用数的整除的特征来判断。因为数字很大，是质数的可能性很小，一般都是合数。1、 判断294+1是质数还是合数？2、 判断3781是质数还是合数？3、 判断9100+4是质数还是合数？4、 判断794+1是质数还是合数？六、 在（ ）里填上质数。（1）15=（ ）+（ ） （2）30=（ ）+ （ ）（3）36=（ ）+（ ） （4）102=（ ）+ （ ）七、 综合题1、a、b、c都是质数，c 是一位数，且ab+c=1993,那么a+b+c的和是多少？2、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？3、由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字组成的九位数是质数吗？4、9个连续的自然数，它们都大于90，那么其中质数至多有多少个？5、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。6、求所有这样的质数，它既是两个质数的和，又是两个质数的差。7、写出12个都是合数的连续自然数。8、要把20以内的质数分别填入中，（每个质数只用一次），使得：A =+ + + + + + 其中A是整数，那么A最大是多少？第九讲：分解质因数分解质因数是将一个合数写成质因数的连乘积，因此乘积中不能出现合数。一般在质因数连乘积中，质因数按照从小到大的顺序排列。一、 分解质因数的两种常用方法：直接分解法；短除法1、 将2910分解质因数2、 将3785分解质因数二、 基础题1、 一个合数能分解成3个质因数，这个合数最小是多少？如果能分解成3个不同的质因数，这个合数最小是多少？2、 有两个合数，它们的和是质数，若要使这个和最小，那么这两个合数分别是多少？3、 两个数的和是80，乘积为1456，求这两个数。4、 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？5、 从100到150之间，找出两个整数，使其乘积等于231与65的乘积。6、 有两个两位数的乘积是3927，这两个两位数的和是多少？7、 有五个连续奇数，它们的积为328185，求这五个自然数。8、 三个数的积为84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少？三、 利用分解质因数分组。1、 把5，6，7，14，15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等，应如何分？2、 有八个数693，35，48，28，175，108，363，165，把它们分成两组，使两组数的乘积相等。3、 将12，18，33，35，36，65，77，104八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等。四、 利用25=101、 要使4861351925的结果的最后五位都是0，问方框中的数最小填多少？2、 要使1453220的积末五位数都是0，问方框中的数最小填多少？3、 要使225265262（ ）的结果的最后四位数字都是0，问括号中的数最小填多少？4、 求2492525435的积的末尾有几个零？五、 利用平方数。1、 自然数a乘2376，正好是一个平方数，求a的最小值。2、 x、y 为自然数，且1080x=y2 ，x最小取多少？此时y为多少？六、 巧解题1、 小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？是第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的份数乘起来是2910，你看我的成绩和名次是多少？”2、 学校木工组做了一些长方形的教学用板，它们的长和宽是互质数，而且这些长方形的面积都是2008平方厘米，这样的长方形可能有多少种？3、 班主任李老师带领五（1）班同学去种树，全班同学恰好可以平均分成3组，如果老师与学生每人种树棵树一样多，则共种了364棵树。五（1）班学生有多少人？每人种树多少棵？4、 有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块，问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼出一个正方形（要求整箱整箱地取，所取的瓷砖要全部用上）？ 5、 有19九张牌，甲、乙、丙各拿了3张，甲说：“我的3张牌的积是48”。乙说：“我的3张牌的积是63”。丙说：“我的3张牌的和是15”。他们各拿了哪3张牌