导数大题练习带答案

1 已知 f x xlnx ax g x x2 2 对一切 x 0 f x g x 恒成立 求实数 a 的取值范围 当 a 1 时 求函数 f x 在 m m 3 m 0 上的最值 证明 对一切 x 0 都有 lnx 1 exex 21 成立 2 已知函数 2 ln2 0 f xaxa x 若曲线 y f x 在点 P 1 f 1 处的切 线与直线 y x 2 垂直 求函数 y f x 的单调区间 若对于 0 x 都有 f x 2 a 1 成立 试求 a 的取值范围 记 g x f x x b b R 当 a 1 时 函数 g x 在区间 e 1 e 上有两个零点 求实数 b 的取值范围 3 设函数 f x lnx x a 2 a R 若 a 0 求函数 f x 在 1 e 上的最小值 若函数 f x 在 1 2 2 上存在单调递增区间 试求实数 a 的取值范围 求函数 f x 的极值点 4 已知函数 2 1 21 2ln 2 f xaxaxxa R 若曲线 yf x 在1x 和3x 处的切线互相平行 求a的值 求 f x的 单调区间 设 2 2g xxx 若对任意 1 0 2 x 均存在 2 0 2 x 使得 12 f xg x 求a的取值范围 5 已知函数 0 2ln 2 axa x xf 若曲线 y f x 在点 P 1 f 1 处的切线与直线 y x 2 垂直 求函数 y f x 的 单调区间 若对于任意 1 2 0 axfx有有成立 试求 a 的取值范围 记 g x f x x b b R 当 a 1 时 函数 g x 在区间 e e 1 上有两个零点 求实数 b 的取值范围 6 已知函数 1ln x f x x 1 若函数在区间 1 2 a a 其中0a 上存在极值 求实数 a 的取值范围 2 如果当1x 时 不等式 1 k f x x 恒成立 求实数 k 的取值范围 1 解 对一切 0 xgxfx 恒成立 即2ln 2 xaxxx恒成立 也就是 xxaln x 2 在 0 x恒成立 1 分 令 x xxxF 2 ln 则 F 22 2 2 1 2 22 1 1 x xx x xx xx x 2 分 在 10 上 F 0 x 在 1 有上 F 0 x 因此 xF在1 x处取极小值 也是最小值 即3 1 min FxF 所以3 a 4 分 当时 1 axxxxf ln f 2ln xx 由 f 0 x得 2 1 e x 6 分 当 2 1 0 e m 时 在 1 2 e mx 上 f 0 x 在 3 1 2 m e x上 f 0 x 因此 xf在 2 1 e x 处取得极小值 也是最小值 2 min 1 e xf 由于0 1 3 ln 3 3 0 mmmfmf 因此 1 3 ln 3 3 max mmmfxf 8 分 当时 2 1 e m 0 xf 因此 3 mmxf在上单调递增 所以 1 ln min mmmfxf 1 3 ln 3 3 max mmmfxf 9 分 证明 问题等价于证明 0 2 ln x ee x xxx x 10 分 由 知1 a时 xxxxf ln 的最小值是 2 1 e 当且仅当 2 1 e x 时取 得 11 分 设 0 2 x ee x xG x 则 G x e x x 1 易知 e GxG 1 1 max 当且仅当1x 时取到 12 分 但有 ee 11 2 从而可知对一切 0 x 都有 exe x x 21 1ln 成立 13 分 2 解 直线y x 2 的斜率为 1 函数f x 的定义域为 0 因为 2 2 a fx xx 所以 2 2 1 1 11 a f 所以a 1 所以 2 ln2f xx x 2 2 x fx x 由 0fx 解得x 0 由 0fx 解得 0 x 2 所以f x 的单调增 区间是 2 单调减区间是 0 2 4 分 22 22 aax fx xxx 由 0fx 解得 2 x a 由 0fx 解得 2 0 x a 所以 f x 在区间 2 a 上单调递增 在区间 2 0 a 上单调递减 所以当 2 x a 时 函数 f x 取得最小值 min 2 yf a 因为对于 0 x 都有 2 1 f xa 成立 所以 2 2 1 fa a 即可 则 22 ln22 1 2 aa a a 由 2 lnaa a 解得 2 0 e a 所 以 a 的取值范围是 2 0 e 8 分 依题得 2 ln2g xxxb x 则 2 2 2 xx g x x 由 0g x 解得 x 1 由 0g x 解得 0 x 1 所以函数 g x在区间 0 1 为减函数 在区间 1 为增函数 又因为函数 g x在区间 e 1 e 上有两个零点 所以 1 0 0 1 0 g e g e g 解 得 2 1e 1 e b 所以 b 的取值范围是 2 1 e 1 e 13 分 3 解 f x 的定义域为 0 1 分 因为 1 20fxx x 所以 f x 在 1 e 上是增函数 当 x 1 时 f x 取得最小值 f 1 1 所以 f x 在 1 e 上的最小值为 1 3 分 解法一 2 1221 2 xax fxxa xx 设 g x 2x2 2ax 1 4 分 依题意 在区间 1 2 2 上存在子区间使得不等式 g x 0 成立 5 分 注意到抛物线 g x 2x2 2ax 1 开口向上 所以只要 g 2 0 或 1 0 2 g 即可 6 分 由 