弹塑性力学-第3章 应变状态

第三章第三章 应变状态理论应变状态理论 在外力 温度变化或其他因素作用下 物体内部各质点将产生位置的变化 即发生位移 如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置 则物体实际上只发生了刚体平移和转动 这种位移称为刚体位移 如果物体各质 点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置 则物体同时也产生了形状的变 化 其中包括体积改变和形状畸变 物体的这种变化称为物体的变形运动或简称 为变形 它包括微元体的纯变形和整体运动 应变状态理论就是研究物变形后的 几何特性 即给定物体内各点变形前后的位置 确定无限接近的任意两点之间所 连矢量因物体变形所引起剧烈变化 这是一个单纯的几何问题 并不涉及物体变 形的原因 也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律 本章主要从物体变形前 后的几何变化论述物体内一点的应变状态 3 1 位移与线元长度 方向的变化位移与线元长度 方向的变化 1 1 坐标与位移坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标 Descarter coordinate 系的轴 上的投影为 又设物体上各点得到一位移 并在同一坐标轴上X Y Zzyx 的投影为 这些位移分量可看作是坐标 的函数 于是物体上任u vwzyx 点的最终位置由下述坐标值决定 即 3 1 1 zyxwz zyxvy zyxux 上式中函数 以及它们对坐标 的偏导数假设是连续的 则式 3 1 1 u vwzyx 确定了变量 与之间的关系 因为物体中变形前各点对应看变形后zyx 的各点 因此式 3 1 1 是单值的 所以式 3 1 1 可看成是坐标的一个变换 如果在 3 1 1 中 假设 则由 3 1 1 式可得如下三个方程 00 yyxx 3 1 2 00 000 000 zyxwz zyxvy zyxux 式 3 1 2 决定了一条曲线 曲线上各点 在物体变形前为平行于轴的 21 MMz 直线 上 图 3 1 由此可见 变形前物体上与坐标轴平行的坐标线 00 yyxx 在变形后的物体上一般将成为曲线 换句话说 如果用没有变形状态的坐标 末表征物体上各点的位置 到变形终了状态将是曲线坐标 反之 如果用zyx 表示各点的坐标 则对巳变形物体是笛卡尔坐标 而对于变形前的物体 将是曲线坐标 由以上可见 描述连续介质变形的方法有上述两种 分别称为 Lagrange 法 Euler 法 Lagrange 描述法是用变 形前的坐标 做自变zyx 量 而 Euler 法则是用变形 后的坐标做自变量 在固体力学中 通常物 体的初始形状 固定情况以 及载荷是一定的 需要确定 的是物体各点的位移 u v 和应力 对于小变形一w ij 般采用 Lagrange 坐标法 而 对于大变形有时用 Euler 法 在数值计算中 通常采用矢量 来表示 因为要计算变形前后 两次应变的变化 所以用 Euler 法比较方便 在以后的讨论中 我们采用 Lagrange 坐标法 图 3 1 变形表示法 1 21 2 变形体的应变变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点 变形后移位至 变形前NM NM 的坐标分别为 变形后的坐标分NM zyxM dzzdyydxxN NM 别 那么 矢量所表示的线元在物体变 dddNM MN 形后由矢量表示线元 那么 和的平方为 N MMN N M a 2222 2 dzdydxdSMN b 2222 2 ddddSNM 根据 3 1 1 式 点在方向有 Nx c duudxxd 此处是因两点所产生的增量 将其在 处展开为 Taylor 级数 即duNM zyx d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dz z u dy y u dx x u dz z u dy y u dx x u du 略去 d 式中的高阶微量 并将 d 式代入 c 式 则可得 2 dx dz z u dy y u dx x u udxxd 由 3 1 1 式知 所以ux 3 1 3a dz z u dy y u dx x u d 1 同理可得 3 1 3b dz z w dy y w dx x w d z v dy y v dx x v d 1 1 3 1 3 式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影 我 们的目的是为了计算与之差 于是由 a 式和 e 式可得dS dS f 2 22222 dzdxdydzdxdydzdydxdSdS zxyzxyzyx 式中 3 1 4 xzzxxzzx zyyzzyyz yxxyyxxy z y x z w x w z v x v z u x u x w z u z w y w z v y