高斯概率在通信系统信道分析中的应用

概率论在通信系统中的应用 摘要 在通信系统的设计中 应用高斯概率分布 可以很好模拟量化信号在信道 传播中收到的噪声干扰 便于分析信源的消息在有噪声和干扰存在的信道中传 输特性 关键词 高斯概率分布 信道模型 噪声 随着移动通信的快速大规模发展 通信领域所受到的门限也越来越高 所 以目前 如何通过多学科间融合发展 来促进通信这一现代事业向前推进 成 为了亟待解决的重中之重 而概率论与随机过程这门数学类基础课程 更是与 通信密切相关的学科之一 通信领域的信号处理在随机过程方面有极大的依赖性 由于频带带宽限制 如何通过概率论中的方法合理分配频段也是今后将要考虑的重点 不难发现 概率论这门课程在通信领域有的极大的影响力与很强的重要性 因此也有人这 样总结 概率论功底达不到本科的通信就没法学 随机过程的功底达不到那通 信方面的科研工作也没法做 概率论在通信中主要应用在信号学 即研究系统在干扰输入信号系统的时 候系统稳定性抵抗以及利用干扰进行信号传播 实际系统的干扰信号很多时候 都可以研究出来其分布 系统在这些干扰的作用下如何保证稳定性 控制超调 量 通过编码的改进控制错误的扩散性等问题是很关键性的问题 另外有些通 信方式要借助一些特定的人为干扰 例如高斯白噪声 热噪声 通信按照传统的理解就是信息的传输 在当今高度信息化的社会 信息和 通信已成为现代社会的 命脉 信息一种资源 只有通过广泛地传播与交流 才能产生利用价值 促进社会成员之间的合作 推动社会生产力的发展 创造 出巨大的经济效益 在通信系统的分析中 随机过程是非常重要的数学工具 因为通信系统中的信号与噪声都具有一定的随机性 需要用随机过程来描述 在自然界中 有一种现象 在发生之前只能知道该现象的各种可能性的发生结 果 但是却无法确认具体将发生哪一个结果 这就是随机现象 例如 有 n 台 性能完全相同的通信机 其工作条件也相同 用 n 部记录仪 记录各部通信机 的输出噪声波形 测试的结果表明 在其中并不能找到两个完全相同的波形 研究可以发现 通信机输出的噪声电压随时间的变化时不可预知的 这是一个 随机过程 而发送信号必须有一定的不可预知性 或者说随机性 否则就失去 了传输的价值 另外 介入系统中的干扰与噪声 信道特性的起伏 也是随机 变化的 热噪声就是这样的一个例子 热噪声是由电阻性元器件中的电子因热运动 而产生的 另一个例子是在进行移动通信时 电磁波的传播路径不断变化 接 收信号也是随机变化的 因此 通信中的信源 噪声以及信号传输特性都可使 用随机过程来描述 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 它不能用确切的时间函数描述 随机过程可以从两个不同的角度来说明 一个角度是把随机过程看成对应不同 随机试验结果的时间过程的集合 比如在刚刚结束的模拟电子电路实验中 利 用扩音器原理实现信号放大 而如果不 加入外加信号 并且将示波器的分度调到最小 可以看到 示波器上显示 的波形是一个随时间不规则变化的信号波形 由所学的原理可知 在不考虑实 验器材精密程度的前提下 这个不规则的信号很有可能就是由于系统内电阻的 热噪产生的 另外一个角度来看 随机过程是随机变量概念的延伸 换句话说 随机过程在任意时刻的值是一个随机变量 因此 我们又可以把随机过程看作 是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 这个角度更适合对随机过程 理论进行精确的数学描述 也能更好地应用于通信系统 下面 让我们主要根据随高斯机过程来看一看这一学科在通信领域的应用 目前 高斯随机过程被广泛的应用于构建通信仿真系统中信号 噪声和干 扰的模型 在很多物理问题中的随机现象都可以用高斯随机过程进行满意的近 似 如利用中心极限定理 散弹噪声过程就是用高斯过程近似的 高斯过程最 重要的用途就是模拟和分析通信系统中热噪声的影响 当热噪声强度足够大时 就可以掩盖弱信号 并使系统对这些弱信号的识别变得极其困难 正态随机过程 也称高斯随机过程 是通信领域中最重要也是最常见的一 种过程 在实践中观察到的大多数噪声都是高斯型的 例如 通信系统中的主 要噪声 即热噪声 就是一种高斯随机过程 如果过程 t 的任意 n 维 n 1 2 3 分布均服从正态分布 刚称它为正态 过程或高斯过程 其 n 维正态概率刻度函数表示如下 