g 2 0 即 8 4a 1 0 得 9 4 a 由 1 0 2 g 即 1 10 2 a 得 3 2 a 所以 9 4 a 所以实数 a 的取值范围是 9 4 8 分 解法二 2 1221 2 xax fxxa xx 4 分 依题意得 在区间 1 2 2 上存在子区间使不等式 2x2 2ax 1 0 成立 又因为 x 0 所以 1 2 2 ax x 5 分 设 1 2g xx x 所以 2a 小于函数 g x 在区间 1 2 2 的最大值 又因为 1 2g x x 由 2 1 20g x x 解得 2 2 x 由 2 1 20g x x 解得 2 0 2 x 所以函数 g x 在区间 2 2 2 上递增 在区间 12 22 上递减 所以函数 g x 在 1 2 x 或 x 2 处取得最大值 又 9 2 2 g 1 3 2 g 所以 9 2 2 a 9 4 a 所以实数 a 的取值范围是 9 4 8 分 因为 2 221 xax fx x 令 h x 2x2 2ax 1 显然 当 a 0 时 在 0 上 h x 0 恒成立 f x 0 此时函数 f x 没有 极值点 9 分 当 a 0 时 i 当 0 即02a 时 在 0 上 h x 0 恒成立 这时 f x 0 此 时 函数 f x 没有极值点 10 分 ii 当 0 时 即2a 时 易知 当 22 22 22 aaaa x 时 h x 0 这时 f x 0 当 2 2 0 2 aa x 或 2 2 2 aa x 时 h x 0 这时 f x 0 所以 当2a 时 2 2 2 aa x 是函数 f x 的极大值点 2 2 2 aa x 是函 数 f x 的极小值点 12 分 综上 当2a 时 函数 f x 没有极值点 当2a 时 2 2 2 aa x 是函数 f x 的极大值点 2 2 2 aa x 是函数 f x 的极 小值点 4 解 2 21 fxaxa x 0 x 1 分 1 3 ff 解得 2 3 a 3 分 1 2 axx fx x 0 x 4 分 当0a 时 0 x 10ax 在区间 0 2 上 0fx 在区间 2 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 2 单调递减区间是 2 5 分 当 1 0 2 a 时 1 2 a 在区间 0 2 和 1 a 上 0fx 在区间 1 2 a 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 2 和 1 a 单调递减区间是 1 2 a 6 分 当 1 2 a 时 2 2 2 x fx x 故 f x的单调递增区间是 0 7 分 当 1 2 a 时 1 02 a 在区间 1 0 a 和 2 上 0fx 在区间 1 2 a 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 1 0 a 和 2 单调递减区间是 1 2 a 8 分 由已知 在 0 2 上有 maxmax f xg x 9 分 由已知 max 0g x 由 可知 当 1 2 a 时 f x在 0 2 上单调递增 故 max 2 22 21 2ln2222ln2f xfaaa 所以 222ln20a 解得ln2 1a 故 1 ln2 1 2 a 10 分 当 1 2 a 时 f x在 1 0 a 上单调递增 在 1 2 a 上单调递减 故 max 11 22ln 2 f xfa aa 由 1 2 a 可知 11 lnlnln1 2e a 2ln2a 2ln2a 所以 22ln0a max 0f x 综上所述 ln2 1a 12 分 5 直线 y x 2 的斜率为 1 函数 f x 的定义域为 0 因为 x a x xf 2 2 所以 1 11 2 1 2 a f 所以 a 1 所以 2 2 2ln 2 x x xfx x xf 由 0 xf解得 x 2 由 0 xf解得 0 x 2 所以 f x 得单调增区间是 2 单调减区间是 2 0 4 分 22 22 x ax x a x xf 由 0 xf解得 2 a x 由 0 xf解得 a x 2 0 所以 f x 在区间 2 a 上单调递增 在区间 2 0 a 上单调递减 所以当 a x 2 时 函数 f x 取得最小值 2 min a fy 因为对于任意 1 2 0 axfx有有成立 所以 1 2 2 a a f即可 则 1 22 2 ln 2 2 a a a a 由a a a 2 ln解得 e a 2 0 所以 a 得取值范围是 2 0 e 8 分 依题意得bx x xg 2ln 2 则 2 2 2 x xx xg 由 0 xg解得 x 1 由 0 xg解得 0 x 1 所以函数 g x 在区间 e e 1 上有两个零点 所以 0 1 0 0 1 g eg eg 解得1 2 1 e e b 所以 b 得取值范围是 1 2 1 e e 12 分 6 解 1 因为 1ln x f x x 0 x 则 2 ln x fx x 1 分 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx f x在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 函数 f x在1x 处取得极大值 3 分 函数 f x在区间 1