高中数学常用做题思路与结论(山东新课标理科版)

第 1 页 共 14 页 高中数学常用结论大总结高中数学常用结论大总结 集合部分集合部分 1 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 2 UU ABAABBABC BC A U AC B U C ABR 3 若 则 的子集有个 真子集有 1 个 非空真子 123 n a a aa 2n2n 集有 2 个2n 函数部分函数部分 4 二次函数的解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 零点式 12 0 f xa xxxxa 三次函数的解析式的两种形式 一般式 32 0 f xaxbxcxd a 零点式 123 0 f xa xxxxxxa 5 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 如 xfy 0 x f xf 果 则为减函数 0 x f xf 6 函数的图象的对称性 yf x 函数的图象关于直线对称 yf x xa f axf ax 2 faxf x 函数的图象关于直对称 yf x 2 ab x f axf bx f abxf x 函数的图象关于点对称 yf x 0 a 2 f xfax 函数的图象关于点对称 yf x a b 2 2 f xbfax 7 两个函数图象的对称性 第 2 页 共 14 页 函数与函数的图象关于直线 即轴 对称 yf x yfx 0 x y 函数与函数的图象关于直线对称 yf mxa yf bmx 2 ab x m 特殊地 与函数的图象关于直线对称 yf xa yf ax xa 函数的图象关于直线对称的解析式为 yf x xa 2 yfax 函数的图象关于点对称的解析式为 yf x 0 a 2 yfax 函数和的图象关于直线对称 xfy 1 xfy xy 对数与指数部分对数与指数部分 8 分数指数幂 且 m nm n aa 0 am nN 1n 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 9 log 0 1 0 b a NbaN aaN logloglog aaa MNMN 0 1 0 0 aaMN logloglog aaa M MN N 0 1 0 0 aaMN 10 对数的换底公式 推论 log log log m a m N N a loglog m n a a n bb m 对数恒等式 logaN aN 0 1aa 数列部分数列部分 11 数列的通项与其前项的和之间的关系 n a n an n S 数列的前项的和为 2 1 1 1 nSS nS a nn n n an nn aaaS 21 12 等差数列的通项公式 n a 11 1 n aanddnad nN 13 等差数列的变通项公式 n admnaa mn 对于等差数列 若 为正整数 n aqpmn qpnm 则 qpmn aaaa 14 若数列是等差数列 是其前项的和 那么 n a n Sn Nk k S 成等差数列 如下图所示 kk SS 2kk SS 23 第 3 页 共 14 页 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 其前项和公式 n 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 15 数列是等差数列 数列是等差数列 n a n aknb n a n S 2 AnBn 16 设数列是等差数列 是奇数项的和 是偶数项的和 是 n a 奇 S 偶 S n S 前项的和 则有如下性质 n 前 n 项的和 1 偶奇 SSSn 当 n 为偶数时 其中 d 为公差 2 d 2 n S 奇偶 S 当 n 为奇数时 则 3 中偶奇 aS S 其中是 中奇 a 2 1n S 中偶 a 2 1n S 1 1 S S n n 偶 奇 n 偶奇 偶奇 偶奇 SS SS SS Sn 中 a 等差数列的中间一项 17 若等差数列的前项的和为 等差数列的前项 n a12 n 12 n S n b12 n 的和为 则 12 n S 12 12 n n n n S S b a 18 等比数列的通项公式 n a 1 1 1 nn n a aa qqnN q 等比数列的变通项公式 n a mn mn qaa 其前 n 项的和公式或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 19 对于等比数列 若 n m u v 为正整数 则 n avumn vumn aaaa 也就是 如图所示 23121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 12321 20 数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 n a n S Nk k S kk SS 2 成等比数列 如下图所示 kk SS 23 第 4 页 共 14 页 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 三角函数部分三角函数部分 21 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 2 2 1 1tan cos 22 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 cos n n n n n 为偶数 为奇数 2 1 2 1 cos cos 2 1 sin n n n n n 为偶数 为奇数 即 奇变偶不变奇变偶不变 符号看象限符号看象限 如 cos sin sin cos 22 sin sin cos cos 23 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a b tan b a 24 二倍角公式 sin22sincos 升幂公式 2222 cos2cossin2cos11 2sin 降幂公式 22 1 cos21 cos2 cos sin 22 2 2tan tan2 1tan 第 5 页 共 14 页 25 万能公式 2 2tan sin2 1tan 2 2 1tan cos2 1tan 26 半角公式 sin1 cos tan 21 cossin 27 三函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 sin yAx cos yAx 且 A 0 0 的周期 若 未说明大于 0 则 2 T 2 T 函数 A 为常数 且 A 0 0 tan yx 2 xkkZ 的周期 T 28 的单调递增区间为单调递减区间为sinyx 2 2 22 kkkZ 对称轴为 对称中心为 3 2 2 22 kkkZ 2 xkkZ 0k kZ 29 的单调递增区间为单调递减区间为cosyx 2 2kkkZ 2 2kkkZ 对称轴为 对称中心为 xkkZ 0 2 k kZ 30 的单调递增区间为 对称中心为tanyx 22 kkkZ 0 2 k kZ 31 