高三文科数学前三大题训练(有详解)

1 高三文科数学前三题训练高三文科数学前三题训练 1 在平面直角坐标系xOy 中 以Ox为始边 角 的终边与单位圆O的交点B在第一象限 已 知 1 3 A 1 若OAOB 求tan 的值 2 若B点横坐标为 4 5 求 AOB S 2 市民李生居住在甲地 工作在乙地 他的小孩就读的小学在丙地 三地之间的道路情况如图所 示 假设工作日不走其它道路 只在图示的道路中往返 每次在路口选择道路是随机的 同一条道 路去程与回程是否堵车互不影响 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学 再返回经甲地 赶去乙地上班 1 写出李生可能走的所有路线 比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙 再走 D 路回到甲 然后走 A 路到达乙 2 假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的 道路 D 道路拥堵 其它方向均通畅 但李生不知道 相关信息 那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少 第第 2 2 题图题图 C 乙 甲 丙 A B D E 2 P A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D 第第 1818 题图题图 3 如图 在四棱柱 1111 ABCDABC D 中 已知底面ABCD是边长为2的正方形 侧棱 1 D D垂 直于底面ABCD 且 1 3D D 1 点P在侧棱 1 C C上 若1CP 求证 1 AP 平面PBD 2 求三棱锥 11 ABDC 的体积V 3 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 475 423 2 甲乙 4 已知函数 sin 0 0 f xx 的一系列对应值如下表 x 4 0 6 4 2 3 4 y 01 1 2 01 0 1 求 f x 的解析式 2 若在ABC 中 2AC 3BC 1 2 f A 求ABC 的面积 5 本题满分 12 分 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛 他们所有比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示 1 求甲 乙两名运动员得分的中位数 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定 3 如果从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得 分 求甲的得分大于乙的得分的概率 参考数据 2222222 981026109466 23611213647 2222222 4 6 1 求证 EF 平面 ABC 2 求此三棱锥 A BCD 的表面积 3 若 E F 分别是 AC AD 上的中点 求点 A 到平面 BEF 的距离 5 乙 3 62 5 x0 611 y 11 9 8 8967 乙乙 7 已知函数 2 f xxx si nsi n 1 求函数 xfy 的单调递增区间 2 若 2 43 f 求 4 2 f的值 8 本小题满分 12 分 某中学高三年级从甲 乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛 他们取得的成绩 满分 100 分 的茎叶图如图 3 其中甲班学生的平均分是 85 乙班学生成绩的中位数是 83 1 求x和y的值 2 计算甲班 7 位学生成绩的方差 2 s 3 从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生 求甲班至少有一名学生的概率 参考公式参考公式 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中 12n xxx x n 9 已知四棱锥PABCD 的正视图是一个底边长为4 腰长为3的等腰三角形 图 4 图 5 分 别是四棱锥PABCD 的侧视图和俯视图 6 乙 乙 乙 乙 D C B A P 乙 5 乙 4 2 22 2 1 求证 ADPC 2 求四棱锥PABCD 的侧面PAB的面积 高三文科数学前三题训练答案高三文科数学前三题训练答案 7 1 解法 1 由题可知 1 3 A cos sin B 1 分 1 3 OA cos sin OB 2 分 OAOB 得0OA OB 3 分 cos3sin0 1 tan 3 4 分 解法 2 由题可知 1 3 A cos sin B 1 分 3 OA k tan OB k 2 分 OAOB 1 OAOB KK 3 分 3tan1 得 1 tan 3 4 分 解法 3 设 yxB 列关于 x y 的方程组 2 分 解方程组求得 x y 的值 1 分 求正切 1 分 解法 1 由 22 1 3 10OA 记AOx 2 33 10 sin 1010 110 cos 1010 每式 1 分 6 分 1OB 4 cos 5 得 2 3 sin1 cos 5 列式计算各 1 分 8 分 3 1041033 10 sinsin 10510510 