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恒成立与存在性问题方法总结恒成立与存在性问题方法总结 高三数学复习中的恒成立与存在性问题 涉 及一次函数 二次函数等函数的性质 图像 渗透着换元 化 归 数形结合 函数与方程等思想方法 有利于考查学生的综 合解题能力 在培养学生思维的灵活性 创造性等方面起到了 积极的作用 因此也成为历年高考的一个热点 恒成立与存在 性问题的处理途径有多种 下面是小编整理的恒成立与存在性 问题方法总结 欢迎来参考 一 构建函数 构建适当的函数 将恒成立问题转化为能利用函数的性质来 解决的问题 1 构建一次函数 众所周知 一次函数的图像是一条直线 要使一次函数在某 一区间内恒大于 或小于 零 只需一次函数在某区间内的两 个端点处恒大于 或小于 零即可 例1 若 x 2 2 不等式 kx 3k 1 0 恒成立 求实数 k 的取值范围 解 构建函数f x kx 3k 1 则原问题转化为 f x 在 x 2 2 内恒为正 若 k 0 则 f x 1 0 恒成立 若 k 0 则 f x 为一次函数 问题等价于 f 2 0 f 2 0 解之得k 例2 对 m 2 的一切实数 m 求使不等式 2x 1 m x 1 都成立的 x 的取值范围 解 原问题等价于不等式 x 1 m 2x 1 0 设 f m x 1 m 2x 1 则原问题转化为求一次函数 f m 或常数函数在 2 2 内恒为负值时 x 的取值范围 1 当 x 1 0 时 x 1 当x 1 时 f m 0 恒成立 当 x 1 时 f m 0 不成 立 2 当 x 1 0 时 由一次函数的单调性知 f m 0 等 价于 f 2 0 且 f 2 0 即 x 综上 所求的 x 2 构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容 利用二次 函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题 使原本复杂的 问题变得容易解决 例3 若 x 0 lg ax 2x 1 R 恒成立 求实数 a 的取值 范围 解 构造函数g x ax 2x 1 则原问题等价于 当 x 0 时 g x 恒大于 0 若a 0 且 x 0 则 g x 2x 1 0 恒成立 若a 0 则 g x 为二次函数 当 a 0 时 显然当 x 0 时 不能使 g x 恒大于 0 仅当 a 0 时 要使当 x 0 时 g x 恒大于 0 只需 0 或 0 0g 0 0 解之得 a 0 a 的取值范围为 0 3 构建形如f x ax 的函数 通过换元 变形 将原问题转化为形如f x ax 的函数的 最值问题 再合理利用该函数的单调性等性质来解题 常要用 到如下结论 1 f x ax 为奇函数 2 当 a 0 b 0 时 f x 在 0 上递减 在 上递
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