2011高考试题——数学(江苏卷)解析版

优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 1 Read a b If a b Then ma Else mb End If Print m 绝密 启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 I I 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 均为非选择题 第 1 题 第 20 题 共 20 题 本卷满分为 160 分 考试 时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用0 5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 作答试题 必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置 作答一律无效 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 参考公式 参考公式 1 样本数据的方差 其中 12 n x xx 22 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 2 直柱体的侧面积 其中为底面周长 是高Sch ch 3 柱体的体积公式 其中为底面面积 是高VSh Sh 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 则 1 1 2 4 1 0 2 AB BA 答案 1 2 2 函数的单调增区间是 12 log 5 xxf 答案 1 2 3 设复数 i 满足 i 是虚数单位 则的实部是 izi23 1 z 答案 1 4 根据如图所示的伪代码 当输入分别为 2 3 时 最后输出的 m 的值是 ba 答案 3 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 答案 1 3 6 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10 6 8 5 6 则该组数据的方差 2 s 此卷上交考点保存 姓名姓名 准考证号准考证号 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 2 2 解析 可以先把这组数都减去 6 再求方差 16 5 7 已知 则的值为 2 4 tan x x x 2tan tan 解析 2 2 tan 1 1tantan1tan4 4 tantan 2tan 443 tan229 tan 1 41tan x xxx xx x x x x 8 在平面直角坐标系中 过坐标原点的一条直线与函数的图象交于 P Q 两点 则线段xOy x xf 2 PQ 长的最小值是 解析 4 设交点为 则 2 x x 2 x x 22 4 2 4PQx x 9 函数是常数 的部分图象如图所示 则 sin wAwxAxf 0 0 wA 0 f 解析 由图可知 7 2 2 41234 T A 2 2 33 kk 26 0 2sin 32 fk 3 12 7 10 已知是夹角为的两个单位向量 若 则 k 的值为 21 e e 3 2 2 2121 eekbeea0 ba 解析 由得 k 20 ba 11 已知实数 函数 若 则 a 的值为 0 a 1 2 1 2 xax xax xf 1 1 afaf 解析 3 0 2212 2 aaaaa a 3 0 1222 4 aaaaa a 12 在平面直角坐标系中 已知点 P 是函数的图象上的动点 该图象在 P 处的切xOy 0 xexf x 线 交 y 轴于点 M 过点 P 作 的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t 则 t 的最大值是ll 解析 设则 过点 P 作 的垂线 0 0 x P x e 000 00 0 1 xxx l yeexxMx e l 0000 00 0 xxxx yeexxNex e 000000 000 11 1 22 xxxxxx tx eex eex ee 所以 t 在上单调增 在单调减 00 0 1 1 2 xx teex 0 1 1 max 11 2 te e 13 设 其中成公比为 q 的等比数列 成公差为 1 的等差数 721 1aaa 7531 aaaa 642 aaa 列 则 q 的最小值是 解析 由题意 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1 12aqaaqa 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 3 而的最小值分别为 1 2 3 3 2 23qa 21222 1 1 1 2aaa aa 3 min 3q 14 设集合 2 2 222 Ryxmyx m yxA 122 RyxmyxmyxB 若 则实数 m 的取值范围是 BA 解析 当时 集合 A 是以 2 0 为圆心 以为半径的圆 集合 B 是在两条平行线之间 0m m 因为此时无解 当时 集合 A 是以 2212 12 0 22 m mm BA0m 2 0 为圆心 以和为半径的圆环 集合 B 是在两条平行线之间 必有 2 m m 2 21 2 2 2 2 m m m m 又因为 21 21 2 m 2 m1 21 22 mm 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为cba 1 若 求 A 的值 cos2 6 sin AA 2 若 求的值 cbA3 3 1 cos Csin 解析 1 sin 2cos sin3cos 63 AAAAA 2 2222 1 cos 3 2cos8 2 2 3 AbcabcbcAcac 由正弦定理得 而 也可以先推出直角三角 2 2 sinsin cc AC 2 2 2 sin1 cos 3 AA 1 sin 3 C 形 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥中 平面 PAD 平面 ABCD ABCDP AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 解析 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 又 EFPD P DPCD EPCD 面面 直线 EF 平面 PCD 2 F 是 AD 的中点 AB AD BAD 60 BFAD 16 第题图 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 4 xx EF AB DC 又平面 PAD 平面 ABCD PADABCDAD 面面 BFPAD 面 所以 平面 BEF 平面 PAD 17 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得四个点重合于图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形ABCD 状的包装盒 E F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设 AE FB xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积 S cm 最大 试问 x 应取何值 2 2 若广告商要求包装盒容积 V cm 最大 试问 x 应取何值 并求 3 出此时包装盒的高与底面边长的比值 P 解析 1 0 x0 求证 PA PB 解析 1 M 2 0 N 0 M N 的中点坐标为 1 所以2 2 2 2 2 k 2 由得 AC 