浙江省杭州市西湖区2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 26 页） 2016 年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷 一、仔细选一选（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30 分）每小题给出四个选项，只有一个是正确的 1与 2 的和为 0 的数是（ ） A 2 B C D 2 2下列计算正确的是（ ） A a3+a4= a4=a 1 C a3a4= a3a4=a 3如图，一个几何体由 5 个大 小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） A主视图的面积为 5 B左视图的面积为 3 C俯视图的面积为 3 D三种视图的面积都是 4 4已知关于 x 的一元二次方程 x a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A 4 B 4 C 1 D 1 5若菱形的两条对角线的长分别为 6， 8则此菱形的周长是（ ） A 14 B 20 C 28 D 40 6在某校初三年级古诗词比赛中，初三（ 1）班 42 名学生的成绩 统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（ ） 分数 50 60 70 80 90 100 人数 1 2 8 13 14 4 A 70， 80 B 70， 90 C 80， 90 D 90， 100 7下列函数的图象与 y 轴不相交的是（ ） A y= x B y=4x+1 C y= D y=x 8二次函数 y=bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： 第 2 页（共 26 页） X 0 1 3 4 y 2 4 2 2 则下列判断中正确的是（ ） A抛物线开口向上 B y 最大值为 4 C当 x 1 时， y 随著 x 的增大而减小 D当 0 x 2 时， y 2 9如图在 ， 0，点 D 是斜边上的中点，点 P 在 ， E， F，若 ， ，则 F=（ ） A B C D 10二次函数 y=bx+c（ a 0）的顶点为 P，其图象与 x 轴有两个交点 A（ m， 0）， B（ 1， 0），交 y 轴于点 C（ 0， 3a），以下说法： m=3； 当 20时， a= ； 当 20时，抛物线上存在点 M（ M 与 P 不重合），使得 顶角为 120的等腰三角形； 抛物线上存在点 N，当 直角三角形时，有 a 正确的是（ ） A B C D 二 題有 6个小題，毎小題 4分，共 24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 11不等式 4x 9 0 的解是 第 3 页（共 26 页） 12某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并 绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在 25 30 之间的频率为 13若方程组 的解是 ，则 = 14在平面直角坐标系 ，若抛物线 y=bx+c 的顶点为 M，且经过 A（ 0， 4）， B（ 4， 4）两点，若 M 到线段 距离为 4，则 a= 15如 图，一次函数 y= 的图象与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于点 P， x 轴于点 A，y 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴， y 轴于点 C，点 D且 B， = ，则 m= ， = 16在平面直角 坐标系中，有三条直线 们的函数解析式分别是 y=x， y=x+1， y=x+2在这三条直线上各有一个动点，依次为 A， B， C，它们的横坐标分别为 a， b， c，则当 a， b， c 满足条件 时，这三点不能构成 三、全面答一答（本题有 7 个小題，共 66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 么把自己能写出的解答写出一部分也可以 . 17（ 1）计算： 3 6（ 2 3） 2 第 4 页（共 26 页） （ 2）因式分解： 416 18给定下面一列分式： ， ， ， ， （其中 a1） （ 1）请写出第 6 个分式； （ 2）当 3a 4b=3 时，求 的值 19从数 2， 1， 1， 3 中任取两个，其和的绝对值为 k（ k 是自然数）的槪率记作 ： 和的绝对值为 3 的概率） （ 1）求 k 的所有取值； （ 2）求 20如图，点 A， C， D 在同一条直线上， 于点 F， C， D= B， C （ 1）求证： （ 2）尺规作图：作 着 向平移 度后的三角形；（保留作图痕迹，不写作法） （ 3）若 0，请问 过怎样的运动变为 21如图， O 是 外接圆， C， O 的直 径 延长线交于点 P连结 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 22数学临时布置了这样一个问題： 第 5 页（共 26 页） 如果 ， 都为锐角且 ， 求 +的度数 甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题 