多重积分的方法总结

多重积分的方法总结多重积分的方法总结 引言 引言 高等数学是一门严密的学科 在学习高数过程中 我认为应用最为广泛的是 积分 高数中积分包含了曲面积分 曲线积分 二重积分和三重积分等 它们 在许多学科中 生活中应用比较广泛 比如 要计算某个不规则物体的体积就 可以运用积分来求解 很多方面均可以转化成微积分的面积 体积的思维来求 这就是它的优点 这种面积和体积是一种抽像的概念了 到了更多重积分又会 有更多和意义 那么 下面我将以二重积分和三重积分的定义 计算方法 主 要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分 其中计算方 法将通过例题来解释 二重积分二重积分 定义 定义 设二元函数 z f x y 定义在有界闭区域 D 上 将区域 D 任意分成 n 个子 域 i i 1 2 3 n 并以 i 表示第 i 个子域的面积 在 i 上任取 一点 i i 作和 lim n n i 1 i i i 如果当各个子域 的直径中的最大值 趋于零时 此和式的极限存在 则称此极限为函数 f x y 在区域 D 上的二重积分 记为 f x y d 即 f x y d lim n f i i i 这时 称 f x y 在 D 上可积 其中 f x y 称被积函数 f x y d 称为被积表达 式 d 称为面积元素 D 称为积分域 称为二重积分号 同时二重积分有着广泛的应用 可以用来计算曲面的面积 平面薄片重心 平面薄片转动惯量 平面薄片对质点的引力等等 此外二重积分在实际生活 比如无线电中也被广泛应用 二重积分的计算方法二重积分的计算方法 1 1 直角坐标系中累次积分法直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分 可以分为如下两类区 域来计算 平面点集 D 为型区域 平面点 1 2 x yy xyyx axb x 集 D 为 y 型区域 1 2 x yxyxxy cyd 型区域 若在型区域 D 上连续 其中 x f x yx 1 2 y xyxa b在上连续 则 D dyxf 2 1 byx dxf x y dy ay x 试计算 I 的值 2 2y D x ed 解 画出区域图 1 只能用先对后先对积分 则xy I 21 2 00 y y dyx edx 21 3 0 1 3 y y edy 由分部积分法 即可算得 图 1 I 11 63e 例 2 试将化为两种不同次序的累次积分 其中是 由 D dyxf Dyx 所围成的区域 2yx 和x轴 图 2 解 首先画出积分区域 D 如图 2 并求出边界曲线的交点 1 1 0 0 及 2 0 则 D dyxf 12 DD f x y df x y d 122 0010 xx dxf x y dydxf x y dy 如果先积x后积y 则为 D dyxf 12 0 y y dyf x y dx 2 2 极坐标中的累次积分法极坐标中的累次积分法 当积分区域是圆域或圆域的一部分 或者被积函数的形式为时 采 22 f xy 用极坐标变换 T 0 02 r 于是二重积分极坐标形式为 例 1 把化成极坐标系中的累次积分 其中 D 是由圆 D f x y d 22 2xyRy 所围成的区域 解 在极坐标系中画出区域 D 如图 sin cos ry rx DD rrrrfyxf dd sin cos d 并把 D 的边界曲线 x 2 y2 2Ry 化为极坐标方程 即为 2 sinrR 作射线 0 与 夹紧域 D 在 0 中任作射线与域边界交两点 r1 0 r2 2Rsin 得 例 2 在极坐标系中 计算 二重积分D 是由 22 D f xyd 222 1xyR 和 所围成的环形区域在第一象限的部分 222 2 12 xyRRR 解 在极坐标系中画出区域 D 如下图 并把 D 的边界曲线化为极坐标方程 即为 1 2 rR rR 作两条射线 0 与 夹紧积分域 D 在 0 与之间 任作一射线与域 2 2 D 的边界交两点 所以有1 2 rR rR 如果积分域 D 是整个环形 显然有 D yxf d dd sin cos rrrrf D d sin cos d 0 sin2 0 rrrrf R d 22 D yx D rrr d 2 8 dd 4 1 4 2 2 0 3 2 1 RRrr R R DD rrryx ddd 222 2 0 3 2 1 dd R R rr 2 1 2 1 2 d2 43R R R R rrr 2 1 4 2 4 RR 三重积分三重积分 定义 定义 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在 则 称此极限为函数 f x y z 在闭区域上的三重积分 体积元素 设三元函数 z f x y z 定义在有界闭区域 上 将区域 任意分成 n 个 子域 vi i 1 2 3 n 并以 vi 表示第 i 个子域的体积 在 vi 上任取一 点 i i i 作和 lim n n i 1 i i i vi 如果当各 个子域的直径中的最大值 趋于零时 此和式的极限存在 则称此极限为函数 f x y z 在区域 上的三重积分 记为 f x y z dv 即 f x y z dv lim n f i i i i 其中 dv 叫做 体积元素 三重积分的计算方法三重积分的计算方法 一般来说利用 4 种方法可以解答大多数三重积分的问题 并且它们之间有着 密切的联系 而同一题可以有多种解法 有简有繁 这就要因题而议了 这四种方法分别是 1 坐标面投影法要注意围成闭区间的上下两个区面在一个轴平面的投影应该 相同 2 坐标轴投影要注意 Dz 平行于 XY 面的横截面 容易用一个变量 Z 表示 3 使用柱面参数要特别注意 Z 