第三强度理论

52 第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论 教学学时4 学时 基本内容应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析 解析法 二向应力状态分析 图解法 三向应力状态 广义胡克定律 强度理论概述 四种常用强度理论 教学目标1 掌握平面应力状态分析的解析法和图解法 2 会计算三向应力状态下的 最大应力 3 理解广义胡克定律的本质 4 掌握四种常用强度理论 重点 难 点 重点 1 平面应力状态分析的解析法和图解法 2 四种常用强度理论 难点 1 平面应力状态分析的解析法和图解法 教学手段课堂讲授 实例说明 7 1 应力状态概述应力状态概述 过构件上一点有无数的截面 这一点的各个截面上应力情况的集合 称为这点的应力 状态 7 2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例 7 3 二向应力状态分析二向应力状态分析 解析法解析法 1 任意斜截面上的应力 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置 截面的法线 n 在外法线和切线 上列平衡方程 nt cos cos sin cos dAdAdA xxya 0sin sin cos sin dAdA yyx sin cos cos cos dAdAdA xxya 0sin sin cos sin dAdA yxy 根据剪应力互等定理 并考虑到下列三角关系 yxxy 2 2sin1 sin 2 2cos1 cos 22 2sincossin2 简化两个平衡方程 得 2sin2cos 22 xy yxyx xy yx y x n t x y xy x y n 53 2cos2sin 2 xy yx 2 极值应力 极值应力 将正应力公式对取导数 得 2cos2sin 2 2 xy yx d d 若时 能使导数 则 0 0 d d 02cos2sin 2 00 xy yx yx xy tg 2 2 0 上式有两个解 即和 在它们所确定的两个互相垂直的平面上 正应力取 0 90 0 得极值 且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面 另一个是最小正应力所 在的平面 求得最大或最小正应力为 22 min max 2 2 xy yxyx 代入剪力公式 为零 这就是说 正应力为最大或最小所在的平面 就是主平 0 0 面 所以 主应力就是最大或最小的正应力 将切应力公式对求导 令 02sin22cos xyyx d d 若时 能使导数 则在所确定的截面上 剪应力取得极值 通过 1 0 d d 1 求导可得 02sin22cos 11 xyyx xy yx tg 2 2 1 求得剪应力的最大值和最小值是 22 min max 2 xy yx 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似 剪应力的极值与所在两个平面 54 方位的对应关系是 若 则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面 0 xy 1 3 主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 与之间的关系为 1 1 0 2 1 2 tg tg 4 2 22 0101 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为 45 7 4 二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法 1 应力圆方程 应力圆方程 将公式 中的削掉 得 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 22 xy yxyx 由上式确定的以和为变量的圆 这个圆称作应力圆 圆心的横坐标为 纵坐标为零 圆的半径为 yx 2 1 2 2 2 xy yx 2 应力圆的画法 应力圆的画法 建立应力坐标系 注意选好比例尺 在坐标系内画出点和 xyx D yxy D 与轴的交点 C 便是圆心 DD 以 C 为圆心 以 AD 为半径画圆 应力圆 3 单元体与应力圆的对应关系 单元体与应力圆的对应关系 1 圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2 圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3 对应夹角转向相同 4 4 在应力圆上标出极值应力 在应力圆上标出极值应力 2 2 min max 22 xy yxyx 2 2 minmax min max 22 xy yx R 1 2 OC 55 作业 作业 P2537 1 7 4 7 5 7 7 小小 结结 1 应力状态概述 2 二向和三向应力状态的实例 3 二向应力状态分析 解析法 1 任意斜截面上的应力 2sin2cos 22 xy yxyx 2cos2sin 2 xy yx 2 极值应力 正应力 yx xy tg 2 2 0 22 min max 2 2 xy yxyx 切应力 xy yx tg 2 2 1 22 min max 2 xy yx 3 主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 与之间的关系为 即 最大和最小剪应力所在 1 4 2 22 0101 的平面与主平面的夹角为 45 4 二向应力状态分析 图解法 1 应力圆方程 2 应力圆画法 3 单元体也应力圆的对应关系 4 在应力圆上标出极值应力 56 7 5 三向应力状态三向应力状态 1 三个主应力 三个主应力 321 2 三向应力圆的画法三向应力圆的画法 由作应力圆 决定了平行于平面上的应力 21 3 由作应力圆 决定了平行于平面上的应力 13 2 由作应力圆 决定了平行于平面上的应力 32 1 3 单元体正应力的极值为 单元体正应力的极值为 1max 3min 最大的剪应力极值为 2 31 max 7 8 广义虎克定律广义虎克定律 1 单拉下的应力 单拉下的应力 应变关系应变关系 E E 2 复杂状态下的应力 复杂状态下的应力 应变关系应变关系 三向应力状态等三个主应力 可看作是三组单向应力的组合 对于应变 可求出单向 应力引起的应变 然后叠加可得 321 321 1 1 EEEE 1 1 1 2133 1322 3211 E E E 3 体积胡克定律 体积胡克定律 单元体变形后的体积为 dzdydxV 单元体变形后的体积为 dzdzdydydxdxV 3211 x 1 2 3 xy x y z x y z 57 体积改变为 KEE V VV m 3 21321 1111 321 321 321321 1 其中为体积模量 是三个主应力的平均值 E K 213 3 321 m 为体积胡克定律 K m 7 10 强度理论概述强度理论概述 强度理论是推测强度失效原因的一些假说 认为材料之所以按某种方式失效 是应力 应变或应变能密度等因素中某一因素引起的 7 11 四种常用强度理论四种常用强度理论 1 最大拉应力理论 第一强度理论 最大拉应力理论 第一强度理论 1 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 最大伸长线应变理论 第二强度理论 321 3 最大切应力理论 第三强度理论 最大切应力理论 第三强度理论 31 4 畸变能密度理论 第四强度理论 畸变能密度理论 第四强度理论 2 13 2 32 2 21 2 1 作业 作业 P2557 10 7 14 7 28 7 37 小小 结结 1 三向应力状态 1 三个主应力 321 2 三向应力圆的画法 由作应力圆 决定了平行于平面上的应力 由作应力圆 决定了平行 21 3 13 58 于平面上的应力 由作应力圆 决定了平行于平面上的应力 2 32 1 3 单元体正应力的极值为 剪应力极值为 1max 3min 2 31 max 2 广义虎克定律 1 单拉下的应力 应变关系 E E 2 复杂状态下的应力 应变关系 1 1 1 2133 1322 3211 E E E 3 体积胡克定律 单元体变形后的体积为 K m 3 强度理论概述