v z u y u y w z v y w x w y v x v y u x u x v y u z w z v z u z w y w y v y u y v x w x v x u x u 22 22 22 2 1 2 1 2 1 222 222 222 式 3 1 4 实际上就是应变在各坐标方向的分量 它是非线性的 如果知道了变形 体各点的位移 则可由该式求得各点的应变分量 式 3 1 4 可采用张量表u v w 示为 3 1 5 zzyzx yzyyx xzxyx ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 线元的长度变化线元的长度变化 引入符号 3 1 6 dS dSdS EMN 是点和 N 间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的 MN EM 比 我们把这个量称作点在点 N 方向的相对伸长度 M 根据式 a 和式 f 并注意 3 1 2 式 则可得伸长度的表达式为 MN E dzdxdydzdxdydzdydxdSEE zxyzxyzyxMNMN 2222 2 1 1 3 1 7 nlmnlmnml zxyzxyzyx 222 式中 是矢量的方向余弦 如果在 g 式中令 dS dx l dS dy m dS dz n MN 那么有 0 1 nml 3 1 8a 121 xx E 此处表示点在 x 方向的相对伸长度 类似有点在 y z 方向的相对 x EMM 伸长度为 3 1 8b 121 yy E 121 zz E 因此 应变分量 描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度 x y z 它们称为正应变 1 4 线元方向的变化线元方向的变化 变形物体中的线段 在变形时不仅长度要改变 而且方向也会发生变化 矢 量与坐标轴 X Y Z 形成的方向余弦分别为 而矢量与坐MNlmn N M 标轴夹角的方向余弦分别为 3 1 9 dS d l dS d m dS d n 利用 3 1 6 式解得 并注意到 3 1 3 式可得 dSdSEMN 1 3 1 10 n z w m y w l x w E n n z v m y v l x v E m n z u m y u l x u E l MN MN MN 1 1 1 1 1 1 1 1 1 式 3 1 10 表示任意线元在变形后的方向 即变形后的方向余弦可以用变形 N M 前的方向余弦表示 如果变形前线元与 X 轴平行 则该线元的方向余弦为MNdx 那么由 3 1 10 式知 该线元变形后的方向余弦为1 l0 nm 3 1 11 x E x u l 1 1 x E x v m 1 x E x w n 1 此处是变形前与 X 轴平行线元的伸长度 由上式可以看出 对于任意线元 x E 因各个方向的位移 不相同 因此方向要改变 图 3 2 同时各个方向的伸uv w 长度也不相同 方向也要改变 因为线元在变形后成为已变形物体dx 上坐标曲线上的线元 所以式 3 1 11 实际 上给出了点上坐标曲线的切线方向的 M 方向余弦 类似地可以由 3 1 11 式得出已变 形物体上坐标曲线和的切线的方向余弦 yz 如果用 表示点在坐标 x i y i z i M 切线方向的三个单位矢量 那么该三个单位矢 图 3 2 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由 3 1 11 式 如同线元那样得到类似的 3 1 11 式 具体列于表 3 1 dx 类似于 3 1 9 的方法也导出用的方向余弦表示变形前的方向余弦 N MMN 读者可自行推导 表 3 1 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦 x i y i z i X 1 1 x E x u 1 x E y u 1 x E z u Y 1 y E x v 1 1 y E y v 1 y E z v Z 1 z E x w 1 z E y w 1 1 z E z w 1 5 剪切度与切应变剪切度与切应变 Z 如图 3 3 所示 设变形前物体中经过 M 点的两条任意纤维 和 此两纤维在点 M M 的切线的方向余弦分别为 和 1 l 1 m 1 n 2 l M 变形后 物体中的点移动到 2 m 2 nM M 纤维 和变成纤维和 纤维和的 Y 方向余弦也变为 和 1 l 1 m 1 n 2 l 2 m 2 n 由前面可知 变形后两纤维的方向余弦可用 X 变形前的方向余弦表示 同时由解析几何知 图 3 3 剪切变形 3 1 12 212121 cos nnmmll 则可求得变形后纤维和之间夹角的方向余弦 将 3 1 10 式代入上式 并注 意 3 1 5 式 则可得 212121 21 21 21 1 1 1 cos nnmmll EE zyx 3 1 13 122121122121 lnlnmnmnmllm zxyzxy 注意 式中纤维 和的伸长度和由 