高考第一轮复习数学：6.3不等式的证明(二)VIP

6 3 不等式的证明 二 知识梳理 1 用综合法证明不等式 利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导 出待证不等式的方法叫综合法 概括为 由因导果 2 用分析法证明不等式 从待证不等式出发 分析并寻求使这个不等式成立的充分条 件的方法叫分析法 概括为 执果索因 3 放缩法证明不等式 4 利用单调性证明不等式 5 构造一元二次方程利用 法证明不等式 6 数形结合法证明不等式 7 反证法 换元法等 特别提示 不等式证明方法多 证法灵活 其中比较法 分析法 综合法是基本方法 要熟练掌 握 其他方法作为辅助 这些方法之间不能截然分开 要综合运用各种方法 点击双基 1 若不等式 1 na 2 对任意 n N 恒成立 则实数 a 的取值范围是 n n 1 1 A 2 B 2 C 3 D 3 2 3 2 3 2 3 2 3 解析 当 n 为正偶数时 a 2 2 为增函数 a 2 n 1 n 1 2 1 2 3 当 n 为正奇数时 a 2 a 2 而 2 为增函数 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1 a 2 故 a 2 答案 A 2 3 2 若 0 则下列结论不正确的是 a 1 b 1 A a2 b2B ab b2 C 2D a b a b a b b a 解析 由 0 知 b a 0 A 不正确 答案 A a 1 b 1 3 分析法是从要证的不等式出发 寻求使它成立的 A 充分条件B 必要条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 答案 A 4 理 在等差数列 an 与等比数列 bn 中 a1 b1 0 an bn 0 则 am与 bm的大小 关系是 解析 若 d 0 或 q 1 则 am bm 若 d 0 画出 an a1 n 1 d 与 bn b1 qn 1的图象 x y O m n 1 易知 am bm 故 am bm 答案 am bm 文 在等差数列 an 与等比数列 bn 中 a1 b1 0 a2n 1 b2n 1 0 n 1 2 3 则 an 1与 bn 1的大小关系是 解析 an 1 bn 1 答案 an 1 bn 1 2 121 n aa 121 n aa 121 n bb 5 若 a b c 则 填 ba 1 cb 1 ca 3 解析 a b c a c a b b c ba 1 cb 1 ba 1 cb 1 2 2 4 cbba 1 cbba ba 1 cb 1 ca 4 ca 3 答案 典例剖析 例 1 设实数 x y 满足 y x2 0 0 a 1 求证 loga ax ay loga2 8 1 剖析 不等式左端含 x y 而右端不含 x y 故从左向右变形时应消去 x y 证明 ax 0 ay 0 ax ay 2 2 yx a 2 xx a x x2 x 2 0 a 1 4 1 2 1 4 1 ax ay 2 2a 4 1 a 8 1 loga ax ay loga2a loga2 8 1 8 1 评述 本题的证题思路可由分析法获得 要证原不等式成立 只要证 ax ay 2 a 即 8 1 可 例 2 已知 a b c R 且 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 剖析 在条件 a b c 1 的作用下 将不等式的 真面目 隐含了 给证明不等式 带来困难 若用 a b c 换成 1 则还原出原不等式的 真面目 从而抓住实质 解 决问题 证明 a b c R 且 a b c 1 要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是证 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b a b b c 2 0 cbba b c c a 2 0 accb c a a b 2 0 baac 三式相乘得 式成立 故原不等式得证 例 3 已知 a 1 n 2 n N 求证 1 n a n a1 证法一 要证 1 n a n a1 即证 a 1 n n a1 令 a 1 t 0 则 a t 1 也就是证 t 1 1 n n t 1 n 1 C C n 1 t n t 1 n n t n n n t 即 1 成立 n a n a1 证法二 设 a xn x 1 于是只要证 x 1 n xn1 即证 n 联想到等比数列前 n 项和 1 x xn 1 1 1 x xn 1 1 x xn 倒序 xn 1 xn 2 1 1 1 x xn 得 2 1 xn 1 x xn 2 xn 1 1 1 1 x xn 2 2 2 2n 1 n x 1 n x 1 n x n 1 1 x xn 思考讨论 本不等式是与自然数有关的命题 用数学归纳法可以证吗 读者可尝试一下 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 已知 a b 是不相等的正数 x y 则 x y 的关系是 2 ba ba A x yB y xC x yD 不能确定2 解析 x2 2 a b 2 2 1 ab 2 1 ab y2 a b a b a b a b 2 x2 又 x 0 y 0 y x 2 1 2 1 ab 答案 B 2 对实数 a 和 x 而言 不等式 x3 13a2x 5ax2 9a3成立的充要条件是 解析 