量子力学中的对称性.PPT

第4章量子力学中的对称性 本章是关于对称性 兼并和守恒律的一般性理论讨论 4 1对称性 守恒律和简并一 经典物理中的对称性对拉格朗日函数 若 即广义动量为运动常数 类似地 若用哈密顿函数的正则方程来讨论 二 量子力学中的对称性 量子力学中的操作如平移 转动等是与一个幺正算符T相联系的 习惯上T常被称作对称算符 若T作用下系统不变 则称系统具有与T相关的对称性 对无穷小变化的操作 T可写为 其中G是该对称操作的厄米生成元 若H在T作用下不变 则根据海森堡运动方程 有 即G是运动常量 如动量是平移的生成元 若H在平移操作下不变 则动量是运动常量 守恒 类似的 若H在转动下不变 则转动的生成元角动量守恒 从态矢变化的角度看 若G与H对易 则保持是G的本征态 且G的本征值不变 即使初始态矢不是G的本征态 G的期望值也是不变的 守恒 三 简并 若 H T 0 T为某对称算符 n 为本征值为En的能量本征态 则T n 也是相同能量的能量本征态 如果T n 与 n 是不同的态 则称它们是能量简并态 体系有简并 有时T由连续参量 表征T T 此时所有的T n 态都简并 但简并度只是独立的T n 态数 如对转动 可构造H J2 Jz的共同本征态 n j m 由上所知 所有D R n j m 态能量简并 由于 改变表征D R 的连续参量 可得不同 njm 的组合 故不同m的 njm 是简并的 简并度为2j 1 从 H J 0和J 作用于 njm 也可知其有2j 1简并度作为应用 考虑原子中电子的状态 其所受势为 由于该势在转动下不变 故原子能级有2j 1重简并 若外加Z方向的电磁场 则电子所受的势不再在转动下不变 简并被 部分 消除 4 2分离对称性 宇称或空间反演 上面讨论的是连续性对称操作 即对称操作可由相继无穷小对称算符所得 量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式 可有分立而非连续的对称操作 如宇称 晶格平移和时间反演 宇称或空间反演操作将r变为 r 而右手坐标系变为左手坐标系 量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换 对称操作的两种等价方式 主动与被动 一 宇称算符的基本性质 对 用幺正算符 表示宇称算符 要求位置算符的期望值变号 即则有位置本征态 x 在宇称作用下变为本征值为 x 的态 故由于用 作用两次体系必恢复原状 故 2 1 1 是厄米的 对 的本征态 因 2 知 1 二 算符在宇称操作下的变换 由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移 有或 p 0 该关系与p dx dt的预期相同 对轨道角动量L xxp 可预期 L 0 对一般角动量 考虑到R 宇称 I 宇称和转动操作对易 故量子力学中的相应幺正算符也对易 D R D R J 0 三 矢量和赝矢量 在转动下x和J以相同方式变换 两者都是矢量 或一阶球张量 但x和p与 反对易 而J与对易 与宇称反对易的矢量称为极性矢量 而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量 类似的有标量算符 与宇称算符对易 和赝标量算符 与宇称算符反对易 L S x p是标量 L S L S赝标量的例子包括S x L x等 四 波函数在宇称操作下的变换 若 为宇称本征态 则 故有 对应偶宇称 对应奇宇称 当然 只有与 对易的算符之本征态才可能有确定的宇称 如动量算符不与 对易 其本征态即平面波并非 的本征态 而轨道角动量的本征态则可为 的本征态 五 能量本征态与宇称 若 H 0 而 n 是H的本征值为En的非简并本征态 则 n 是宇称本征态 证 H n En n 由非简并性得 n ei n 作为应用 考虑简谐振子本征态 由于基态为高斯函数 0 0 而 1 a 0 1 类似可推得 n n n 注意 非简并性对得出 n 是 的本征态是非常重要的 若有简并 如氢原子体系 Cp 2p Cs 2s 是H本征态 但并非 的本征态 又如动量本征态也是自由粒子H本征态 但 p 和 p 简并 p 并非 的本征态 当然 我们可以通过组合H的简并本征态而得到 的本征态 如 p p 便是 和H的共同本征态 1 n 和 1 n 总是宇称本征态 六 对称双势阱 H与 对易 EA H A ES H S EA ES随势垒增高而减少 取 R S A L S A 在 作用下 R 和 L 对调 R 和 L 不是 或H的本征态 但有相同能量期望值 R 和 L 是非定态 若t0 0处于 R 则t时状态为该态在 R 和 L 间震荡 震荡角频率为该震荡可看成量子力学的隧道贯穿 粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间 如势垒无穷高 则EA ES 从而 0 不再震荡 注 对无穷高势垒 R 和 L 均是H的本征态 但非 的本征态 即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上 这是简并与对称破缺的一个简单例子 该现象在自然界相当普遍 铁磁 糖与氨基酸的手性等 七 宇称选择定则 若即奇宇称的x将相反宇称的态相联系 该讨论可推广到其他算符 如算符为奇宇称 则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元 偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零 如果 H 0 能量非简并态必无偶极矩 0当然 对简并态 则不一定为零 宇称不守恒 若H与 对易 则宇称守恒 否则宇称不守恒 基本粒子间的弱作用H与宇称不对易 故过程宇称不守恒 李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖 4 3分立对称性 晶格平移 晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用 对一维周期势 a V x a V x a V x a为晶格常数 H a 0 a 和H可同时对角化 在H和 a 的共同本征矢中 由于 幺正而非厄米 的期待值为复数且模为1 为求出 a 的本征态 先考虑无限高势垒的情形 此时电子只能局域于某格点附近 设相应能量本征态为 n H n En n n表示格点位置 不同 n 简并 虽然 n 是H的本征态 且H与 a 对易 n 不是 a 的本征态 将不同 n 线性叠加 可得到 a 的本征态 有限高势垒时 n 并不完全局域于格点n 而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减 以 n 为基构造 仍为本征值为e i 的本征态由于设 有取k a 则可见晶格平移算符的本征态 之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘 且 k空间范围称为 第一 BrillouinZ