线面垂直的证明中的找线技巧

1 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算 运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图 1 在正方体中 为 的中点 AC 交 BD 于点 O 求证 1111 ABCDABC D M 1 CC 平面 MBD 求的体积 1 AO 1 MABD 练习 1 如图 在四棱锥中 平面平面 是等边三PABCD PAD ABCDABDC PAD 角形 已知 28BDAD 24 5ABDC 设是上的一点 证明 平面平面 MPCMBD PAD 求四棱锥的体积 PABCD 练习 2 已知是矩形 平面 ABCDPA ABCD2AB 为的中点 4PAAD EBC 求证 平面 DE PAE A B C M P D 2 利用面面垂直寻求线面垂直 例 2 如图 2 是 ABC 所在平面外的一点 且 PA 平面 ABC 平面 PAC 平面 PBC 求证 P BC 平面 PAC 练习 3 如图 所示 ABCD为正方形 平面ABCD 过且垂直于的平面分别交SAASC 于 求证 SBSCSD EFG AESB AGSD 应用等腰 等边 三角形三线合一性质 所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线 可以很轻松的得到线线垂直 从而为证明线面垂直做了很好的准备工作 例 3 如图 2 所示 已知垂直于所在平面 是的直径 PAOAABOA 是的圆周上异于 的任意一点 且 点是线段COAABPAAC E 的中点 求证 平面 PCAE PBC A C B P E O A 图 2 3 应用两条平行线的性质 大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直 则两条平行线都与平面中的直线垂直 在三角形中位线与底边平行 可以得到线线平行的关系 平行四边形对边平行也可以得到线线平行 这 样的结论很多 我们可以欣赏体会这样的方法 例 3 如图 3 所示 为 所在平面外一点 平面 为的中点 为PABC BCPABGPBM 的中点 在上 求证 平面 PCNABNBAN3 ABMNG 应用平面图形的几何性质 我们都发现在立体几何问题的解决中 平面图形的性质产生了很重要的地位 在学习立体几何的 过程中 平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间 但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几 何的时候会发挥很重要的作用 例 4 如图 4 所示 四边形是边长为 1 的菱形 点是菱形所在平面外一点 ABCDPABCD 是的中点 平面 求证 平面 60BCDECD PAABCDBEPAB A B C P H N M G 图 3 A B C E D P 图 4 4 4 如图 在三棱锥 BCD中 BC AC AD BD 作BE CD 为垂足 作AH BE于 求证 AH 平面BCD 证明 取AB的中点 连结CF DF ACBC CFAB ADBD DFAB 又 平面CDF CFDFF AB 平面CDF CD CDAB 又 CDBE BEABB 平面ABE CD CDAH AHCD AHBE CDBEE 平面BCD AH 评注 本题在运用判定定理证明线面垂直时 将问题转化为证明线线垂直 而证明线线垂直时 又 转化为证明线面垂直 如此反复 直到证得结论 5 如图 是圆 的直径 是圆周上一点 平面ABC 若AE PC 为垂足 是ABPA PB上任意一点 求证 平面AEF 平面PBC 证明 AB是圆 的直径 ACBC 平面ABC 平面ABC PA BC 平面APC PABC BC 平面PBC BC 平面APC 平面PBC AE PC 平面APC 平面PBC PC AE 平面PBC 平面AEF 平面AEF 平面PBC AE 评注 证明两个平面垂直时 一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线 即证线面垂直 而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系 2 解 平面 PAC 平面 ABCD 平面 PAC 平面 PBC 平面 PAD 平面 PBD 平面 PAB 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD 2 ABC A B C 是正三棱柱 底面边长为 a D E 分别是 BB CC 上的一点 BD 2 1 a EC a 1 求证 平面 ADE 平面 ACC A 2 求截面 ADE 的面积 5 1 证明 分别取 A C AC 的中点 M N 连结 MN 则 MN A A B B B M N B 共面 M 为 A C 中点 B C B A B M A C 又 B M AA 且 AA A C A B M 平面 A ACC 设 MN 交 AE 于 P CE AC PN NA 2 a 又 DB 2 1 a PN BD PN BD PNBD 是矩形 于是 PD BN BN B M PD B M B M 平面 ACC A PD 平面 ACC A 而 PD 平面 ADE 平面 ADE 平面 ACC A 2 解 PD 平面 ACC A PD AE 而 PD B M 2 3 a AE 2a S ADE 2 1 AE PD 2 1 2 4 6 2 3 2aaa 1 S 是 ABC 所在平面外一点 SA 平面 ABC 平面 SAB 平面 SBC 求证 AB BC S A C B 6 2 在四棱锥中 底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 证明 AB 平面 VAD V DC B A 3 如图 棱柱的侧面 是菱形 证明 平面平面 111 ABCABC 11 BCC B 11 BCAB 1 ABC 11 ABC 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB A