2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学试题

1 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 数学试卷 理科 数学试卷 理科 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 卷卷 1 至至 2 页 第页 第 卷卷 3 至至 4 页 考页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那么 P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 2 1 0 1 1 nkppCkP knk n 球的表面积公式 其中 R 表示球的半径 2 4 RS 球的体积公式 其中 R 表示球的半径 3 3 4 RV 一 选择题一 选择题 1 a 是第四象限角 则 5 tan 12 sin A B C D 5 1 5 1 13 5 13 5 2 设 a 是实数 且是实数 则 a 2 1 1 i i a A B 1C D 2 2 1 2 3 3 已知向量 则与 5 6 a 6 5 b a b A 垂直B 不垂直也不平行 2 C 平行且同向D 平行且反向 4 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 4 0 4 0 则双曲线方程为 A B 1 124 22 yx 1 412 22 yx C D 1 610 22 yx 1 106 22 yx 5 设 集合R ba abb a b aba则 0 1 A 1B 1C 2 D 2 6 下面给出的四个点中 到直线 x y 1 0 的距离为 且位于表示的平面区域内的点 2 2 xy 10 xy 10 是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 7 如图 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则异面直线 A1B 与 AD1所成 角的余弦值为 A B C D 5 1 5 2 5 3 5 4 8 设 a 1 函数在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为 则 a logaf xx 2 1 A B 2C 2 D 422 9 是定义在 R 上的函数 则 均为偶函数 是 为 xgxf xgxfxh xgxf xh 偶函数 的 A 充要条件B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件D 既不充分也不必要的条件 10 的展开式中 常数项为 15 则 n 2n 1 x x A 3B 4C 5D 6 11 抛物线的焦点为 F 准线为 l 经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交xy4 2 3 于点 垂足为 则 的面积是A lAK KAKF A 4B 3C 4 D 833 3 12 函数的一个单调增区间是 2 cos2cos 22 x xxf A B C D 2 332 6 0 3 6 6 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9595 分 分 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 在试题卷 上作答无效 3 本卷共 10 题 共 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在横线上 分 把答案填在横线上 13 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不 能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 14 函数的图象与函数 0 的图象关于直线对称 则 xfy 3 ylog x x xy f x 15 等比数列 an 的前 n 项和 Sn 已知成等差数列 则 an 的公比为 123 2 3SSS 16 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为 2 则该 三角形的斜边长为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设锐角三角形 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a 2bsinA 求 B 的大小 求的取值范围 CAsincos 18 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件 A 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 P A 4 求 的分布列及期望 E 19 本小题满分 12 分 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 侧 面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 AB 2 BC 2 SA SB 23 证明 SA BC 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小 20 本小题满分 12 分 设函数 f x ex e x 证明 f x 的导数 2fx 若对所有 x 0 都有 f x ax 求 a 的取值范围 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线交椭圆于 B D 两点 过 F2的直线1 23 22 yx 交椭圆于 A C 两点 且 AC BD 垂足为 P 设 P 点的坐标为 x0 y0 证明 1 23 2 0 2 0 yx 求四过形 ABCD 的面积的最小值 22 本小题满分 12 分 已知数列 an 中 a1 2 an 1 an 2 n 1 2 3 12 求 an 的通项公式 若数列 bn 中 b1 2 bn 1 n 1 2 3 证明 32 43 n n b b 43 2 nn ba 1 2 3 n 5 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 