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 公式 1 式中 为归一化协方差矩阵的行列 2 2 式 即 公式 2 1 12 1 211 2 1 2 1 为行列式中的元素的代数余因子 归一化的协方差函数 即 公式 3 通常情况下 通信信道中的噪声均值 a 0 因此 在噪声均值为零时 噪 声的平均功率等于噪声的方差 即有 Pn R 0 D n t 2 这个结论是非常有用 的 在通信系统的性能分析中 常常会通过求自相关函数或方差的方法来计算 噪声的功率 重要性质 1 由式可以看出 高斯过程的 n 维分布只依赖各个随机变量的均值 方 差和归一化协方差 因此 对于高斯过程 只需要研究它的数字特征就可以了 2 广义平稳的高斯过程也是严平稳的 因为 若高斯过程是广义平稳的 即其均值与时间无关 协方差函数只与时间间隔有关 而与时间起点无关 则 它的 n 维分布也与时间起点无关 帮它也是严平稳的 所以 高斯过程若是广 义平稳的 则也严平稳 3 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 即对所有 j k 有 bjk 0 这时式 1 简化为 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 公式 4 这表明 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 那么它们也是统计 独立的 4 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 也可以说 若线 性系统的输入为高斯过程 则系统输出也是高斯过程 以上几个性质在对高斯过程进行数学处理与计算时下分有用 比如 在分 析一个过程通过线性系统的情况时 若是非高斯过程 输入过程的统计特性并 不能简单地推出输出过程的统计特性 而对于高斯过程 根据输入过程的统计 特性并不能简单地推出输出过程的统计特性 而对于高斯过程 根据性质 4 可知线性时不变系统的输出过程也是高斯过程 又由性质 1 可知 高斯过程 的完全统计描述只需要它的数字特征 即均值与相关函数 所以 剩下的工作就 是简单地求出输出过程的均值和相关函数 如果高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量 也称高斯 随机变量 其一维概率密度函数为 1 2 2 2 2 其中 a 和 2都分别为高斯随机变量的均值和方差 在通信系统的性能分 析中 常需要计算高斯随机变量 小于或等于某一取值 x 的概率 P x 它等 于概率密度 f x 的积分 我们把正态分布的概率密度 f x 的积分定义为正态分布 函数 它可表示为 1 2 2 2 2 这个积分无法用闭合形式计算 我们一般把这个积分式与可以在数学手册 上查出函数值的一些特殊函数联系起来计算其值 例如 对上式进行变量代换 令新积分变量 则有 2 1 2 2 1 2 1 2 2 式中 erf x 表示误差函数 其定义为 2 2 它是的自变量递增函数且有 erf 0 0 erf 1 erf x erf x x 也可以用互补误差函数 erfc x 表示 即 1 2 式中 1 2 2 它是自变量递减函数 且有 erfc 0 1 erfc 0 erfc x 2 erfc x 对于 x2 互补误差函数可以近似为 1 2 另一种经常用于表示高斯曲线尾部下的面积的函数记为 Q x 其定义为 1 2 2 0 借助互补误差合一计算概率 用以上狮子我们可以得到 1 2 2 2 2 利用互补误差函数的性质 不难得到 Q x 函数的性质 Q x 1 Q x Q 0 1 2 及 Q 0 在今后分析通信系统的搞噪声性能时 经常会用到以上几个特性简明的函 数 并且可以通过查 Q x 函数表或 erf x 函数表求出函数值 在没有函数 表的情况下 还可以利用误差函数的近似公式求出函数值 以上就是高斯随机过程的一些主要理论解释及简要概述其在哪方面应用于 通信领域 由于笔者能力有限 部分专业知识和概率更深层次的理解还不能达 到一定的要求 所以只分析高斯随机过程这一概率的基础重要知识点的通信相 关 对于其它两门学科间的联系与交叉 会在今后的学习中慢慢理解与体会 总而言之 要建构通信系统随机过程的模型以及实现对通信系统性能的评 估 对于随机过程和随