高考数学试卷

湖南师大附中湖南师大附中 20102010 届高三第七次月考 理科 数学试卷届高三第七次月考 理科 数学试卷 4 4 月月 3 3 日考试 日考试 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 1 已知集合若 则实数的值为 2 1 2 1 0 3 1 AaBa 2AB a A B C D1 1 1 0 2 设 表示不同的直线 表示不同的平面 给出下列 4 个命题 lmn 若 且 若 且ml ml 则ml ml 则 若 l mnlmn 则 若 m lnnml 则则 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 若关于的方程有两个不等实根 则的取值范围 x 1 2 0 1 x aa aa a A B C D 0 1 1 0 1 1 1 0 2 4 在平面直角坐标系中 分别是与轴 轴正方向同向的单位向量 O 为坐标原点 i jxy 设向量三点不共线 且有一个内角为直角 则2 3 OAij OBikjA O B 若AOBA 实数的所有可能取值个数是 k A 1 B 2 C 3 D 4 5 在极坐标系中 圆关于直线对 22 cossin0 Ckk 4 lR 称的充要条件是 A B C 1k 1k 1k D 0k 6 如图 正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A D 为椭圆的两个焦点 其 余 4 个顶点在椭圆上 则该椭圆的离心率是 A B C D 331 231 7 设等差数列的前项和为 已知 n an n S 20092007 12010 2010 2 20092007 SS aS 则 A B C D 2008 20082010 2010 8 定义已知实数满足 max a ab a b b ab x y 则的取值范围是 2 2 max 4 3 xyzxyxy 设z A B C D 7 10 6 10 6 8 7 8 二 填空题 本大题共 7 个小题 每小题 5 分 共 35 分 9 设复数若复数在复平面上对应的点在第一象限 则实数的取值 1 2 zaii za 范围是 10 不等式的解集是 33 21 log 1 21 log 1 xx xx 11 如图 在中 AB 3 BC 5 将绕直线 AB 旋转一周 ABCA120ABC ABCA 则所形成的旋转体的表面积是 12 已在点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上 直线 CA 与圆 O 相切于点 A 的平ACB 分线分别交 AB AE 于点 D F 则 ADF 13 已知函数的图像与一条平行于轴的直线有三个交点 7 4sin 2 0 66 yxx x 其横坐标分别为则 123123 x x x xxx 123 2xxx 14 某城市纵向有 6 条道路 横向有 5 条道路 构成如图所示的 矩形道路网 图中黑线表示道路 则从西南角 A 地到东北角 B 地 最短路线共有 条 15 在平面向量中有如下定理 设点 O P Q R 为同一平面内的点 则 P Q R 三点共线的充要条件是 存在实数 使试利用该定理解t 1 OPt OQtOR 答下列问题 如图 在中 点 E 为 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 且ABCA CF 2FA BF 交 CE 于点 M 设 AMxAEyAFxy 则 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本题 12 分 设的三内角 A B C 的对边长分别为 已知ABCAabc 成等比数列 且abc 3 sinsin 4 AC 1 求角 B 的大小 2 若求函数的值域 0 x sin sinf xxBx 17 本题 12 分 湖南省有许多旅游景点 某同学利用寒暑假旅游了张家界 南岳 韶 山 岳阳楼和桃花源等 5 个景点 并收藏有张家界纪念门票 3 张 南岳纪念门票 2 张 韶 山 岳阳楼 桃花源纪念门票各 1 张 现从中随机抽取 5 张 1 求抽取的 5 张门票中恰有 3 个或恰有 4 个景点的概率 2 若抽取的 5 张门票中 5 个景点都有记 10 分 恰有 4 个景点记 8 分 恰有 3 个景点 记 6 分 依此类推 设表示所得的分数 求的分布列和数学期望 18 本题 12 分 如图 平面 ABC PC 120PCCBACB PM AC 1 BC 2 异面直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 1 求二面角的平面角和正切值 MACB 2 求三棱锥的体积 PMAC 19 本题 13 分 某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险 简称 医保 政 策 制定了如下实施方案 2009 年底通过农民个人投保和政府财政投入 共集资 1000 万 元作为全县农村医保基金 从 2010 年起 每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余 额的 10 并且每年底县财政再向医保基金注资万元 为正常数 mm 1 以 2009 年为第一年 求第年底该县农村医保基金有多少万元 n 2 根据该县农村人口数量和财状况 县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加 同 时不超过 1500 万元 求每年新增医保基金 单位 万元 应控制在什么范围内 m 20 本题 13 分 过圆上一点 A 4 6 作圆的一条动弦 