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第13章机械波 中国国家管弦乐团在联合国总部的演出 一 波的分类 什么是波 振动在空间的传播就形成了波 机械振动在弹性介质中由近及远地传播形成机械波 产生条件 1 机械波 波源 作机械振动的物体 弹性介质 承担传播振动的物质 遵循经典的力学规律 13 1机械波的产生和传播 2 电磁波 变化的电场和变化的磁场 电磁振动 在空间的传播过程形成电磁波 如光波 无线电波 x 射线等 产生条件 宏观 凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源 例 天线中的振荡电流 微观 分子或原子从高能级向低能级的跃迁 可以在真空或介质中传播 遵循麦克斯韦电磁场理论 3 物质波 概率波 物质波是微观粒子的一种属性 与经典的波相比具有完全不同的本质 遵循量子力学理论 波的共同特点 1 2 3 二 横波和纵波 横波 介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波 如弹性绳上传播的波 纵波 介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波 如空气中传播的声波 就机械波而言 气体和液体内只能传播纵波 不能传播横波 结论 123456789101112131415161718 123456789101112131415161718 横波 纵波 1 波动中各质点并不随波前进 y x 波动曲线 2 在波的传播方向上各个质点的相位依次落后 波动是相位的传播 3 波动曲线与振动曲线不同 三 波面和波线 沿波的传播方向作的有方向的线 波线 波线 在波传播过程中 任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面 振动状态与波面 波面 波前 在某一时刻 波传播到的最前面的波面 球面波 柱面波 波面 波线 波面 波线 在各向同性均匀媒质中 波线 波面 注意 x y z 平面波 平面波 某时刻 在同一条波线上 是否有振动相位相同的点 是否有振动状态相同的点 同一波线上相位差为2 的质点之间的距离 即波源作一次完全振动 波前进的距离 四 波长周期频率和波速 波前进一个波长距离所需的时间 周期表征了波的时间周期性 单位时间内 波前进距离中完整波的数目 频率与周期的关系为 振动状态在媒质中的传播速度 波速与波长 周期和频率的关系为 波长反映了波的空间周期性 波速与波长 周期和频率的关系为 通常波的周期和频率与媒质的性质无关 与波源振动的周期和频率相同 a 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为 b 均匀细棒中 纵波的波速为 2 通常波速 亦即相速度 主要决定于媒质的性质 与波的频率无关 说明 张力 线密度 几种情况下的波速 l0 l0 l 长变 Y 杨氏模量 c 固体媒质中传播的横波速率由下式给出 F 切变 S x h G 切变弹性模量 同一种材料 G Y 固体中u横波 u纵波 d 液体和气体只能传播纵波 其波速由下式给出 容变 V0 V B 流体的容变弹性模量 e 稀薄大气中的纵波波速为 气体分子热运动平均速率 波面为平面的简谐波 13 2平面简谐波 简谐波波所到之处 介质中各质点匀作同频率的谐振动 本节主要讨论在无吸收 不吸收波的能量 各向同性 均匀无限大媒质中传播的平面简谐波 平面简谐波 平面简谐波 说明 简谐波是一种最简单 最基本的波 研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础 一 平面简谐波的波函数 平面波函数 y x x P O 简谐振动 确定P点t时刻的振动状态 O点 简谐振动 平面简谐波的波函数 时刻的状态 若 P为任意点 波函数 波函数 P点相位较O点落后 波函数的其它形式 3 若波沿轴负向传播时 同样可得到波函数 y x x P O 若 P点相位较O点超前 其它形式 如图 在下列情况下试求波函数 3 若u沿x轴负向 以上两种情况又如何 例 1 以A为原点 2 以B为原点 B A 已知A点的振动方程为 在x轴上任取一点P 该点振动方程为 波函数为 解 P 2 以B为原点 P B点振动方程为 波函数为 3 以A为原点 以B为原点 已知A点的振动 P 波函数为 波传播方向 二 波函数的物理意义 2 波形传播的时间周期性 1 振动状态的空间周期性 表明波具有空间周期性 表明波具有时间周期性 t1时刻的波形 O y x 4 t给定 y y x 表示t时刻的波形图 5 x和t都在变化 表明各质点在不同时刻的位移分布 3 x给定 y y t 是x处振动方程 t1 t时刻的波形 一平面简谐波沿x轴正方向传播 已知其波函数为 标准形式 波函数为 比较可得 例 解 波的振幅 波长 周期及波速 质点振动的最大速度 求 1 与标准形式比较 2 三 平面波的波动微分方程 由 知 2 不仅适用于机械波 也适用于电磁波 对于热传导 扩散过程也存在这样的方程 1 上式是一切平面波所满足的微分方程 且正 反传播 3 若物理量是在三维空间中以波的形式传播 波动方程为 说明 四 固体棒中纵波的波动方程 1 某截面处的应力 应变关系 o x x x x 自由状态 t时刻 x t x x t x截面 x x截面 x段的平均应变 x x t x t x x处截面t时刻 应变为 x应力为F x t S 应力 应变关系 x Y 杨氏模量 2 波动方程 将应力 应变关系代入 x 0 13 3波的能量 波动过程 质元由静止开始振动 质元也发生形变 波动过程是能量的传播过程 一 波的能量和能量密度 O x y 线元的动能为 线元的势能 平衡位置为势能零点 为 以绳索上传播的横波 简谐波 为例 设波沿x方向传播 取线元 T2 T1 y 由 得 其中 线元的机械能为 和 1 在波的传播过程中 媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的 即Wk Wp 与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的 讨论 x y O A B 机械能 2 质元机械能随时空周期性变化 