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 32 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 33 面积定理 1 分别表示 a b c 边 111 222 abc Sahbhch abc hhh 上的高 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 第 6 页 共 14 页 34 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 222 CAB ABCCAB 222 CAB 平面向量部分平面向量部分 35 平面两点间的距离公式 A B A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 36 向量的平行与垂直 设 a b b 且 b0 0 则 11 x y 22 xy a bb a 1221 0 x yx y ab a0 0 a b 0 1212 0 x xy y 37 若则 A B C 共线的充要条件是 x y 1OAxOByOB 38 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A x y 则 ABC 的重心的坐标是 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 不等式部分不等式部分 41 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 注意等号成立的条件bababa 5 22 2 0 0 11 22 abab abab ab 6 等号当且仅当时 n i i n i n i iii baba 1 2 11 2 2 21 nikba ii 成立 42 最值定理已知都是正数 则有yx 1 如果积是定值 那么当时和有最小值 xypyx yx p2 2 如果和是定值 那么当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 第 7 页 共 14 页 43 一元二次不等式 如果与 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 同号 则其解集在两根之外 如果与异号 则其 2 axbxc a 2 axbxc 解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 44 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 45 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 46 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 解析几何部分解析几何部分 47 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 直线的方向向量 v a b 则直线的斜率为 k 0 b a a 48 直线方程的五种形式 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 第 8 页 共 14 页 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式1 xy a bxyab ab 分别为轴轴上的截距 且0 0 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 49 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb A 1212 1llk k 2 若 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212211221 00llABA BACA C A且 121212 0llA AB B 50 夹角公式 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 直线 l1到 l2的角是 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 51 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 52 两条平行线的间距离 直线 21 22 CC d AB l 112212 0 0 AxByCl AxByCCC 53 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点 1212 0 xxxxyyyy 第 9 页 共 14 页 是 11 A x y 22 B xy 54 圆中有关重要结论 1 若 P 是圆上的点 则过点 P 的切线方程为 0 x 0 y 222 xyr 0 x 0 y 2 00 xxyyr 2 若 P 是圆上的点 则过点 P 的切线 0 x 0 y 222 xaybr 0 x 0 y 方程为 2 00 xa xayb ybr 3 若 P 是圆外一点 由 P 向圆引两条切线 切 0 x 0 y 222 xyr 0 x 0 y 点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 2 00 xxyyr 4 若 P 是圆外一点 由 P 向圆引两 0 x 0 y 222 xaybr 0 x 0 y 条切线 切点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 2 00 xa xayb ybr 55 椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 56 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 椭圆的准线方程为 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 2 a x c 的准线方程为 22 22 1 0 xy ab ba 2 a y c 57 椭圆的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 长为 22 22 1 0 xy ab ab 2 2b a 58 双曲线的准线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 a x c 双曲线的准线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ba 2 a y c 59 双曲线的渐近线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab b yx a 双曲线的的渐近线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ba