面积比求二面角

1 用用 面积比面积比 求二面角求二面角 来宾市一中 覃卫平 求二面角是立体几何计算题的常见问题 一作 二证 三求 是立几计算 题的口诀 即利用定义 三垂线定理 线面垂直等方法先作出二面角的平面角 然后证明所作的角为所求二面角的平面角 最后利用三角形的有关性质解出平 面角从而得解 但很多时候 作 中就出现问题了 平面角的顶点不是棱上的 特殊点 这样就不容易求出相关直角三角形的边长 面积比 是 若在二面角一个面内面积为 S 的平面多边形 多为三角形 三 角形的一边在棱上 在另一个面内的射影的面积为 二面角大小为 则 S 利用 面积比 的方法往往可以避免了 作 不出或是 作 出了 S S cos 又不好求的尴尬局面 一 已知射影型 一 已知射影型 已知或通过已知条件找出二面角的一个面内的平面多边 形在另一个面内的射影 例 1 如图 在三棱锥中 是直角三角形 ABCP ABCPB平面 ABC 点 D E F 分别为 AC AB BC 的中点 45 2 90 PABBCABB 1 求证 PDEF 2 求直线所成的角的正弦值 PBDPF与平面 3 求二面角的正切值 BPFE 1 2 解法略 3 设 连结OBDEF PO 易知PBFEB平面 上的射影 PBFPEFPBF在平面为 112 2 1 2 1 BFPBS PBF 2 3 2 2 22 2 1 2 1 2 2 POEFS PEF P A B C D E F O 2 设二面角为则BPFE 2 5 tan 3 2 cos PEF PBF S S 即二面角的正切值为BPFE 2 5 已知射影型主要特征是 已知二面角的一个面内平面多边形不在棱上的顶 点到另一个面的垂线 而且其中平面多边形及其射影是便于计算面积的特殊多 边形形 等腰 直角三角形 倘若 面 及其射影不是便于计算面积的特殊 多边形则就选择其它方法 例 2 如图 已知长方体与平面BDAAABDCBAABCD 1 2 11111 所成的角为 点 F 为的中点 BBAA 11 30 EBDAE于点 11B A 1 求异面直线 AE 与 BF 所成的角的余弦值 2 求平面 BDF 与平面所成的二面角 锐角 的大小 用反三角函数表示 BAA1 解 1 略 2 易知 ABFDA平面 在平面上的射影 DBFABF 为BAA1 与平面所成的角为BD 11B AA 30 即 又 30ABD 3 32 2 ADAB 211 22 BF 3 34 3 32 2 2 2 BD 3 30 3 32 11 2 22 FD 222 BDFDBF 3 15 2 1 90 DFBFS BFD BDF 设平面 BDF 与平面所成的二面角为则1 2 1 11 BBAAABF SS 矩形 BAA1 故所求的二面角大小为 5 15 cos BDF ABF S S 5 15 arccos A B C D E F A1 B1 C1 D1 3 二 未知射影型 二 未知射影型 从已知条件中未有线面垂直 经二面角一个面内平面多 边形不在棱上的顶点作二面角另一个面的垂线从而得到其射影 化成已知型解 决问题 例 3 如图 在矩形中 E 是 BC 的中点 把ABCD 2 2 BCAB 分别沿 CDEABE AE DE 折起 使 B C 重合于点 P 1 求证 PADPDE平面平面 2 求异面直线 AD 与 PE 的距离 3 求二面角的大小 DAEP 1 2 略 3 由 1 2 可知 G 为 AD 的中点 为等腰直角三角PADPE平面 1 PGPEG 形 作 则 F 为 GE 的中点 FEGPF于 ABCDPEG平面平面 上的射影 ABCDPF平面 ABCDAEPAEF在平面为 设平面 PAE 与平面 DAE 所 2 2 2 1 PEPAS PAE 4 2 2 1 AEGFAE SS 成的二面角为则 故所求的二面角大小为 2 1 cos PAE FAE S S 3 例 4 如图 五面体中 底面 ABC 为正三角形 11B BCCA 4 1 AB 四边形是矩形 D 为 AC 的中点 二面角是直二面2 AB 11B BCC 1 CBCA 角 1 求证 2 求二面角的余弦值 11 BDCAB平面DBCC 1 1 证明 略 2 解 作FBCDF于 二面角是直二面角 1 CBCA 为平面FBC BBCCDF 111 在平面上的射影 DBC1 1 BCC 又底面 ABC 为正三角形 D 为 AC P A B C D E FG A B C D F B1C1 4 的中点 BCBF 4 3 2 33 242 2 1 4 3 2 1 4 3 4 3 22 1 11 CCBCSS FBCFBC 易知 1 ACCBD平面 1 DC