非齐次方程的解法.ppt

2 4 非齐次方程的解法 chapter2 一 对应齐次问题的特征函数 三 有界弦 杆 受强迫力的解 二 关于T t 的方程的通解 四 特征函数法 现考虑有界弦 或杆 受强迫力作用所产生的振动现象 定解问题 弦的振动可以分成两部分 一是强迫力 一是初始状态 所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成 定解问题 其中V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移 它满足 可设解为 定解问题 而W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移 它满足 a b 若V是 a 的解 W是 b 的解 则u V W一定就是原定解问题的解 问题 b 可直接用分离变量法求解 因此只需讨论如何解问题 a 由于方程 a 中非齐次项f x t 的出现 所以不能直接用分离变量 由此 我们自然想到解非齐次线性常微分方程的参数变易法 类似地先考虑与非齐次方程 定解问题 所对应的齐次问题 通过分离变量后 得到特征值问题为 定解问题 a 所对应的齐次问题为 一 对应齐次问题的特征函数 由此解得特征函数为 再将自由项f x t 也按特征函数系展开成如下的级数 二 关于T t 的方程的通解 仿照参数变异法 令 c d 将 c 及 d 代入 a 的第一个式子 得到 其中 再将 c 代入 a 中的初始条件得 这样确定函数只需解下列定解问题 二 关于T t 的方程的通解 用拉普拉斯变换法 或参数变易法 解出上式得到 二 关于T t 的方程的通解 三 有界弦 杆 受强迫力的解 将上式代入 c 得定解问题 a 的解为 问题 b 的解为 其中 三 有界弦 杆 受强迫力的解 将这2个解叠加起来 就得到原定解问题的解 四 特征函数法 以上求解非齐次方程的方法 显然也适用于求解带有其它齐次边界条件的各类非齐次方程 其主要步骤是 1 用分离变量法求得对应的齐次问题 即对应的齐次方程连同齐次边界条件 的特征函数 2 将未知函数u x t 或u x y 等 按上面求得的特征函数展开 其展开系数为另一变量的函数 代入非齐次方程和初始条件 或另一变量的边界条件 得到关于时间因子的常微分方程的初值问题 或另一单元函数的常微分方程的边值问题 用参数变易法或拉氏变换法可求得其解 3 将所求得的解代入未知函数的展开式中 即得原定解问题的解 这种分离变量的方法按其特点又叫特征函数 或固有函数 法 四 特征函数法 例题 在环形域 0 a b 内求解下列定解问题 由于求解区域是环形区域 所以我们选用平面极坐标系 利用直角坐标与极坐标系之间的关系 因此利用常数变易法令上述问题为 例题 由于齐次之解为 例题 比较两端关于 的系数可得 e f 例题 再由条件 方程 e f 都是齐次的欧拉方程 它们的通解分别为 得 例题 由条件 例题 方程 e 是一个非齐次的欧拉方程 利用待定系数法可求得它的一个特解 可得 例题 它的通解为 由条件 得 例题 因此 原定解问题的解为 例题 求解下列定解问题 例2 注 若f x t 仅含x 例如f x 还有更简便方法 设方程的解为 则 因此只要 即 这样就转化为齐次边界问题 重解例2 例题 求解下列定解问题 例2 解 END 其中 2 5 非齐次边界条件的处理 chapter2 一 边界条件的齐次化 二 辅助函数w x t 的选取 三 各类非齐次边界条件的处理 定解问题 前面所讨论的问题 都是基于边界条件是齐次的 但如果遇到的实际问题是非齐次的边界条件 怎么办 方法 设法将边界条件化成齐次的 现以下列定解问题为例 说明选取代换的方法 选取代换 就是选取一个适当的未知函数代换 使对新的未知函数 边界条件都是齐次的 一 边界条件的齐次化 为此 我们引入新的未知函数V x t 和辅助函数W x t 令 则新未知函数 便满足齐次边界条件 若能找到函数W x t 使它具备下列性质 二 辅助函数w x t 的选取 令 于是由有 因而只要作代换 1 二 辅助函数w x t 的选取 就能使新的未知函数V满足齐次边界条件 经过这个代换后 得到关于V的定解问题为 其中 2 二 辅助函数w x t 的选取 问题 1 可用上一节的方法解出 将 1 的解代入 即得原问题的解 三 各类非齐次边界条件的处理 1 以上处理非齐次边界条件的方法 也适用于附有其它非齐次边界条件的各类定解问题 其基本做法是 1 作变换 令u x t V x t W x t 2 