3 1 7 确定 但必须用变形前物体的纤 E E 维 和的方向余弦 和 1 l 1 m 1 n 2 l 2 m 2 n 由 3 1 13 显然可知 当知道了 6 个应变分量 和 x y z xy yz zx 变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后 则可由 3 1 7 式和 3 1 13 求得该两纤维变形后的夹角 如果变形前物体中纤维 和分别平行于轴和轴 则 其余的 XY1 21 ml 方向余弦为 且变形后物体中纤维和的切线方向分别与0 2211 nlnm 单位矢量 重合 则根据 3 1 7 式和表达式 3 1 8 可知 x i y i 21 21 1 1 cos yx xy yx xy yx EE ii 在变形前 纤维 和的夹角为直角 令为变形后纤维引起的夹角减少 xy 量 那么由上式可得 3 1 14a 21 21 sin 2 cos cos yx xy xyxyyx ii 类似可得分别与轴和轴平行的两纤维夹角的减少量和为Y ZZ X yz zx 3 1 14b 21 21 sin 21 21 sin xz zx zx zy yz yz 称角 和为剪切度 由以上分析可知 和表示了切应变 xy yz zx xy yz zx 当它们均为零时 则纤维之间的夹角变形后保持不变 由以上的分析可知 在 3 1 4 式中 应变所出现的量不外乎下面 9 个分 ij 量 3 1 15 z w y w x w z v y v x v z u y u x u u ji 称为相对位移张量 因此 当知道了位移对坐标的偏导数 则可根据 3 1 4 ji u 式计算出应变分量 从而也就知道了任何一根线段在任何方向的伸长 由 ij MN E 3 1 7 式 同时还可计算出原来与坐标轴平行的两线段角度的减少量 更一 ij 般地还可计算 因此充分地表示了应变 如果 0 则意味着没 cos ij ij 有变形 仅有刚体移动或转动 如果已知应变分量 则不能求得一根线段的 ij 绝对角度变化 因为这时并不知道 3 1 15 中的任何值 所以也无法由 3 1 10 式求得 等 反过来也不知道 等 所以无法求出 l 1 l 21 l 2 l cos 3 23 2应变张量与转动张量应变张量与转动张量 一般来说 物体中各点的变形由 3 1 5 式中的 6 个分量可完全确定 因 ij 为知道了这 6 个分量就等于知道了伸长度和剪切度 在变形理论分析中 通常还需引入 9 个参数 即 3 2 1 2 1 2 1 2 1 y u x v x w z u z v y w z u x w ee y w z v ee x v y u ee z w e y v e x u e zyx xzzxzuyzyxxy zyx 这样 位移的所有一阶偏导数都于由这 3 2 1 式的 9 个参数表示为 3 2 2 zxyzyxz xyzyzxy yxzzxyx e z w e y w e x w e z v e y v e x v e z u e y u e x u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 微元体的转动微元体的转动 为了研究微元体的转动 首先阐述的几何意义 为此 设垂直于 zyx 轴的线元为 利用 3 2 2 并注意此时 则 3 1 3 式成为ZMN0 dz 3 2 3 dyedxed dyedxed dyedxed xyzzxz yzxy zxyx 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 在图 3 4 中表示出平面 线段是变形前线元的长度 而线段XOYMN 是变形后在平面上的投影 根据图 3 4 1 NMXOY 显然有 3 2 4 dx dy tan d d tan 再根据 3 2 3 式和分子分母均除原长MN 则有dS sin 2 1 cos 1 sin 1 cos 2 1 tan zxyx yzxy ee ee 3 2 5 图 3 4 线元角度的变化 变形物体在变形过程中 由前节已经知道 线元不仅产生尺度变化 而且线元的 方向也发生变化 但是在变形时起变化的不仅线元的相对方向 而且还有它的绝 对方向 因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微元体 到终了状态时 除 了产生形变外 还有 些转动 把这术语应用到微元体上 它在产生位移过程中 不仅位置要发生改变 而且还改变了大小和形状 意指所有属于微元体的许多 个线元转动的平均值 同时 约定作为绕轴的转动角 此处轴是变形前和 zz 线元垂直的轴 是线元 在变形前的位置 和它在变形后在垂直MN MN N M 轴平面上投影之间的夹角 图 3 5 因此z 因变形产生绕轴的转动角为 MNz 3 2 6 z 由 3 2 5 3 2 6 和三角函数关系式 可得 z z tantan1 tantan sin 2 1 cos 1 sin 1 cos 2 1 zxyx yzxy ee ee 从上式可解得 图 3 