他们分别设计了图 1 和图 2 （ 1）请你分别利用图 1，图 2 求出 +的度数，并说明理由； （ 2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题： 如果 ， 都为锐角，当 ， 时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角 ，画出 得 求出 的度数，并说明理由 23设 k0，若函数 x k） 2+2k 和 （ x+k） 2 2k 的图象与 y 轴依次 交于 A， B 两点，函数 图象的顶点分别为 C， D （ 1）当 k=1 时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数 草图，并根据图象写出 （ 2）当 2 k 0 时，求线段 的取值范围； （ 3） A， B， C， D 四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩形，请直接写出 k 的值 第 6 页（共 26 页） 2016 年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30 分）每小题给出四个选项，只有一个是正确的 1与 2 的和为 0 的数是（ ） A 2 B C D 2 【考点】 有理数的加法 【分析】 根据有理数的加法，即可解答 【解答】 解： 2+（ 2） =0， 与 2 的和为 0 的数是 2， 故选： A 【点评】 本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟记有理数的加法法则 2下列 计算正确的是（ ） A a3+a4= a4=a 1 C a3a4= a3a4=a 【考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案 【解答】 解： A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 A 错误； B、不是同底数幂的除法指数不能相减，故 B 错误； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 正确； D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 错误； 故选： C 【点评】 本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并 根据法则计算是解题关键 3如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） 第 7 页（共 26 页） A主视图的面积为 5 B左视图的面积为 3 C俯视图的面积为 3 D三种视图的面积都是 4 【考点】 简单组合体的三视图 【专题】 几何图形问题 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可 【解答】 解： A、从正面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故 A 选项错误； B、从左面看，可以看到 3 个正方形，面积为 3，故 B 选项正确； C、从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故 C 选项错误； D、三种视图的面积不相同，故 D 选项错误 故选： B 【点评】 本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法 4已知关于 x 的一元二次方程 x a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A 4 B 4 C 1 D 1 【考点】 根的判别式 【专题】 计算题 【分析】 根据根的判别式的意义得到 =22 4（ a） =0，然后解方程即可 【解答】 解 ：根据题意得 =22 4（ a） =0， 解得 a= 1 故选 D 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 5若菱形的两条对角线的长分别为 6， 8则此菱形的周长是（ ） A 14 B 20 C 28 D 40 第 8 页（共 26 页） 【考点】 菱形的性质 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可 【解答】 解：如图所示， 根据题意得 8=4， 6=3， 四边形 菱形， C=A， 直角三角形， =5， 此菱形的周长为： 54=20 故选： B 【点评】 本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长 是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 6在某校初三年级古诗词比赛中，初三（ 1）班 42 名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（ ） 分数 50 60 70 80 90 100 人数 1 2 8 13 14 4 A 70， 80 B 70， 90 C 80， 90 D 90， 100 【考点】 众数；中位数 【分析】 根据中位数与众数的定义进行解答即可 【解答】 解：把这组数据从小到大排列，最中间两个 