高中数学必修四：31两角差的余弦公式 教学设计

3 1 1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 教学目标教学目标 1 了解两角差的余弦公式的推导 能够借助单位圆 运用向量的方法 推导出公式 2 掌握其公式并能利用它解决简单的求值和证明问题 3 通过对公式的推导 感受知识间的相互联系 培养逻辑思维能力 树立创新和运用意 识 提高数学素养 教学重难点教学重难点 重点重点 通过探索得到两角差的余弦公式 难点难点 探索过程的组织和适当引导 教学过程教学过程 一 复习引入 前面我们已经学习了特殊角的三角函数 请回答 3 sin60 2 1 cos60 2 tan603 2 sin45 2 2 cos45 2 tan451 对于上述特殊角 我们可以通过简单的运算得到一系列新的角 比如 6045105 等等 那么如何求出它们的三角函数值呢 604515 问题 问题 的三角函数值是多少 cos15 因为 那么能否用的三角函数值表示出呢 604515 60 45 cos15 cos15cos60 cos45sin60 sin45 二 新课 我们将问题一般化 对于任意的角 都成 cos coscossinsin 立 下面我们运用向量的知识来探究 在平面直角坐标系内作单位圆 以为始边作角 xOyOOx 它们的终边与单位圆的交点分别为 则 O A B AB C D E cos sin cos sin OAOB 由数量积的坐标表示 有 cos sin cos sin OA OB coscossinsin 设与的夹角为 则OA OB coscoscoscossinsinOA OBOAOB 注意 0 下面关键就是找到和之间的关系 由图 1 知 由图 2 2k 知 所以2k 2 k 所以 由 得 coscos cos coscossinsin 所以 对于任意的角 此公式给出了任意角的正弦 余弦值与其差角的余弦值之间的关系 称为 差角的余弦公式 简记作 C 公式的结构特征 1 任意角 2 同名积 3 符号反 三 典型例题 例 1 利用差角余弦公式求的值 cos15 说明 记住下面的值 62 cos15sin75 4 62 sin15cos75 4 1 2 cos coscossinsin 练习 计算或化简 1 cos15 cos105sin15 sin105 2 sin sin cos cos xxyxxy 3 cos27cos18sin27sin18xxxx 例 2 已知 是第三象限角 求的 4 sin 52 5 cos 13 cos 值 变式 1 已知都是锐角 求的值 4 cos 5 5 cos 13 cos 2 其中 求 12 cos sin 2923 0 22 cos 2 题后小结 1 要注意角的变换 把 待求角 或 未知角 转化为 已知角 常见的变换有 1 2 3 4 1 2 2 2 注意角的范围对取值的影响 例 3 已知中 求 ABC 4 sin 5 AB 2 cos 3 B cos A 例 4 已知 求的值 3 sinsin 5 4 coscos 5 cos 变式 已知 求的取值范围 2 sinsin 2 coscos 例 5 若 求的值 coscoscos0 sinsinsin0 cos 探究 求的最值 13 cossin 22 yxx 变式 的最值是多少 cos3sin