5 线元绕轴角度变化z 2sin 2 1 sincos1 2sin 2 1 2cos 2 1 tan 22 xyyx xyxyz z eee eee 取从到间隔中的平均值 即取所有垂直于轴的线元的的平 z 0 2 z z tan 均值 21 2 0 tan 2 1 tanHHd zz 其中 2 0 22 1 2sin 2 1 sincos1 2 xyyx Z eee d H d eee eee H xyyx xyxy 2 0 22 2 2sin 2 1 sincos1 2sin 2cos 4 1 令 则积分可化为 2sin 2 1 sincos1 22 xyyx eeef 2 H 0ln 4 1 4 12 0 2 0 2 f f df H 而积分可化为 1 H 2 0 22 1 2sin 2 xyyxyx z eeeee d H a 2 22 sin 2 2 xyyxyx z eeeee d 式中 2 2 2 2 arccosarcsin xyyx xy xyyx yx eee e eee ee 由以上可得 2 2 2 2 4 1 12 2 tan 2 arctan 4 1 1 2 1 tan xyyxyx xyyxyx xyyxyx z z eeeee eeeee eeeee b 因为所求得的 且多值函数 所以结果不定 但这种不定性可以揭示出来 arctan 如果考虑到使趋近于零时 从 a 式可知积分必然趋近于 据此在 zyx eee 1 H z b 式中必须使 c 2 4 1 12 2 tan 2 arctan 2 2 2 xyyxyx xyyxyx eeeee eeeee 于是得到的表达式为 z tan 3 2 7a 2 4 1 1 1 tan xyyx z z eee 用类似的方法可以写出和为 x tan y tan 3 2 7b 2 2 4 1 1 1 tan 4 1 1 1 tan xzzx y y yzzy x x eee eee 三个参数 表征出包围点的无限小体积的转动 它们 x tan y tan z tanM 分别和 成正比 而且在后者等于零时也等于零 因此 如果它们在 x y z 任一坐标系等于零 那么它们在任何其他坐标系中都等于零 因此可得出ZYX 结论 在物体上任一点 如果有 3 2 8 0 zyx 则表示通过该点的线元对于通过这点的任意轴平均来说没有转动 所以 等式 3 2 8 是物体上点周围任意无限小微元体没有转动的条件 M 2 22 2 应变张量与转动张量应变张量与转动张量 在直角坐标系下 式 3 1 5 称为 Green 应变张量 虽然是在直角坐标系中 导出的 但它们所描述的几何关系与坐标系的选择无关 因此适用于任意正交坐 标系 从数学角度出发 Green 应变张量属对称二阶张量 对于式 3 1 4 如果忽略高阶微量 则 3 1 4 式中将成为 3 2 9 xzzxxzzx zyyzzyyz yxxyyxxy z y x x w z u y w z v x v y u z w y v x u 22 22 22 将其写为张量形式为 3 2 10 z w z v y w z u x w z v y w y v y u x v z u x w y u x v x u ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 在直角坐标系中 称 3 2 10 式为 Cauchy 应变张量 它也是二阶张量 由张量分析知 任何一个二阶张量都可唯一地分解成一个对称张量和一个反 对称张量 因此 3 1 15 式可写成 3 2 11 ijijijjiijjiji uuuuu 2 1 2 1 其中的元素为 3 2 10 式 而的各元素为 ij ij 3 2 12 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 z v y w z u x w y w z v y u x v x w z u x v y u ij 根据 3 2 1 式 上式也可写为 3 2 13 0 0 0 xy xz yz ij 由 3 2 7 知 反映了包围某点无限小微元体的转动 因此称为转动张量 ij ij 2 3 物体变形的描述与简化物体变形的描述与简化 以上的讨论阐述了已知位移 决定物体任意一点无限小区域的位移 uvw 转动和纯应变三个因素 这些因素确定了假想从物体中切割出来的无限小微元体 受载后的终了位置和终了形状 但是必需指出 整体位移和微元体的转动并不是微元体变形的特征 变形是 由应变所决定的 但是 如果说整个物体的变形 则其具有特征的是物体上各 ij 点的位移和各纤维的转动角 如梁的变形通常是指梁的挠度 即位移 而轴的变 形是指轴的一端相对于另一端的扭转角 即转动角 因此从这个观点出发 位移 和转动是整个物体变形的特征 而伸长度和剪切度是物体在无限小微元体变形的 特征 这两个特征具有实际意义 前者决定承力构件或物体的刚度 后者决定承 力构件或物体的强度 由上面的叙述可知 小变形 这一术语就产生二种解析 小形变 可以了 解释为小伸长度和小剪切度 同 1 