AOB 列式计算各 1 分 10 分 113 10 sin10 1 2210 AOB SAO BOAOB 3 2 列式计算各 1 分 12 分 解法 2 由题意得 AO的直线方程为30 xy 6 分 则 2 3 sin1 cos 5 即 4 3 5 5 B 列式计算各 1 分 8 分 则点B到直线AO的距离为 433 3555 10 1010 d 列式计算各 1 分 10 分 又 22 1 3 10OA 113 103 10 22102 AOB SAOd 每式 1 分 12 分 解法 3 2 3 sin1 cos 5 即 4 3 5 5 B 每式 1 分 6 分 即 1 3 OA 4 3 5 5 OB 7 分 22 1 3 10OA 1OB 43 13 10 55 cos 1010 1 OA OB AOB OA OB 9 分 模长 角的余弦各 1 分 8 2 3 10 sin1 cos 10 AOBAOB 10 分 则 113 103 sin10 1 22102 AOB SAO BOAOB 列式计算各 1 分 12 分 解法 4 根据坐标的几何意义求面积 求 B 点的坐标 2 分 求三角形边长 2 分 求某个 内角的余弦与正弦各 1 分 面积表达式 1 分 结果 1 分 2 李生可能走的所有路线分别是 DDA DDB DDC DEA DEB DEC EEA EEB EEC EDA EDB EDC 1 2 个 1 分 3 5 个 2 分 5 7 个 3 分 7 11 个 4 分 5 分 共 12 种情况 6 分 从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有 DEA DEC EEA EEC 7 分 共 4 种情况 8 分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 41 123 P 文字说明 1 分 12 分 3 解法 1 依题意 1CP 1 2C P 在Rt BCP 中 22 112PB 1 分 同理可知 22 1 222 2AP 22 1 3110AB 每式 1 分 3 分 所以 222 11 APPBAB 4 分 则 1 APPB 5 分 同理可证 1 APPD 6 分 由于PBPDP PB 平面PBD PD 平面PBD 7 分 所以 1 AP 平面PBD 8 分 解法 2 由 1 APPB 或 1 APPD 和BDPA 1 证明 1 AP 平面PBD 证明任何一个线线垂直关 系给 5 分 第二个线线垂直关系给 1 分 解法 1 如图 1 易知三棱锥 11 ABDC 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体 积 即 111 1 111 4 ABDCABCD A B C DAABD VVV 文字说明 1 分 11 分 11 11 4 32 AB ADA AAB ADA A AAAA 13 分 1 2232 3 14 分 A B CD 1 A 1 B 1 C 1 D 第 18 题图 1 B D 1 A M 1 C 第 18 题图 2 N 9 解法 2 依题意知 三棱锥 11 ABDC 的各棱长分别是 11 2ACBD 1111 11ABADC BC D 每式 1 分 10 分 如图 2 设BD的中点为M 连接 11 AMC M 则 1 AMBD 1 C MBD 且 11 10AMC M 于是BD 平面 11 AC M 12 分 设 11 AC 的中点为N 连接MN 则 11 MNAC 且 22 11 10 13MNAMAN 则三角形 11 AC M 的面积为 1 1 11 11 2 33 22 AC M SAC MN A 13 分 所以 三棱锥 11 ABDC 的体积 1 1 11 3 22 33 AC M VSBD AA 14 分 4 本题满分 12 分 已知函数 sin 0 0 f xx 的一系列对应值如下表 x 4 0 6 4 2 3 4 y 01 1 2 01 0 1 求 f x的解析式 2 若在ABC 中 2AC 3BC 1 2 f A 求ABC 的面积 解 1 由题中表格给出的信息可知 函数 f x的周期为 3 44 T 所以 2 2 2 分 注意到sin 2 0 4 也即2 2 kkZ 由0 所以 2 4 分 所以函数的解析式为 sin 2 2 f xx 或者 cos2f xx 5 分 2 1 cos2 2 f AA 3 A 或 2 3 A 6 分 当 3 A 时 在ABC 中 由正弦定理得 sinsin BCAC AB 3 2 sin3 2 sin 33 ACA B BC 7 分 BCAC 3 BA 6 cos 3 B 8 分 36133 23 sinsin sincoscossin 23236 CABABAB 9 分 10 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 475 423 2 甲乙 113 233 23 sin2 3 2262 ABC SAC BCC 10 分 同理可求得 当 2 3 A 时 113 233 23 sin2 3 2262 ABC SAC BCC 12 分 注 本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和 方法众多 只要言之有理并能正确求出即给分 