方程 即 2 2 2 24 yx xy 2 424 3 333 PA 2 0 3 C 2 3 422 333 x y 2 3 yx 所以点 P 到直线 AB 的距离 242 2 2333 32 d 3 法一 由题意设 0000110 0 P xyAxyB x yC x 则 M P A x y B C 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 5 A C B 三点共线 又因为点 P B 在椭圆上 0101 10010 2 yyyy xxxxx 两式相减得 2222 0011 1 1 4242 xyxy 01 01 2 PB xx k yy 0011001 0011001 1 2 PAPB yxxyyxx k k xyyxxyy PAPB 法二 设 112200111 A BN x y P C 0 A x yB xyxyx 中点则 A C B 三点共线 又因为点 A B 在椭圆上 2211 21211 2 AB yyyy k xxxxx 两式相减得 2222 2211 1 1 4242 xyxy 0 0 1 2 AB y xk 01 01 1 21 2 ONPAAB AB y y kkk x xk ONPBPAPB 19 本小题满分 16 分 已知 a b 是实数 函数 和是 23 bxxxgaxxxf x f x g 的导函数 若在区间 I 上恒成立 则称和在区间 I 上单调性一致 xgxf0 xgxf xf xg 1 设 若函数和在区间上单调性一致 求实数 b 的取值范围 0 a xf xg 1 2 设且 若函数和在以 a b 为端点的开区间上单调性一致 求 a b 的最大 0 aba xf xg 值 解析 1 因为函数和在区间上单调性一致 所以 xf xg 1 即 1 0 xfx g x 1 x0 x 2 3 a 2x b 0 1 0 ax 2x b 即0 1 2 axb b2x 2 当时 因为 函数和在区间 b a 上单调性一致 所以 ba xf xg 0 xb afx g x 即 x0 xb a 2 3 a 2x b 0 20baxb axb 2 3 xb a ax 设 考虑点 b a 的可行域 函数的斜率为 1 的切线的切点设为 2 3 bab zab 2 3yx 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 6 00 xy 则 000 11 61 612 xxy max 111 1266 z 当时 因为 函数和在区间 a b 上单调性一致 所以 0ab xf xg 0 xa bfx g x 即 x0 xa b 2 3 a 2x b 0 20bxa bxb 2 3 xa b ax 2 1 3 0 3 aaa max 1 3 ba 当时 因为 函数和在区间 a b 上单调性一致 所以 0ab xf xg 0 xa bfx g x 即而 x 0 时 不符合题意 x0 xa b 2 2x b 3 a 0 b x2 3 a 2x b abk 时 都成立 2 knknkn SSSS 1 设 M 1 求的值 2 设 M 3 4 求数列的通项公式 2 2 a 5 a n a 解析 1 即 111211 1 1 2 2 nnnnnn knSSSSSSSS 21 2 nnn aaa 所以 n 1 时 成等差 而 n a2 2 a 2321135 3 2 7 4 8 SSSSSaa 2 由题意 333444 3 2 1 4 2 2 nnnnnn nSSSSnSSSS 42135314 4 2 3 5 2 4 nnnnnn nSSSSnSSSS 当时 由 1 2 得 5n 434 2 5 nn aaa 由 3 4 得 524 2 6 nn aaa 由 1 3 得 421 2 7 nnn aaa 由 2 4 得 531 2 8 nnn aaa 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 7 由 7 8 知 成等差 成等差 设公差分别为 412 nnn aaa 513 nnn aaa 12 d d 由 5 6 得 532442421541 222 9 222 10 nnnnnn aadaadaadaad 由 9 10 得 成等差 设公 54214122321 2 nnnn aaddaddaadd a 2 n n 差为 d 在 1 2 中分别取 n 4 n 5 得 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 绝密 启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学IIII 附加题 附加题 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页 均为解答题 第 21 题 第 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用0 5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 作答试题 必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置 作答一律无效 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在答题卡指定区域内作 答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 A 选修选修 4 14 1 几何证明选讲 本小题满分 几何证明选讲 本小题满分 1010 分 分 如图 圆与圆内切于点 其半径分别为与 1 O 2 OA 1 r 212 r rr 圆的弦交圆于点 不在上 1 OAB 2 OC 1 OAB 21 A第图 此试卷上交考点保存 姓名姓名 准考证号准考证号 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿 稿酬丰厚 8 求证 为定值 AB AC 证明 由弦切角定理可得 11 21 2 O BrAB AO CAO B ACO Cr B 选修选修 4 24 2 矩阵与变换 本小题满分 矩阵与变换 本小题满分 1010 分 分 已知矩阵 向量 求向量 使得 11 21 A 1 2 2 A 设 由得 x y 2 A 321 432 x y 32111 43222 xyx xyy C 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 本小题满分 坐标系与参数方程 本小题满分 1010 分 分 在平面直角坐标系中 求过椭圆 为参数 的右焦点且与直线 为xOy 5cos 3sin x y 42 3 xt yt t 参数 平行的直线的普通方程 解析 椭圆的普通方程为右焦点为 4 0 直线 为参数 的普通方程为 22 1 259 xy 42 3 xt yt t 斜率为 所求直线方程为 22yx 1 2 1 4 240 2 yxxy 即 D 选修 选修 4 54 5 不等式选讲 本小题满分 不等式选讲 本小题满分 1010 分 分 解不等式 21 3xx 解析 原不等式等价于 解集为 4 3213 2 3 xxxx 4 2 3 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 h 22 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 如图 在正四棱柱中 点是的中点 点在上 设 1111 ABCDABC D 1 2 1AAAB NBCM 1 CC 二面角的大小为 1 ADNM 1 当时 求的长 0 90 AM 2 当时 求的长 6 cos 6 CM 解析 以 D 为原点 DA 为 x 轴正半轴 DC 为 y 轴正半轴 DD1为 z 轴正半轴 建立空间直角坐标系 则 A 1