相比 或者可以解释为小位移 同物体的尺度相 比 和小转动角 同 1 相比 必须指出 小变形的经典理论实际上是建立在小位移 和小转动角的假设基础上的 但是这一情况很少用应有的明确程度加以说明 因 此 习惯于将变形的概念联想到应变分量 以为是指小伸长度和小切应变 应孩 强调的是关于小位移和小转动角的假投 比之小应变分量的假设 很大程度地限 制了论述的普遍性 并且前一假设的结果也服从后一假设 但反过来则并不肯定 其次必须指出 在必须表明小位移时 常常没有预先说明它应和什么比较是微小 的 其实这样的预先说明是十分必要的 因为位移是具有量纲的量 今后使用 小变形 这一术语时 始终是指小伸长度和小剪切度 同 1 相比 此外 如果所研究的问题同时又有小位移和小转动 总是预先加以说明 直到现在 还没有对伸长度和剪切度的大小加以任何限制 但是在弹塑性力 学的论述中这样的普遍性照例是没有必要的 因为只有很少的材料 例如橡皮 才 在颇大的相对应变的情况下还保留它的弹性的性质 大多数应用在工程上的材科 例如所有的金属和合金 仅在同 1 相比很小的伸长度和剪切度下才是弹性的 例 如钢的弹性变形区域大概在相对伸长度的数值是 10 3到 5这一量级 钢的弹 3 10 性切应变的最大数值也在类似的量级上 有色金属 及其合金 数字稍有不一样 但它们的弹性变形区域也限制在很小的伸长度和切应变内 从上面可见 弹塑性力学应用于金属结构时 略去同 1 比较起来很小的伸长 度和剪切度以简化公式是很自然的而且是合理的 由此 小应变理论提供了最大 的实际兴趣 当忽略同 1 相比很小的伸长度和剪切度来简化前面己求得的公式 则对于 3 1 8 实行简化 得到 xx E yy E yz E 而根据 3 1 14 式得到 xyxy yzyz zxzx 因此在小应变的情况下 应变分量可以与相应的伸长度等同看待 而应 zyx 变分量可以与相应的剪切度等同 但因它们仍需 zxzxyzyzxyxy 2 1 2 1 2 1 用式 2 1 4 计算 所以小应变仍属非线性 应当指出 如果转动很大 而剪切度却很小 那么在决定变形后线元的方向 时 同转动相比可以略去剪切度 这里是指可一般略去剪切度 在有剪切度但不同 时有转动的式子中 就不能略去剪切度 材料力学梁的理论中的平面假设 和板 理论中的 Kirchhoff 假设 就是这种简化处理可变形物体线元方向的例子 两者 都是是假定同转动相比可以略去剪切度而作出结论的 如果应变和转动角都很小 此时同 1 相比微小的不仅仅是应变分量 而且在 3 2 7 中还可略去与转动角相关的平方项高 从而可以获得 xxx tan yyy tan zzz tan 当伸长度 剪切度和转动角同 1 相比都很小时 利用 3 2 1 式可将 3 1 4 改写为 3 2 14 zxzxyxyzyxzxyxzzzxzx yzyxzzxyxyzzxyzyyzyz xyxyzyxzzxyyzxyxxyxy xyzyxzzzz zxyxyzyyy yxzzxyxxx eeeeeee eeeeeee eeeeeee eeee eeee eeee 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 222 222 在应变分量公式 3 2 14 中包括了以下项 a 参数的线性项 b 参数彼 ij e ij e 此相乘的项 c彼此相乘的项和 d 参数与的乘积项 k ij e k 当和同 1 相比很小时 则有两种可能性 则有两种可能性 1 与 ij e k k 同阶或更高阶的微量 2 与同阶或更高阶的微量 ij e ij e 2 k 对于第一种情况 3 2 14 式中只需保留线性项 因此应变分量用 3 2 10 式计 算 即为 Cauchy 张量 对于第二种情况 在 3 2 14 式中只需保留 a 和 c 形式的 项 简化后可得应变分量为 3 2 15 xzzxzxyxzz zyyzyzzxyy yxxyxyzyxx ee ee ee 2 1 2 1 2 1 22 22 22 式 3 2 14 和式 3 2 15 应用很广 式 3 2 14 用于小应变分量和小转动分量 而且两者属同一量级时 则就是通常指的小变形情况 式 3 2 15 用于小应变和小 转动 但转动仍比应变大很多 因此适合柔性构件问题 如细长杆 板壳等 这 种情况通常称为大变形小应变 而 3 1 4 式属大变形大应变问题 总之 Cauchy 应变张量属于线性问题 其余均为非线性问题 3 3 主应变和应变不变量主应变和应变不变量 3 1 应变张量的坐标变换应变张量的坐标变换 同一个变形可在不同的坐标系中研讨 在所有各种情况下 可以用前面 所确定的六个应变分量把变形的特征充分地表示出来 但这六个应变分量的值却 随坐标轴方向的选择而变更 设原有的坐标系为 另 坐标系为 它的各轴的方XYZ X Y Z 向对第一个坐标系各轴的方向余弦如表 3 2 所示 表 3 2 新旧坐标系之间的方向余弦 X Y Z X 1 l 1 m 1 n Y 2 l 2 m 2 n Z 3 l 3 m 3 n 因为二个坐标系均为直角坐标 因此表 