数的平均数是（ 80+80） 2=80，则该班学生成绩的中位数是 80； 90 出现了 14 次，出现的次数最多，则众数是 90； 故选 C 第 9 页（共 26 页） 【点评】 此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数 7下列函数的图象与 y 轴不相交的是（ ） A y= x B y=4x+1 C y= D y=x 【考点】 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质 【分析】 由函数的性质可知：与 y 轴不相交，也就是 x 的取值不能为 0，由此根据反函数的性质分析得出答案及可能 【解答】 解：反比例函数的图象是双曲线，这两条曲线只能无限接近于两坐标轴，但不能与其相交，也就是图象与 y 轴不相交 故选： C 【点评】 此题考查二次函数得性质、一次函数的性质、反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象是双曲线，这两条曲线只能无限接近于两坐标轴，但不能与其相交是解决问题的关键 8二 次函数 y=bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： X 0 1 3 4 y 2 4 2 2 则下列判断中正确的是（ ） A抛物线开口向上 B y 最大值为 4 C当 x 1 时， y 随著 x 的增大而减小 D当 0 x 2 时， y 2 【考点】 二次函数的性质 【分析】 利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程bx+c=0 即 y=0 时 x 的值取值范围，得出答案即可 【解答】 解； A、由图表中数据可得出： x=， y 有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误 ； B、当 x=1 时， y=4，低于顶点坐标，故此选项错误； C、当 x ， y 随著 x 的增大而减小，故此选项错误； 第 10 页（共 26 页） D、当 0 x 2 时， y 2，此选项正确 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数的性质，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键 9如图在 ， 0，点 D 是斜边上的中点，点 P 在 ， E， F，若 ， ，则 F=（ ） A B C D 【考点】 勾股定理；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线 【分析】 如图作 M，连接 用 C= M 求出 用S 【解答】 解：如图作 M，连接 0， C， ， ， D=3 ， C= M， ， S 第 11 页（共 26 页） M= F+ E， F= 故选 A 【点评】 本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高，属于中考常考题型 10二次函数 y=bx+c（ a 0）的顶点为 P，其图象与 x 轴有两个交点 A（ m， 0）， B（ 1， 0），交 y 轴于点 C（ 0， 3a），以下说法： m=3； 当 20时， a= ； 当 20时，抛物线上存在点 M（ M 与 P 不重合），使得 顶角为 120的等腰三角形； 抛物 线上存在点 N，当 直角三角形时，有 a 正确的是（ ） A B C D 【考点】 二次函数综合题 【专题】 综合题 【分析】 把 A、 B 两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到 式和 式，将两式相减即可得到m= ，即可得到 C（ 0， 3a 3b），从而得到 c=3a 3b，代入 式，就可解决问题； 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，则有 x 轴，只需求出点 P 的坐标就可 解决问题； 在第一象限内作 20，且满足 A，过点 M 作 x 轴于 H，如图 1，只需求出点M 的坐标，然后验证点 M 是否在抛物线上，就可解决问题； 易知点 N 在抛物线上且 直角三角形时，只能 0，此时点 N 在以 直径的 G 上，因而点 N 在 G 与抛物线的交点处，要使点 N 存在，点 P 必须在 G 上或 G 外，如图 2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题 【解答】 解： 点 A（ m， 0）、 B（ 1， 0）在抛物线 y=bx+c 上， ， 第 12 页（共 26 页） 由 得 a b=0， 即（ m+1）（ a b） =0 A（ m， 0）与 B（ 1， 0）不重合， m1 即 m+10， m= ， 点 C 的坐标为（ 0， 3a 3b）， 点 C 在抛物线 y=bx+c 上， c=3a 3b， 代入 得 a+b+3a 3b=0，即 b=2a， m= =3，故 正确； m=3， A（ 3， 0）， 抛物线的解析式可设为 y=a（ x+3） （ x 1）， 则 y=a（ x 3） =a（ x+1） 2 4a， 顶点 P 的坐标为（ 1， 4a） 根据对称性可得 B， 0 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G， 则有 x 轴， G = ， 4a= ， a= ，故 