初三数学知识点疏理(超好)[1]

1 重要知识点概要重要知识点概要 二次根式二次根式 1 二次根式 一般地 式子叫做二次根式 0a a 注意 1 若这个条件不成立 则 不是二次根式 0a a 2 是一个重要的非负数 即 0 aa 2 重要公式 1 2 0a a a 2 0a a 0a a aa 2 3 积的算术平方根 0b 0a baab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 4 二次根式的乘法法则 0b 0a abba 5 二次根式比较大小的方法 1 利用近似值比大小 2 把二次根式的系数移入二次根号内 然后比大小 3 分别平方 然后比大小 6 商的算术平方根 0b 0a b a b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 7 二次根式的除法法则 1 2 0b 0a b a b a 0b 0a baba 3 分母有理化的方法是 分式的分子与分母同乘分母的有理化因式 使分母变为整式 8 最简二次根式 1 满足下列两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 被开方数的因数是整数 因式是整式 被开方数中不 含能开的尽的因数或因式 2 最简二次根式中 被开方数不能含有小数 分数 字母因式次数低于 2 且不含分母 3 化简二次根式时 往往需要把被开方数先分解因数或分解因式 4 二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式 10 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后 如果被开方数相同 这几个二次根式叫做同类二次根式 12 二次根式的混合运算 1 二次根式的混合运算包括加 减 乘 除 乘方 开方六种代数运算 以前学过的 在有理数范围内的一切公式 和运算律在二次根式的混合运算中都适用 2 二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简 例如 化为同类二次根式才能合并 除法运算有时转化为分 母有理化或约分更为简便 使用乘法公式等 一元二次方程一元二次方程 1 一元二次方程的一般形式 a 0 时 ax2 bx c 0 叫一元二次方程的一般形式 研究一元二次方程的有关问题时 多 数习题要先化为一般形式 目的是确定一般形式中的 a b c 其中 a b c 可能是具体数 也可能是含待定 字母或特定式子的代数式 2 一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法要求灵活运用 其中直接开平方法虽然简单 但是适用范围较小 2 3 一元二次方程根的判别式 当 ax2 bx c 0 a 0 时 b2 4ac 叫一元二次方程根的判别式 请注意以下等价命题 0 有两个不等的实根 0 有两个相等的实根 0 无实根 4 平均增长率问题 应用题的类型题之一 设增长率为 x 1 第一年为 a 第二年为 a 1 x 第三年为 a 1 x 2 2 常利用以下相等关系列方程 第三年 第三年 或 第一年 第二年 第三年 总和 旋转旋转 1 概念 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点 O 叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 旋转三要素 旋转中心 旋转方面 旋转角 2 旋转的性质 1 旋转前后的两个图形是全等形 2 两个对应点到旋转中心的距离相等 3 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3 中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 对称 这个点叫做对称中心 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 4 中心对称的性质 1 关于中心对称的两个图形 对称点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心所平分 2 关于中心对称的两个图形是全等图形 5 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 6 坐标系中的中心对称 圆圆 1 要求深刻理解 熟练运用 1 垂径定理及推论 如图 有五个元素 知二可推三 需记忆其中四个定理 即 垂径定理 中径定理 弧径定理 中垂定理 几何表达式举例 CD 过圆心 CD AB AB C D E O ACBC ADBD AE BE 两个点关于原点对称时 它们的坐标符号相反 即点 P x y 关于原点 O 的对称点 P x y 3 3 角 弦 弧 距 定理 同圆或等圆中 等角对等弦 等弦对等角 等角对等弧 等弧对等角 等弧对等弦 等弦对等 优 劣 弧 等弦对等弦心距 等弦心距对等弦 几何表达式举例 1 AOB COD AB CD 2 AB CD AOB COD 3 4 圆周角定理及推论 1 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如图 3 等弧对等角 等角对等弧 4 直径对直角 直角对直径 如图 5 如三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 如图 1 2 3 4 几何表达式举例 1 ACB AOB 2 1 2 AB 是直径 ACB 90 3 ACB 90 AB 是直径 4 CD AD BD ABC 是 Rt 5 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外 角都等于它的内对角 几何表达式举例 ABCD 是圆内接四边形 CDE ABC C A 180 6 切线的判定与性质定理 如图 有三个元素 知二可推一 需记忆其中四个定理 1 经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 2 圆的切线垂直于经过切点的半径 几何表达式举例 1 OC 是半径 OC AB AB 是切线 2 OC 是半径 AB 是切线 OC AB 9 相交弦定理及其推论 1 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的乘积相等 2 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两 条线段长的比例中项 1 2 几何表达式举例 1 PA PB PC PD 2 AB 是直径 PC AB PC2 PA PB 11 关于两圆的性质定理 1 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 2 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 几何表达式举例 1 O1 O2是圆心 O1O2垂直平分 AB 2 1 2相切 O1 A O2三点一线 A B C D E F O AB C O A B O1O2 A O1O2 A B C D P AB C PO A B C DE A B C O A B C D A B C O 4 二 定理 1 不在一直线上的三个点确定一个圆 2 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 3 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 四 常识 1 圆是轴对称和中心对称图形 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心 4 直线与圆的位置关系 其中 d 表示圆心到直线的距离 其中 r 表示圆的半径 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 d r 5 圆与圆的位置关系 其中 d 表示圆心到圆心的距离 其中 R r 表示两个圆的半径且 R r 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r 两圆内切 d R r 两圆内含 d R r 6 证直线与圆相切 常利用 已知交点连半径证垂直 和 不知交点作垂直证半径 的方法加辅助线 二 函数的基本知识 二 函数的基本知识 基本概念基本概念 1 1 变量 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常量 常量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 2 2 函数 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定的值 与其对应 那么我们就把 x 称为自变量 把 y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断 A 是否为 B 的函数 只要看 B 取值确定的时候 A 是否有唯一确定的值与之对应 3 3 定义域 定义域 一般的 一个函数的自变量允许取值的范围 叫做这个函数的定义域 4 4 确定函数定义域的方法 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 5 5 函数的图像 函数的图像 一般来说 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些 点组成的图形 就是这个函数的图象 6 6 函数解析式 函数解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式 7 7 描点法画函数图形的一般步骤 描点法画函数图形的一般步骤 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 5 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的各点 第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 8 8 函数的表示方法 函数的表示方法 列表法 一目了然 使用起来方便 但列出的对应值是有限的 不易看出自变量与函数之间的对应规律 解析式法 简单明了 能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系 但有些实际问题中的函数 关系 不能用解析式表示 图象法 形象直观 但只能近似地表达两个变量之间的函数关系 三 正比例函数和一次函数 三 正比例函数和一次函数 1 1 正比例函数及性质 正比例函数及性质 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 注 正比例函数一般形式 y kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k 0 时 直线 y kx 经过三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 直线从左向右是向上的 k0 直线与 y 轴的正半轴相交 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0 时 向上平 移 当 b0 时 图象分别位于第一 三象限 同一个象限内 y 随 x 的增大而减小 当 k0 时 函数在 x0 上同为减函数 k 0 时 函数在 x0 上同为增函数 定义域为