3 2 所列方向余弦之间有下面的关系 3 3 1a 01 01 01 323232 2 3 2 2 2 1 313131 2 3 2 2 2 1 212121 2 3 2 2 2 1 nnmmllnnn nnmmllmmm nnmmlllll 上式也可写为 3 3 1b 01 01 01 332211 2 3 2 3 2 3 332211 2 2 2 2 2 2 332211 2 1 2 1 2 1 nmnmnmnml nlnlnlnml mlmlmlnml 如果线段在第二个坐标系 各轴上的投影是 那么 X Y Z dx dy dz 在第 个坐标系 各轴上的投影是 XYZ 3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dzndyndxndz dzmdymdxmdy dzldyldxldx 注意 3 1 节中的式 f 左边是表示点和之间距离的平方因变形而引起的MN 变化 由于这两点的选择与坐标无关 该式左边也应与坐标选择无关 因此在坐 标变换过程是应是不变量 于是将 3 1 7 式右边的用矢量在新坐标dzdydx MN 上的投影 的 3 3 3 代入 将有 dx dy dz 2 2 1 1 2 2 2 2 dxdzdzdydydxdzdydxdSEE zxyzxyzyxMNMN 3 3 4 其中 2 2 2 131313133113313131 323232322332323232 212121211221212121 333333 2 3 2 3 2 3 222222 2 2 2 2 2 2 111111 2 1 2 1 2 1 lnnlmnnmmlmlnnmmll lnnlmnnmmlmlnnmmll lnnlmnnmmlmlnnmmll nlnmmlnml nlnmmlnml nlnmmlnml zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx 3 3 5 由以上可见 式 3 3 4 与式 3 1 7 在形式上相类似 因此式中所含的各系 数在坐标系 中的意义与系数 zxyzxyzyx X Y Z 在坐标系 的意义一样 显然 式 3 3 5 就是坐标 zxyzxyzyx XYZ 轴变换时应变分量的变换规律 3 23 2 主应变和应变不变量主应变和应变不变量 现在讨论在那一个方向伸长度会具有极值 设取轴平行这个方向 那 MN E X 么根据 3 3 4 式有 或 3 3 6 2 1 1 x xx EE 121 x x E 由上式可见 求的极值归结为求的极值 也即要确定的值 使 x E x 111 nml 得在该方向上使 3 3 5 式中的第一式有极值 由 3 3 1b 式于知 之间存在 111 nml 如下关系 3 3 7 01 2 1 2 1 2 1 nml 那么 假设一函数为 1 2 1 2 1 2 1 nmlf x 式中为 Lagrange 乘子 现将上式分别对求偏导数 并使其等于零 则 111 nml 得如下线性方程组 3 3 8 0 0 0 111 111 111 nml nml nml zyzzx yzyxy zxxyx 由于条件式 3 3 7 的存在 不可能同时为零 因此 3 3 8 是关于 111 nml 的线性齐次方程组 根据齐次方程组有非零解的条件 3 3 8 式中的系数 111 nml 行列式必为零 即 3 3 9 0 z yz zx yz y xy zx xy x 它至少有一个实根 将它记为 注意到 3 3 5 中的表达式还可写为 1 x 111111111111 nnmlmnmllnml zyzzxyzyxyzxxyxx 将上式括号中的式子用 3 3 8 中的值代入 并注意到 3 3 7 式 将发现 1 x 即的极值就是 x 1 当分别设平行于伸长度具有极值的方向时 采用类似的方法可分别 Z Y MN E 得到关于和关于的类似于 3 3 8 式的线性齐次方程组 且其系 222 nml 333 nml 数行列式与 3 3 9 式完全一样 将 3 3 9 式展开该式得 3 3 10 0 3 2 2 1 3 III 其中 2 222 3 222 2 1 xyzzxyyzxzxyzxyzyx zxyzxyxzzyyx zyx I I I 这三个参数分别称为第一 第二 第三应变不变量 3 2 1 III 方程式 3 3 10 有三个实根 设这三个实根分别为 则由根与系数关 1 2 3 系 有 3 3 11 321 3 133221 2 321 1 I I I 称 为主应变 所在方向称之为主方向 1 2 3 另外 注意到应变分量和可以写为 xy yz 211121112111 nnmlmnmllnml zyzzxyzyxyzxxyxxy 311131113111 nnmlmnmllnml zyzzxyzyxyzxxyxzx 将上面两式中括号内的式子用 3 3 8 代入 则有 3131311 2121211 nnmmll nnmmll zx xy 由 3 3 1a 可知 因此 如果在轴方向的伸长度是极值 那末0 