正确； 在第一象限内作 20，且满足 A，过点 M 作 x 轴于 H，如图 1， 在 ， 0， 则有 4 =2 ， 4 =2， 点 M 的坐标为（ 3， 2 ）， 当 x=3 时， y= （ 3+3）（ 3 1） =2 ， 第 13 页（共 26 页） 点 M 在抛物线上，故 正确； 点 N 在抛物线上， 0， 0 当 直角三角形时， 0， 此时点 N 在以 直径的 G 上， 因而点 N 在 G 与抛物线的交点处， 要使点 N 存在，点 P 必须在 G 上或 G 外，如图 2， 则有 ，即 4a2，也即 a ，故 正确 故选 D 【点评】 本题主要考查了抛物线上点的坐标特征、因式分解、三角函数、圆周角定理、点与圆的位置关系等知识，运用因式分解法求 m 是解决 的关键，将 0转化为点 N 在以 直径的圆上是解决 的关键 二 題有 6个小題，毎小題 4分，共 24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 第 14 页（共 26 页） 11不等式 4x 9 0 的解是 x 【考点】 解一元一次不等式 【 分析】 先移项，再把 x 的系数化为 1 即可 【解答】 解：移项得， 4x 9， 把 x 的系数化为 1 得， x 故答案为： x 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键 12某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在 25 30 之间的频率为 【考点】 频数（率）分布直方图 【分析】 根据频率的计算公式：频率 = 即可求解 【解答】 解：学生仰卧起坐次数在 25 30 之间的频率是： = 故答案是： 【点评】 本题考查了频率的计算公式，正确记忆公式是关键 13若方程组 的解是 ，则 = 【考点】 二元一次方程组的解 【分析】 根据题意得出 ，求出 a， b 的值，再代入要求的式子即可得出答案 【解答】 解： 方程组 的解是 ， 第 15 页（共 26 页） ， 解得： 或 ， = = 或 = = ； 故答案为： 【点评】 本题考查了二元一次方程组的解：一般地二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 14在平面直角坐标系 ，若抛物线 y=bx+c 的顶点为 M，且经过 A（ 0， 4）， B（ 4， 4）两点，若 M 到线段 距离为 4，则 a= 1 或 1 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据题意求得顶点 M 的坐标，然后设出顶点式，根据待定系数法即可求得 【解答】 解： A（ 0， 4）， B（ 4， 4）， x 轴， M 到线段 距离为 4， M（ 2， 8）或（ 2， 0）， 当 M（ 2， 8）时，设抛 物线的解析式为 y=a（ x 2） 2+8， 代入 A（ 0， 4）得， 4=4a+8， 解得 a= 1， 当 M（ 2， 0）时，设抛物线的解析式为 y=a（ x 2） 2， 代入 A（ 0， 4）得， 4=4a， 解得 a=1，所以 a=1 或 1， 故答案为 1 或 1 【点评】 本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，得出顶点的坐标是解题的关键 第 16 页（共 26 页） 15如图，一次函数 y= 的图象与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于点 P， x 轴于点 A，y 轴于点 B，一次 函数的图象分别交 x 轴， y 轴于点 C，点 D且 B， = ，则 m= 4 ， = 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 由一次函数 y= 的图象交 y 轴于点 D，得出点 D 的坐标为（ 0， 1）；设 OC=a，根据= 得到 a，那么 a=P（ 3a， 3a）根据 用相似三角形对应边成比例得出 = = ，求出 a= ，那么 P（ 2， 2），再根据待定系数法求出 m=2（ 2）= 4；根据同高的三角形面积之比等于底边之比得出 = = 【解答】 解： 一次函数 y= 的图象交 y 轴于点 D， 令 x=0，得 y=1， 点 D 的坐标为（ 0， 1）； 设 OC=a，则 a， a=P（ 3a， 3a） = ，即 = = ， a= ， P（ 2， 2） 反比例函数 y= （ x 0）的图象过点 P， m=2（ 2） = 4； 第 17 页（共 26 页） = = = 故答案为 4； 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，相似三角形的判定与性质，图形的面积求法等知识，求出点 P 的坐标是解题的关键 16在平面直角坐标系中，有三条直线 们的函数解析式分别是 y=x， y=x+1， y=x+2 在这三条直线上各有一个动点，依次为 A， B， C，它们的横坐标分别为 a， b， c，则当 a， b， c 满足条件 a=b=c 或 a=b+1=c+2 或 =2 时，这三点不能构成 【考点】 一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 若不能构成三角形，就是这三个动点在一条直线上的时候，在一条直线有三种情况，（ 1）动点的横坐标相等；（ 2）动点的纵坐标相等；（ 3）三点满足一次函数式 【解答】 解：（ 1）动点的横坐标相等时： a=b=c （ 2）动点的纵坐标相等时： y=a， y=b+1， y=c+2， a=b+1=c+2 第 18 页（共 26 页） （ 3）三点满足一次函数式，三点可以表示一次函数的斜率： 三点的坐标为（ a， a），（ b， b+1），（ c， c+2）， = ， 1+ =1+ ， =2 故答案为： a=b=c 或 a=b+1=c+2 或 =2 【点评】 本题考查两条直线相交或平行问题，关键是知道动点满足什么条件时不能构成三角形，即动点在同一直线上时不能三角形，从而可求解 三、全面答一答（本题有 7 个小題，共 66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 么把自己能写出的解答 写出一部分也可以 . 