适当选取W x t 使关于V x t 的边界条件齐次化 有时甚至连方程均齐次化 通常选W x t 为x的一次式 即W x t A t x B t 但当两端边界条件都是第二类时 需选W为x的二次式 W x t A t x2 B t x否则系数无法确定 3 解关于V x t 的定解问题 从而最后求得 u x t V x t W x t 2 由上看出W x t 的选取具有一定任意性 一般而言关于V x t 的定解问题的解将随W x t 的不同而不同 从而导致得到不同形式的u x t 但由于有关u x t 的定解问题的唯一性 即使有不同形式的u x t 也必是相等的 3 通过边界条件齐次化后 一般而言即使原来的齐次方程也会变为非齐次的 但若w x t 选取得好 有时可使方程和边界条件均齐次化 三 各类非齐次边界条件的处理 4 对于稳定的 非齐次的边界问题 即边界条件及方程中非齐次项都与t无关 可以证明总可选适当的W x 也与t无关 使关于V x t 的方程和边界条件都齐次化 三 各类非齐次边界条件的处理 例题 求解下列定解问题 可通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的 的形式解 其中A B均为常数 令 例题 代入方程得 通过两次积分后得 则W x 应满足 例题 再由初始条件可知函数V x t 为下列定解问题的解 分离变量后得 例题 例题 由傅立叶级数的系数公式可得 原定解问题的解为 例题 解下列定解问题 代入原定解问题得到 首先将边界条件化成齐次的 为此令 例2 例题 则又可分为如下两个定解问题 例题 对于问题 可以直接用分离变量法求解 由条件得 例题 求得特征值与特征函数为 则方程通解为 从而问题 的解可表示为 例题 其中常数由初始条件确定为 故 的解为 例题 对于问题 可以用特征函数法求解 则有 例题 故问题 的解为 例题 将与相加起来 即得V x t 将这个V x t 代入 即得原定解问题的解 例题 在矩形区域内解下列定解问题 例3 本章小结 chapter2 一 主要内容 二 分离变量法解数理方程的要领 三 常用特征值问题 一 主要内容 二 分离变量法解数理方程的要领 1 适当选择坐标系 2 定解问题要写清 3 从齐次方程来入手 4 化边界条件为齐次形式 四项步骤循序求解 特征问题是核心 三 常用特征值问题 三 常用特征值问题 三 常用特征值问题 例题分析 1 用分离变量法写出下列定解问题 的特征值问题 并写出 1 边界条件中的 时的特征值及相应的特征函数 2 边界条件中的 时特征值及相应的特征函数 解 设 例题分析 得特征值问题 以及方程 1 当 时 特征值为 对应特征函数为 2 当 时 特征值为 对应特征函数为 例题分析 2 求下列问题的特征值与特征函数 1 解 特征根 特征函数为 2 例题分析 3 解 令 得特征值问题 a a 的特征值为 对应特征函数为 解 特征根 特征函数为 例题分析 故原问题的特征值为 对应特征函数为 4 解 令 得特征值问题 a 例题分析 故原问题的特征值为 对应特征函数为 a 的特征值为 对应特征函数为 3 已知细杆的初始温度分布为 一端保持零度 另一端绝热 求它的温度分布 令 代入方程及边界条件 分离变量后得 例题分析 解 温度分布函数u x t 应是下列定解问题的解 由式 2 3 构成的特征值问题也是我们熟知的 其相应的特征值及特征函数分别为 例题分析 将特征值代入方程 1 解之得 故定解问题的解可以写为 利用初始条件确定系数Cn 因为 例题分析 于是有 所以原定解问题的解为 END 例题分析 2 6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 chapter2 一 特征值问题的几点结论 二 球坐标与极坐标系中两个方程 自然边界条件指形如 y xo 的条件 施图姆 刘维尔 Sturm Liouville 型方程 一 特征值问题的几点结论 任一个二阶线性常微分方程乘以适当函数后总可以化成这种形式 有关这个方程特征值问题的一些结论 称为施图姆 刘维尔理论 设边界条件为 一 特征值问题的几点结论 1 存在无穷多个实的特征值 适当调换这些特征值的顺序 可使它们构成一个非递减序列 即 对于特征值问题 有以下几点结论 3 设是任意两个不同的特征值 对应于这两个特征值的特征函数记作 则 对应于这些特征值有无穷多个特征函数 一 特征值问题的几点结论 2 所有特征值均不为负 即 即对应于不同特征值的特征函数在 a b 上带权函数 x 互相正交