zxxy X 应变分量 也就是变形发生时 在方向和方向之间的直角以及0 zxxy X Y 方向和方向之间的直角没有变化 由此可见 不论在物体上任何点的变形 X Z 怎样 总可以找出通过物体的三条纤维 它们在变形前是互相垂直的 而在变形 后仍然还是互相垂直 将代入 3 3 8 式 则可求得 从而可确定的方向 即主方向 如 1 111 nml 1 果将 3 3 8 式中的分别用和代替 以及别将用和 111 nml 222 nml 333 nml 2 代替 则可求得和 从而确定主应力和的主方向 3 222 nml 333 nml 2 3 完全类似地还可求得最大切应变为 213 132 321 以及八面体的切应变为 3 3 12 2 1 222222 2 1 2 13 2 32 2 218 6 3 2 3 2 zxyzxyxzzyyx 应变偏量及其不变量分别为 3 3 13 2 3 1 00 0 2 3 1 0 00 2 3 1 213 132 321 ij e 3 3 14 321 3 133221 2 1 0 eeeJ eeeeeeJ J 3 3 4 4 应变率张量和应变增量张量应变率张量和应变增量张量 4 14 1 应变率张量应变率张量 在小变形条件下 应变张量可简写为 3 4 1 2 1 ijjiij uu 而当介质处在运动状态时 以表示质点的速度 表示速度的三个分量 tzyxv i v 以时间 作为起点 则经过无限小时间段以后 位移为 由于很小 tdtdtvu ii dt 及其对坐标的导数也很小 因此可以应用小变形公式 即 i u 3 4 2 dtvvuu ijjiijjiij 2 1 2 1 如果令 则有 ij ijdt 3 4 3 2 1 ijjiij vv 称为应变率张量 上式定义不论大小都成立 但要求是对每一瞬时状态进 ij ij 行计算 不是按初始位置计算 因为 在一般情况下当按初始位置计算时 ijij dt d 只有在小变形条件下才有 3 4 4 ijijij tdt d 由 3 4 2 和 3 4 4 式可知 3 4 5 2 1 2 1 ijjiijjiijij uuuu dt d dt d 于是应变对时间的变化率为 3 4 6 x w z u z w z v y w y v y u x v t u zxz yzy xyx 将上式写为张量形式为 3 4 7 zyzxz yzyxy xzxyx ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 24 2 应变增量张量应变增量张量 应当指出 对于固体材料 当温度不变时或变形是缓慢的 则其力学行为与 应变率关系不大 只有在受到动载荷时 因变形速率很快 材料的力学性质才会 与应变速率有关 这类材料通常称为应变率敏感材料 因此 根据第一章中的基 本假设 时间因素对物体的弹塑性力学行为不发生影响 即不考虑粘性效应 而 且这里的并不代表真实的时间 仅仅代表加载变形的过程 于是 对于这里所dt 讨论的问题主要关心的不是应变速率 而是应变增量 于是采用应变增量 ij d 代替应变率更能表示不受时间参数选择的特点 ij d ij 以代表位移增量 则 3 4 3 式成为 i du 3 4 8 2 1 ijjiij dudud 在小变形条件下 3 4 9 2 1 2 1 ij ijji ijjiij d uud dudud 这说明在小变形时 按瞬时状态计算与按初始状态计算 近似地 没有什 ij d ij d 么区别 类似地 应变增量张量的应变增量偏量为 3 4 10 ijijij ddde 注意 在求应变增量时 每一次都应从瞬时位置计起 而不是从初始位置算 起 例如在简单拉伸时 轴向应变增量为 l dl d 此处 是拉伸时的瞬时长度 为了不与相混淆 令 一般情况下应变增l d l dl 量的累计值的物理意义并不明显 但是当应变张量的主方向不变时 它们的 ij d 积分才有明确的物理意义 对于简单拉伸问题有 3 4 11 1ln ii d 这就是对数应变 又称为真应变 4 54 5 小变形的应变协调方程小变形的应变协调方程 对于一个连续的物体 按某一应变状态变形后必须既不出现开裂 又不会出 现重叠 即保持其连续性 此时所给定的应变状态是协调的 否则是不协调的 这就要求位移函数在所定义的域内为单值连续函数 一旦出现了开裂 位移函 i u 数就会出现间断 出现了重叠 位移函数就不可能为单值 因此 为保持物体变 形后的连续性 各应变分量之间 必须有一定的关系 在小变形情况下 6 个应变分量是通过 6 个几何方程与 3 个位移函数相联系 若已知位移分量 则由 3 4 1 求得各应变分量 若给定一组应变 3 4 1 i u ij 式是关于未知位移函数的微分方程组 它包含 6 个方程 仅三个未知函数 方 i u 程的个数超过了未知数的个数 若任意给定 则方程 3 4 1 不一定有解 仅 ij 当满足某种可积条件 或称为应变协调关系时 才能由方程 3 4 1 积分得到 ij 单值连续的位移场 i u 在小变形条件下 应变的计算式为 3 2 9 将 3 2 9 式中的 6 