的上下限的确定 其上下限主要取决此区域是 曲面的那一段 哪一部分曲面 4 球面坐标法 三重积分的计算是化为三次积分进行的 其实质是计算一个定积分 一重积分 和一个二重积分 从顺序看 如果先做定积分 再做二重积分 就是 投影法 2 1 z z dzzyxf D dyxF 也即 先一后二 步骤为 找及在面投影域 D 多 D 上一点 穿 xoy x y 线 确定 z 的积分限 完成了 先一 这一步 定积分 进而按二重积分的计 算步骤计算投影域 D 上的二重积分 完成 后二 这一步 ddzzyxfdvzyxf D z z 2 1 如果先做二重积分再做定积分 就是 截面法 也 z D dzyxf 2 1 c c dzzF 即 先二后一 步骤为 确定位于平面之间 即 21 czcz 与 21 ccz 过 z 作平行于面的平面截 截面 区域的边界曲面都是 z 的函数 xoy z D z D 计算区域上的二重积分 完成了 先二 这一步 二重积分 z D z D dzyxf 进而计算定积分 完成 后一 这一步 2 1 c c dzzF dzdzyxfdvzyxf c cDz 2 1 当被积函数 f z 仅为 z 的函数 与无关 且的面积容易求出时 x y z D z 截面法 尤为方便 为了简化积分的计算 还有如何选择适当的坐标系计算的问题 可以按以下 几点考虑 将积分区域投影到面 得投影区域 D 平面 xoy 1 D 是 X 型或 Y 型 可选择直角坐标系计算 当的边界曲面中有较多的 平面时 常用直角坐标系计算 2 D 是圆域 或其部分 且被积函数形如时 可选择柱面 22 x y fyxf 坐标系计算 当为圆柱体或圆锥体时 常用柱面坐标计算 3 是球体或球顶锥体 且被积函数形如时 可选择球面坐 222 zyxf 标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法 对向其它坐标面投影或不易 作出的情形不赘述 三重积分的计算方法例题 三重积分的计算方法例题 1 计算三重积分 其中为平面与三个坐标面 zdxdydzI 1 zyx 围成的闭区域 0 0 0 zyx 解 1 投影法 1 画出及在面投影域 D 2 穿线 xoyyxz 10 X 型 D xy x 10 10 yxz xy x 10 10 10 1 0 1 0 322 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 1 2 1 1 2 1 dxyyxyxdyyxdxzdzdydxzdxdydzI x xyxx 24 1 4 1 2 3 6 1 1 6 1 1 0 4 1 0 323 xxxxdxx 解 2 截面法 1 画出 2 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 1 0 z z D 是两直角边为的直角三角形 z D x yzyzx 1 1 1 0 1 0 1 0 z z z D D D dzzSdzdxdyzdzzdxdyzdxdydzI 1 0 32 1 0 1 0 24 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 dzzzzdzzzzdzxyz 2 计算 其中是和 z 1 围成的闭区域 dvyx 22 222 zyx 解 1 投影法 1 画出及在面投影域 D 由消去 z xoy 1 2 22 z yxz 得即 D 1 22 yx1 22 yx 2 穿线 1 22 zyx X 型 D 22 11 11 xyx x 1 11 11 22 22 zyx xyx x 3 计算 x xyx x x dyyxyxdxdzyxdydxdvyx 1 1 11 1 1 1 222222 1 1 22 222 2 2 6 1 解 2 截面法 1 画出 2 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 1 0 z z D 222 zyx z D zr0 20 用柱坐标计算 10 0 20 z zr 4 计算 1 0 1 0 2 00 1 0 1 0 3 0 322222 63 2 3 1 2 z D z z dzzdzrdzdrrddzdxdyyxdvyx 在曲面积分中用到了二重积分计算的方法 而在区间闭曲面的曲面积分和三重 积分之间存在着一定的关系 这就是高斯公式 高斯公式高斯公式 定义 定义 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成 若函数 P Q R 在 V 上 连续偏导数 则 V PQR dxdydz xyz 1 S PdydzQdzdxRdxdy A 其中 S 取外侧 1 式称为高斯公式 例 1 计算 22 0 S y xz dydzx dzdxyxz dxdy A 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧 解 应用高斯公式 所求曲面积分等于 22 V y xzxyxz dxdydz xyz 000 aaa V yz dxdydzdzdyyx dx 24 0 1 2 a aayadya 还有大量的习题可以运用高斯公式来计算 它给我们的计算带来了方便 它 是联系空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的纽带 总结 总结 二重积分 三重积分和多重积分三者差不多 形式上是一个数值函数乘以微 元 面积或体积 再积分 所以可以用它们求质量 等等 只要是已知被积 区域每点对应一个数值 而且需要求整个被积区域的这个数值的和 就是积分 就用二重或多重积分 其计算方法就是拆成几个普通定积分 这需要写出被 积区域的