17（ 1）计算： 3 6（ 2 3） 2 第 19 页（共 26 页） （ 2）因式分解： 416 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用；有理数的混合运算 【分析】 （ 1）直接利用有理数混合运算法则化简求出答案； （ 2）直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】 解：（ 1） 3 6（ 2 3） 2=3（ 6 1） = 2； （ 2） 416 2m 4n）（ 2m+4n） 【点评】 此题主要考查了公式分解因式以及有理数乘法，正确应用平方差公式是解题关键 18给定下面一列分式： ， ， ， ， （其中 a1） （ 1）请写出第 6 个分式； （ 2）当 3a 4b=3 时，求 的值 【考点】 分式的化简求值；分式的定义 【专题】 规律型 【分析】 （ 1）根据已知分式的特点直接写出第 6 个即可； （ 2）把已知等式两边除以 3，变形后整体代入化简即可 【解答】 解：（ 1）第 6 个分式为： ； （ 2）由 3a 4b=3 可得： a 1= ， 把 a 1= ，代入 = = = 【点评】 此题主要考查分式的规律探索和分式的化简，会根据题意进行适当变形整体代入是解题的关键 19从数 2， 1， 1， 3 中任取两个，其和的绝对值为 k（ k 是自然数）的槪率记作 ： 和的绝对值为 3 的概率） （ 1）求 k 的所有取值； 第 20 页（共 26 页） （ 2）求 【考点】 列表 法与树状图法 【分析】 （ 1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （ 2）由其和的绝对值为 1 的倍数的有 10 种情况，其和的绝对值为 4 的有 2 种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解：（ 1）画树状图得： 则 k 的所有取值有 12 种等可能的结果； （ 2） 其和的绝对值为 1 的倍数的有 10 种情况，其和的绝对值为 4 的有 2 种情况， = ； = 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 20如图，点 A， C， D 在同一条直线上， 于点 F， C， D= B， C （ 1）求证： （ 2）尺规作图：作 着 向平移 度后的三角形；（保留作图痕迹，不写作法） （ 3）若 0，请 问 过怎样的运动变为 【考点】 全等三角形的判定与性质；作图 【分析】 （ 1）利用两角以及夹边对应相等的两个三角形全等来判断即可 （ 2）根据要求画出图形即可 （ 3）利用平移和旋转即可解决问题 第 21 页（共 26 页） 【解答】 解：（ 1） C， 在 ， ， （ 2）如图所示 （ 3） 向右平移 5绕点 C 逆时针旋转 160就可以与 合 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质、平移以及旋转的有关知识，解题的关键是灵活掌握全等三角形的判定方法，利用平移以及旋转解决图形变换问题，属于中考常考题型 21如图， O 是 外接圆， C， O 的直径 延长线交于点 P连结 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）由垂径定理的推论可证明 因为 以 （ 2）设 较于点 M，由已知条件易求 长，由圆周角定理定理可得 直角三角形，进而可求出 长 【解答】 （ 1）证明： C， ， 第 22 页（共 26 页） 即 O 的切线； （ 2） C， ， ， ， ， D= ， D= ， O 的直径， 0， ， =5 【点评】 本题考查了切线的判定、圆周角定理以及其推论的运用、垂径定理以及其推论的运用、勾股定理的运用，锐角三角的函数的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考试题 22数学临时布置了这样一个问題： 如果 ， 都为锐角且 ， 求 +的度数 甲、乙两位同学想利 用正方形网格构图来解决问题他们分别设计了图 1 和图 2 （ 1）请你分别利用图 1，图 2 求出 +的度数，并说明理由； （ 2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题： 第 23 页（共 26 页） 如果 ， 都为锐角，当 ， 时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角 ，画出 得 求出 的度数，并说明理由 【考点】 解直角三角形 【分析】 （ 1） 如图 1 中，只要证