个应变分量 分为两组 第一组为 3 2 9 式中的前三式 将该式中前两式分别对和求二阶yx 偏导数 得 2 3 2 2 yx u y x yx v x y 2 3 2 2 将上面两式相加 得 xy y x yxx v y u yxxy 22 2 2 2 2 这就是我们需要的应变之间的一个关系式 将上式内各字母循环替换 就得到另 外二式 第一组中共有三个关系式 第二组为方程 3 2 9 中的后三式 将它们分别对 和求偏导得zxy zy u zx v z xy 22 xz v xy w x yz 22 zy u yx w y zx 22 将上式中的第二和第三式相加 并减去第一式 然后再对求导 则有z yxzyx w zyxz z xy zx yz 23 22 将上式各字母循环替换 就得到另外二式 第二组也共有三个关系式 于是第一组和第二组的 6 个关系如下 3 5 1 yxzyxz zxyxzy zyxzyx xzzx zyyz yxxy z xy zx yz y zx yzxy x yzxy zx zx xz yz z y xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 上列应变分量之间的 6 个微分关系式 称为应变协调方程 又称变形连续方程 圣维南恒等式 当弹塑性变形固体在外界因素影响下 物体中产生应力与应变 如能先求得 位移 对于小变形问题则可由式 3 4 9 可计算应变分量 这时应变协调方wvu 程 3 5 1 自然满足 因应变协调方程本是由式 3 4 9 所导得 但是 如先求出 应力 然后再求应变 则所求的应变分量必须同时满足应变协调方程 3 5 1 否则 应变分量之间可能互不相容 因此也就不能用式 3 4 9 求得正确的位移 式 3 2 2 可以视为位移分量的微分方程 如果应变分量和转动分已知 wvu 则求式 3 2 2 的积分 就可求得位移分星 进 步可证明 在求上述积分wvu 时 必须满足应变协调方程 3 63 6 正交曲线坐标中的应变几何方程正交曲线坐标中的应变几何方程 在求解具有曲线或曲面边界的弹塑性力学问题时 一般选用正交曲线坐标系 比笛卡儿直角坐标系更为方便 6 16 1 正交曲线坐标正交曲线坐标 设以三个独立变量 来定义的三个独立标量函数 为zyx ZYX 3 6 1 zyxXX zyxYY zyxZZ 如果 表示笛卡尔坐标 则对任何一组 变量 都是空间ZYX ZYX zyx 坐标 那么在一规则区域内 独立标量函数与独立变量之间存在唯一解 即 3 6 2 ZYXxx ZYXyy ZYXzz 如果 为常值 则方程 3 6 2 给出zyx 000 zyx 3 6 3 0 xZYXx 0 yZYXy 0 zZYXz 方程定义一个坐标面 当取不同的值 就得到与对应的一族 0 xZYXx 0 x 0 x 坐标面 类似地 方程和给出另外两族坐标面 两 0 yZYXy 0 zZYXz 个坐标面的交线定义一坐标线 如和的交线定义一条坐标线 沿这 0 yy 0 zz 条线只有在变化 该交线称为坐标线 类似的面和的交线定义出xx 0 xx 0 zz 坐标 而和的交线定义出坐标 一般来说 坐标线均为曲线 因y 0 xx 0 yy z 此 变量 称为曲绒坐标 zyx 通常三个坐标面在空间相交于一点 因此空间中的一点与三线的交汇点 有关 如果通过任何点 的曲线坐标线相互垂直 则称它为正交 iii zyx zyx 的 其曲线坐标系称为正交曲线坐标系 如柱坐标系和球坐标系 zr 均属正交曲线坐标系 r 在直角坐标系 中 一点 的位置矢量可以写作 ZYX zyx ZkYjXir 其中分别为坐标方向的单位矢量 因此 一个曲线坐标系 可kji ZYX zyx 以用矢量方程定义 如果令分别是对 的偏导数 以下 zyxrr zyx rrr zyx 各式中的下标均分别表示对的偏导数 则它们分别是对 坐标zyx zyx zyx 线的切向矢量 对于正交坐标系有 3 6 4 0 xzzyyx rrrrrr 注意 此处 为标量积符号 两相邻点之间的距离可以由确 dSdrdrdS 2 定 而 根据方程 3 6 4 可得dzrdyrdxrdr zyx 3 6 5 2222222 dzdydxdS 其中 3 6 6 xx rr 2 yy rr 2 zz rr 2 因为分别是对 坐标线的切向矢量 所以相对于坐标 的单位 zyx rrr zyx zyx 切向矢量定义为 3 6 7 x r e 1 y r e 2 z r e 3 因为是对坐标线 的正交矢量 所以 也是对坐标线 zyx rrr zyx 321 eee 的正交矢量 于是其它任何矢量都可用它们线性地表示出 如 对的二zyx rx 阶偏导数可以表示为 321 cebeaerxx 为了计算系数 可以分别取与的标量积 结果得cba xx r 321 eee 3 6 8 xx rea 1xx reb 2xx rec 3 为了求得标量积等 可以将方程 3 6 4 和 3 6 6 对 求导 并利用 xx re 1 zyx 方程 3 6 7 典型结果为 3 6 9 00 xxyxyxxzxx