5 本题满分 12 分 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛 他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表 示 1 求甲 乙两名运动员得分的中位数 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定 3 如果从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分 求甲的 得分大于乙的得分的概率 参考数据 2222222 981026109466 23611213647 2222222 解 1 运动员甲得分的中位数是 22 运动员乙得分的中位数是 23 2 分 2 21 7 32232224151714 甲 x 3 分 12 13 11232731 30 21 7 x 乙 4 分 2222222 2 21 1421 1721 1521 2421 2221 2321 32236 77 S 甲 5 分 2222222 2 21 1221 1321 1121 2321 2721 3121 30466 77 S 乙 6 分 22 S乙 甲 S 从而甲运动员的成绩更稳定 7 分 3 从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 8 分 其中甲的得分大于乙的是 甲得14 分有3 场 甲得17 分有3 场 甲得15 分有3 场 甲得24 分有4 场 甲得 22 分有3 场 甲得23 分有3 场 甲得32 分有7 场 共计26 场 10 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 26 49 P 12 分 6 本题满分 14 分 如图 己知 BCD 中 BCD 900 BC CD 2 AB 平面 BCD ADB 450 E F 分别是 AC AD 上的动点 且 EF CD 1 求证 EF 平面 ABC 2 求此三棱锥 A BCD 的表面积 3 若 E F 分别是 AC AD 上的中点 求点 11 A 到平面 BEF 的距离 1 证明 因为 AB 平面 BCD 所以 AB CD 又在 BCD 中 BCD 900 所以 BC CD 又 AB BC B 所以 CD 平面 ABC 3 分 又因 EFCD 所以 EF 平面 ABC 4 分 2 因 CD 平面 ABC 所以 CD AC CD BC 又因 AB 平面 BCD 所以 AB BC AB BD 所以三棱锥 A BCD 的四个面都是直角三角形 因 BC CD 2 故 BD 2 2 又 ADB 450 故 BD AB 2 2 AC 22 842 3ABBC 所以 1111 2222 1111 2 222 22 22 22 3262 22 38 2222 ACD ABCBCDABD SSSSSAB BCBC CDAB BDAC CD 表 分 3 解 因 EF 平面 ABC BE 在面 BCD 内 所以 EF BE 又因 E F 分别是 AC CD 的中点 所以 1 1 2 EFCD 又 AB BC 因此 BE 是 ABC 的中线 所以 11 2 22 22 ABEABC SS 1 3 2 BEAC 所以 113 13 222 BEF SEF BE 设 A 到面 BEF 的距离为 h 因 EF 平面 ABC 根据 A BEFFABE VV 所以 11 33 BEFABE ShSEF 2 12 6 33 2 ABE BEF SEF h S 所以 A 到面 BEF 的距离为 2 6 3 14 分 7 本小题满分 本小题满分 12 分 分 本小题主要考查三角函数性质 同角三角函数的基本关系 二倍角公式等知识 考查化归与转化的数学思 想方法和运算求解能力 1 解 解 2 f xxx si nsi n xxcossi n 1 分 22 2 22 xxsi ncos 2 4 xsi n 3 分 由22 242 kxk 4 分 12 解得 3 22 44 kxkk Z 5 分 xfy 的单调递增区间是 3 22 44 kkk Z 6 分 2 解 解 由 1 可知 4 sin 2 xxf 2 2 43 f si n 得 1 3 si n 8 分 4 2 f 22 2 si n 9 分 22cos 10 分 2 2 12si n 11 分 7 2 9 12 分 8 本小题满分 本小题满分 12 分 分 本小题主要考查茎叶图 样本均值 样本方差 概率等知识 考查或然与必然的数学思想方法 以及数据 处理能力 运算求解能力和应用意识 1 解解 甲班学生的平均分是 85 92968080857978 85 7 x 1 分 5x 2 分 乙班学生成绩的中位数是 83 3y 3 分 2 解解 甲班 7 位学生成绩的方差为 2 s 222 2222 1 67500711 7 40 5 分 3 解解 甲班成绩在 90 分以上的学生有两名 分别记为 A B 6 分 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名 分别记为 C D E 7 分 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况 A BA CA D