a yx b 第 10 页 共 14 页 60 抛物线上的动点可设为 P或 P pxy2 2 2 2 y p y 或 2 2 2 ptptP x y 其中 2 2ypx 61 P 是抛物线上的一点 F 是它的焦点 则 PF 0 x 0 ypxy2 2 0 x 2 p 62 抛物线的焦点弦长 其中是焦点弦与 x 轴的夹角pxy2 2 2 2 sin p l 63 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 由方程 22 12 11ABxxkk a A 2211 yxByx 消去 y 得到 为直线的斜率 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 k 若 弦端点 A由方程 消去 x 得到 2211 yxByx 0 y x F bkxy 为直线的斜率 则 2 0aybyc 0 k 12 22 11 11AByy kak A 64 圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 空间向量部分空间向量部分 65 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数 使 a b 66 对空间任一点 O 和不共线的三点 A B C 满足 OPxOAyOBzOC 则四点 P A B C 是共面 1xyz 67 空间两个向量的夹角公式 cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb a a b b 123 a a a 123 b b b 68 直线与平面所成角 为平面的法向量 ABsin AB m arc AB m m 第 11 页 共 14 页 69 二面角的平面角或 l cos m n arc m n cos m n arc m n m 为平面 的法向量 n 71 空间两点间的距离公式 若 A B 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 72 异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 CD n d n 12 l ln 分别是上任一点 为间的距离 CD 12 l ld 12 l l 73 点到平面的距离 为平面的法向量 是经过面B AB n d n n AB 的一条斜线 A 立体几何部分立体几何部分 74 面积射影定理 cos S S 平面多边形及其射影的面积分别是 它们所在平面所成锐二面角的S S 为 75 球的半径是 R 则其体积是 其表面积是 3 4 3 VR 2 4SR 1 3 VSh VSh 锥柱 76 判定两线平行的方法 1 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线就和交线平行 4 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 5 在 同一平面内的两条直线 可依据平面几何的定理证明 77 判定线面平行的方法 1 据定义 如果一条直线和一个平面没有公共 点 2 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 则这条直 线和这个平面平行 3 两面平行 则其中一个平面内的直线必平行于另 一个平面 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面 则另一条也 平行于该平面 5 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行 则也平行于另一个平面 78 判定面面平行的方法 1 定义 没有公共点 2 如果一个平面内有 第 12 页 共 14 页 两条相交直线都平行于另一个平面 则两面平行 3 垂直于同一直线的 两个平面平行 4 平行于同一平面的两个平面平行 79 面面平行的性质 1 两平行平面没有公共点 2 两平面平行 则一 个平面上的任一直线平行于另一平面 3 两平行平面被第三个平面所截 则两交线平行 4 垂直于两平行平面中一个平面的直线 必垂直于另一 个平面 80 判定两线垂直的方法 1 定义 成角 2 直线和平面垂直 则 90 该线与平面内任一直线垂直 3 在平面内的一条直线 如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 4 在平面内的一条 直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 5 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直 它也和另一条垂直 81 判定线面垂直的方法 1 定义 如果一条直线和平面内的任何一条直 线都垂直 则线面垂直 2 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂 直 则线面垂直 3 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另 一条也垂直于该平面 4 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 5 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直 它们交线的直线垂直于另一个平面 6 如果两个相交平面都垂直于另一个平面 那么它们的交线垂直于另 一个平面 82 判定面面垂直的方法 1 定义 两面成直二面角 则两面垂直 2 一 个平面经过另一个平面的一条垂线 则这个平面垂直于另一平面 83 面面垂直的性质 1 二面角的平面角为 2 在一个平面内垂直于 90 交线的直线必垂直于另一个平面 3 相交平面同垂直于第三个平面 则 交线垂直于第三个平面 排列组合 二项式定理部分排列组合 二项式定理部分 84 分类计数原理 加法原理 分步计数原理 乘法 12n Nmmm 原理 12n Nmmm 85 排列数公式 N N 且 m n A 1 1 mnnn mn n nmmn 组合数公式 N N 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nm mn 第 13 页 共 14 页 86 排列恒等式 1 2 3 1 1 mm nn AnmA 1 mm nn n AA nm 1 1 mm nn AnA 4 5 1 1 nnn nnn nAAA 1 1 mmm nnn AAmA 87 组合数的两个性质 1 2 m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 88 组合恒等式 1 2 3 1 1 mm nn nm CC m 1 mm nn n CC nm 1 1 mm nn n CC m 4 5 6 1 1 kk nn kCnC n r r n C 0 n 2 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 89 二项式