表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量 因此 波动过程是能量的传播过程 能量密度 设绳子的横截面为S 体密度为 则线元单位体积 中的机械能 能量密度 为 平均能量密度 说明 1 能流 在一个周期中的平均能流为 s u t 2 能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的能流 大小 方向 波的传播方向 矢量表示式 在单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流 S 二 能流密度 波的强度一个周期内能流密度大小的平均值 三 平面波和球面波的振幅 1 平面波 不吸收能量 由 得 这表明平面波在媒质不吸收的情况下 振幅不变 2 球面波 由 令 得 球面波的振幅在媒质不吸收的情况下 随r增大而减小 若则球面简谐波的波函数为 A0为离原点 波源 r0距离处波的振幅 讨论 柱面波振幅的情况 四 波的吸收 O 吸收媒质 实验表明 为介质吸收系数 与介质的性质 温度及波的频率有关 x I x I0 I0 O I 应用 增加吸收 减少吸收 1 知某一时刻波前 可用几何方法决定下一时刻波前 说明 R1 R2 S1 S2 O 13 4惠更斯原理 惠更斯原理 1 行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源 3 各个子波所形成的包络面 就是原波面在一定时间内所传播到的新波面 2 所有子波源各自向外发出许多子波 2 亦适用于电磁波 非均匀和各向异性媒质 4 不足之处 未涉及振幅 相位等的分布规律 3 解释衍射 反射 折射现象 B C A 由几何关系知 u1 u2 u2 t d u1 t 反射 13 5波的干涉 一 叠加原理 1 波传播的独立性 2 叠加原理 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开 各波的传播情况与未相遇一样 仍保持它们各自的频率 波长 振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进 在波相遇区域内 任一质点的振动 为各波单独存在时所引起的振动的合振动 v1 v2 注意 波的叠加原理仅适用于线性波的问题 二 相干波与相干条件 一般情况下 叠加问题复杂 干涉实验与干涉现象 当两列 或多列 波叠加时 其合振动的振幅A和合强度I将在空间形成一种稳定的分布 即某些点上的振动始终加强 某些点上的振动始终减弱的现象 相干波 相干条件 频率相同 振动方向相同 相位差恒定 相干波源 满足相干条件的波 产生相干波的波源 相干叠加 三 干涉规律 根据叠加原理可知 P点处振动方程为 S1 S2 合振动的振幅 P P P点处波的强度 P 相位差 空间点振动的情况分析 当 干涉相长 当 干涉相消 讨论 干涉相长 1 若 2 若 干涉相消 干涉相长 干涉相消 从能量上看 当两相干波发生干涉时 在两波交叠的区域 合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和 而是发生重新分布 形成了时间上稳定 空间上强弱相间具有周期性的一种分布 波程差 A B为两相干波源 距离为30m 振幅相同 初相差为 u 400m s f 100Hz 例 A B连线上因干涉而静止的各点位置 求 解 B A 30m P在A左侧 P在B右侧 即在两侧干涉相长 不会出现静止点 r1 r2 P在A B中间 干涉相消 在A B之间距离A点为r1 1 3 5 29m处出现静止点 13 6驻波 一 弦线上的驻波实验 波腹 波节 两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波 驻波条件 二 驻波波函数 a b c C1 C2 D1 D2 D3 即驻波是各质点振幅按余弦分布 1 波腹 A A max 讨论 波节 A A min 相邻两波腹之间的距离 2 所有波节点将媒质划分为长 的许多段 每段中各 质点的振动振幅不同 但相位皆相同 而相邻段间各质点的振动相位相反 即驻波中不存在相位的传播 相邻两波节之间的距离 3 没有能量的定向传播 能量只是在波节和波腹之间 进行动能和势能的转化 势能 动能 势能 4 半波损失 反射点为波节 表明入射波与反射波在该点反相 3 以B为坐标原点求合成波 并分析波节 波腹的位置坐标 1 以D为原点 写出波函数 平面简谐波t时刻的波形如图 此波波速为u 沿x方向传播 振幅为A 频率为v 2 以B为反射点 且为波节 若以B为x轴坐标原点 写出入射波 反射波函数 例 解 1 2 求 B D x y 3 波腹 波节 已知某一弦线的驻波方程为 例 求 两波节间驻波的能量 设弦线线密度为 解 取平衡位置对应的时刻 此时刻dm的动能为 13 7多普勒效应 由于观察者 接收器 或波源 或二者同时相对媒质运动 而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象 称为多普勒效应 一 波源静止 观察者运动 远离 靠近 观察者 二 观察者静止 波源运动 S运动的前方波长变短 三 波源和观察者同时运动 远离 靠近 符号正负的选择与上述相同 u 观察者 若波源和观测者的运动方向不在二者连线上 有纵向多普勒效应 无横向多普勒效应 光波的多普勒效应 v O相对速度的绝对值 纵向效应 横向效应 多普勒效应 观察者 观察者 讨论 时 多普勒效应失去意义 此时形成冲击波 马赫角 声障 多普勒效应的应用 监测车辆行驶速度 测量血液流速 一警笛发射频率为1500Hz的声波 并以22m s的速度向某一方向运动 一人以6m s的速度跟踪其后 观察者接收到的频率 波源和观察者同时运动 警笛后方空气中声波的频率 观察者静止 波源运动 警笛后方空气中声波的波长 例 解 该人听到的警笛发出的声音的频率以及在警笛后方空气中声波的波长 求 一频率为1kHz的声源 以vs 34m s的速率向右运动 在声源的右方有一反射面 以v1 68m s的速率向左运动 设声波的速度为u 340m s 例 1 声源所发出的声波在空气中的波长 求 2 每秒内到达反射面的波数 3 反射波在空气中的波长 1 在声源的右侧 相对空气静止的观察者接收到的频率 解 所以 在声源的左侧声波在空气中的波长 2 反射面作为接收者测到的频率 3 反射波