x3 13a2x 5ax2 9a3 x3 5ax2 13a2x 9a3 x a x2 4ax 9a2 x a x 2a 2 5a2 0 当 x 2a 0 时 有 x 2a 2 5a2 0 由题意故只需 x a 0 即 x a 以上过程可逆 答案 x a 3 已知 a b c 且 a b c 0 求证 a acb 2 3 证明 要证 a 只需证 b2 ac 3a2 acb 2 3 即证 b2 a a b 3a2 即证 a b 2a b 0 即证 a b a c 0 a b c a b a c 0 成立 原不等式成立 4 已知 a b c 0 求证 ab bc ca 0 证法一 综合法 a b c 0 a b c 2 0 展开得 ab bc ca 2 222 cba ab bc ca 0 证法二 分析法 要证 ab bc ca 0 a b c 0 故只需证 ab bc ca a b c 2 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 0 亦即证 a b 2 b c 2 c a 2 0 2 1 而这是显然的 由于以上相应各步均可逆 原不等式成立 证法三 a b c 0 c a b ab bc ca ab b a c ab a b 2 a2 b2 ab a 2 0 2 b 4 3 2 b ab bc ca 0 培养能力培养能力 5 设 a b c 1 a2 b2 c2 1 且 a b c 求证 c 0 3 1 证明 a2 b2 c2 1 a b 2 2ab c2 1 2ab a b 2 c2 1 1 c 2 c2 1 2c2 2c ab c2 c 又 a b 1 c a b 是方程 x2 c 1 x c2 c 0 的两个根 且 a b c 令 f x x2 c 1 x c2 c 则 0 0 3 1 2 1 0 cf cc c 6 已知 1 求证 方程 ax2 bx c 0 有实数根 a cb22 证明 由 1 b a cb22 2 2ca b2 c 2 2ac 2c2 4ac c 2 4ac 2 a 2 2 2 a 2 a 2 方程 ax2 bx c 0 有实数根 7 设 a b c 均为实数 求证 a2 1 b2 1 c2 1 cb 1 ac 1 ba 1 证明 a b c 均为实数 当 a b 时等号成立 2 1 a2 1 b2 1 ab2 1 ba 1 当 b c 时等号成立 2 1 b2 1 c2 1 bc2 1 cb 1 2 1 c2 1 a2 1 ca2 1 ac 1 三个不等式相加即得 当且仅当 a b c 时等号成 a2 1 b2 1 c2 1 cb 1 ac 1 ba 1 立 探究创新探究创新 8 已知 a b c d R 且 a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d 中至少有一个是负数 证明 假设 a b c d 都是非负数 a b c d 1 a b c d 1 ac bd bc ad 1 ac bd 这与 ac bd 1 矛盾 所以假设不成立 即 a b c d 中至少有一个负数 思悟小结 1 综合法就是 由因导果 从已知不等式出发 不断用必要条件替换前面的不等式 直至推出要证的结论 2 分析法就是 执果索因 从所证不等式出发 不断用充分条件替换前面的不等式 直至找到成立的不等式 3 探求不等式的证法一般用分析法 叙述证明过程用综合法较简 两法结合在证明不 等式中经常遇到 4 构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用 0 证不等式 充分体现相关知 识间的联系 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 在证明不等式的过程中 分析法和综合法是不能分离的 如果使用综合法证明不等 式难以入手时 常用分析法探索证题途径 之后用综合法的形式写出它的证明过程 以适 应学生习惯的思维规律 有时问题证明难度较大 常使用分析综合法 实现两头往中间靠以 达到证题目的 2 由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题 常常与函数 数列 三角 方程综 合在一起 所以在教学中 不等式的证明除常用的三种方法外 还需介绍其他方法 如函 数的单调性法 判别式法 换元法 特别是三角换元 放缩法以及数学归纳法等 拓展题例拓展题例 例 1 已知 a b 为正数 求证 1 若 1 则对于任何大于 1 的正数 x 恒有 ax b 成立 ab 1 x x 2 若对于任何大于 1 的正数 x 恒有 ax b 成立 则 1 1 x x ab 分析 对带条件的不等式的证明 条件的利用常有两种方法 证明过程中代入条件 由条件变形得出要证的不等式 证明 1 ax a x 1 1 a 2 1 a 1 2 1 x x 1 1 x aa 1 b b 0 a 1 2 b2 a 2 ax b 对于大于 1 的实数 x 恒成立 即 x 1 时 ax min b 1 x x 1 x x 而 ax a x 1 1 a 2 1 a 1 2 1 x x 1 1 x aa 当且仅当 a x 1 即 x 1 1 时取等号 1 1 x a 1 故 ax min 1 2 1 x x a 则 1 2 b 即 1 b aa 评述 条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除 例 2 求证 1 ba ba 1 a a 1 b b 剖析 a b a b