数学试卷 理科 数学试卷 理科 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 1 D2 B3 A4 A5 C6 C 7 D8 D9 B10 D11 C12 A 二 填空题 二 填空题 13 36 14 3 x x R 15 1 3 16 2 3 三 解答题 三 解答题 17 解 由 a 2bsinA 根据正弦定理得 sinA 2sinBsinA 所以 1 sin 2 B 由为锐角三角形得 ABC 6 B cossincossinACAA cossin 6 AA 13 coscossin 22 AAA 3sin 3 A 6 由为锐角三角形知 ABC 22 AB 2263 B 2 336 A 所以 13 sin 232 A 由此有 33 3sin3 232 A 所以 cosA sinC 的取值范围为 3 3 22 18 解 由 A 表示事件 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 知表示事件 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 A 2 1 0 4 0 216P A 1 1 0 2160 784P AP A 的可能取值为 200 元 250 元 300 元 200 1 0 4PP 250 2 3 0 20 20 4PPP 300 1 200 250 1 0 40 40 2PPP 的分布列为 200250300 P0 40 40 2 200 0 4250 0 4300 0 2E 240 元 7 19 解法一 解法一 作 垂足为 O 连结 AO 由侧面底面 ABCD 得底面 ABCD SOBC SBC SO 因为 SA SB 所以 AO BO 又 故为等腰直角三角形 45ABC AOB AOBO 由三垂线定理 得 SABC 由 知 依题设 SABC ADBC 故 由 得SAAD 2 2ADBC 3SA 2AO SO 1 11SD SAB 的面积 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A 连结 DB 得 DAB 的面积 2 1 sin1352 2 SAB AD A 设 D 到平面 SAB 的距离为 h 由于 得 D SABSABD VV 12 11 33 h SSO S AA 解得 2h 设 SD 与平面 SAB 所成角为 则 222 sin 1111 h SD 所以 直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 22 arcsin 11 解法二 解法二 作 SO BC 垂足为 O 连结 SO 由侧面 SBC 底面 ABCD 得 SO 平面 ABCD 因为 SA SB 所以 AO BO 又 AOB 为等腰直角三角形 AO OB 45ABC 如图 以 O 为坐标原点 OA 为 x 轴正向 建立直角坐标系 O xyz S 2 0 0 A 02 0 B 02 0 C 0 0 1 2 01 SA O D B C A S 8 所以 SA BC 0 2 2 0 CB 0SA CB A 取 AB 中点 E 22 0 22 E 连结 SE 取 SE 中点 G 连结 OG 22 1 442 G 22 1 442 OG 22 1 22 SE 22 0 AB OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE AB 垂直 0SE OG A0AB OG A 所以 OG 平面 SAB 与的夹角记为 SD 与平面 SAB 所成的角记为 则与互余 OGDS 2 2 2 0 D 2 2 21 DS 22 cos 11 OG DS OG DS A A 22 sin 11 所以 直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 22 arcsin 11 20 解 f x 的导数 ee xx fx 由于 故 ee2 e e2 x xxx A 2fx 当且仅当时 等号成立 0 x 令 g x f x ax 则 ee xx g xfxaa 若 当 x 0 时 2a ee20 xx g xaa 故 g x 在上为增函数 0 所以 时 即0 x 0 g xg f xax D B C A S O E G y x z B 1 FO 2 F P D A y x C 9 若 a 2 方程 g x 0 的正根为 2 1 4 ln 2 aa x 此时 若 则 g x 0 故 g x 在该区间为减函数 1 0 xx 所以 时 g x g 0 0 即 f x ax 与题设相矛盾 1 0 xx f xax 综上 满足条件的 a 的取值范围是 2 21 证明 椭圆的半焦距 321c 由 AC BD 知点 P 在以线段 F1F2为直径的圆上 故 22 00 1xy 所以 2222 0002 1 1 32222 yxyx 当 BC 的斜率 k 存在且时 BD 的方程为 y k x 1 代入椭圆方程 0k 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 设 B x1 y1 D x2 y2 则 11 B xy 22 D xy 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 222 122212 2 4 3 1 1 1 4 32 k BDkxxkxxx x k AA 因为 AC 与 BC 相交于点 P 且 AC 的斜率为 1 k 所以 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形 ABCD 的面积 10 2222 222 22 124 1 1 96 2 32 23 25 32 23 2 kk SBD AC kk kk A 当 k2 1 时 上式取等号 当 BD 的斜率 k 0 或斜率不存在时 四边形 ABCD 的面积 S 4 综上 四边形 ABCD 的面积的最小值为 96 25 22 解 由题设 1 21 2 nn aa 21 2 21 22 n a 21 2 2 n a 1 2 21 2 nn aa 所以 数列是首项为 公比为的等比数列 2 n a 22 21 22 21 n n a 即 an的通项公式为 n 1 2 3 2 21 1 n n a 用数学归纳法证明 当 n