22 6 4 8Cxy AB 点 P 为弦 AB 的中点 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 P 关于点 D 9 0 的对称点为 E O 为坐标原点 将线段 OP 绕原点 O 依逆 时针方向旋转 90 度后 所得线段为 OF 求的取值范围 EF 21 本题 13 分 给出定义在上的三个函数 0 已知在处取得极值 2 1 f xnx g xxaf x h xxa x g x1x 1 确定函数的单调性 h x 2 求证 当时 恒有成立 2 1xe 2 2 f x x f x 3 把函数的图象向上平移 6 个单位长度得到函数的图象 试确定函数 h x 1 h x 的零点个数 并说明理由 1 yg xh x 师大附中高三月考试卷答案师大附中高三月考试卷答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 10 11 12 45 13 14 126 1 2 2 2 30 3 5 3 15 7 5 16 解 1 因为成等比数列 则由正弦定理得 2 分 abc 2 bac 2 sinsinsin BAC 又所以因为则 4 分 3 sinsin 4 AC 2 3 sin 4 B sin0 B 3 sin 2 B 因为所以 5 分 0 B 2 33 B 或 又 6 分 2 3 bacbabcb A则或即不是ABC 的最大边 故B 2 因为 则 3 B sin sinsin coscos sinsin 333 f xxxxxx 9 33 sincos3sin 226 xxx 分 11 51 0 sin 1 66662 xxx 则所以 分 故函数 3 3 2 f x 的值域是 17 解 1 记抽取的 5 张门票中 恰有 3 个景点 为事件 A 恰有 4 个景点 为事件 B 若抽取的 5 张门票中恰有 3 个景点 则至少要抽取 2 张张家界门票 所以 2 3112221 3233323 5 8 9 28 CC C CC C C P A C AAAAA 分 若抽取的 5 张门票中恰有 4 个景点 则至多只能抽取 2 张张家界门票 所以 5 212312223 323332323 5 8 31 56 CC C CC C CC C P B C AAAAAA 分 因为事件 A B 互斥 所以 931497 2856568 P ABP AP B 故抽取的 5 张门票中恰有 3 个或恰有 4 个景点的概率是 7 8 6 分 2 因为 5 张门票中至少含有 2 个景点 则的可能取值为 10 8 6 4 7 分 其中 113 323 5 8 331 10 8 2856 C C C PPP B C AA 32 32 5 8 91 6 4 2856 C C PP AP C A 10 分 所以的分布列为 10864 P 3 28 31 56 9 28 1 56 11 分 3319115 10864 285628562 E 12 分 18 解法 1 1 取 BC 的中点 N 连接 MN 由已知 PMCNMNPCMNABC 则所以平面 1 分 过点的延长线于 H 连接 MH 由三垂线定理知 N作 NHAC 交AC ACMH 所以为二面角的平面角 MHN MACB 3 分 连接 AN 在中 由余弦定理 得ACN 22 2cos1203 ANACCNAC CN AA度 由已知 6 分 60 1 tan60 AN AMNRt ANMMN 在中 在中 7 分 Rt CHNA 3 sin60 2 NHCN A 在 12 3 tan 33 2 MN Rt MNHMHN NH A中 故二面角的平面角的正切值是 MACB 2 3 3 8 分 2 因为四边形 PCNM 为正方形 平面 ABC 则MN 113 120 3212 P MACA PCMA MNCMACN VVVVAC CNMN AAA度 12 分 解法 2 1 在平面 ABC 内 过点 C 作 CB 的垂线 按如图所示建立空间直角坐标系 Cxyz 设点由已知可得 点 00 0 0 0 Pzz 0 31 0 0 1 22 AMz 则 00 3 3 0 0 22 AMzCPz 因为直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 度 则 22 000 1 cos60 3 2 AM CPAMCPzzz AAA即 解得 0 31 1 0 1 1 0 22 zCMCA 从而 3 分 设平面 MAC 的一个法向量为 111 nx y z 则取 5 11 11 0 0 31 00 22 yz n CM xyn CA A A 即 1 1 1 3 3 xn 则 分 又为平面 ABC 的一个法向量 设向量的夹角为 0 0 1 m mn与 则 322 3 cos sin tan 377 m n m n A 从而 7 分 显然 二面角的平面角为锐角 故二面角的平面角的正切值MACB MACB 是 8 分 2 3 3 2 因为为平面 PCM 的一个法向量 则点 A 到平面 1 0 0 a 31 0 22 CA PCM 的距离 3 2 CA a h a A 10 分 又 PC PM 1 则 11133 1 1 326212 P MACA PCM VVPC PM h AAA 12 分 19 解 1 设第年底该县农村医保基金为万元 n n a 则 111 9 1000 1 10 2 2 10 nnnn aaam naam n 即 3 分 于是 1 11 99 10 10 2 10 10 1010 n nnn amam namam 所以 即 1 9 10 1000 10 10 n n amm 6 分 故第年底该县农村医保基金有万元 n 1 9 10 1000 10 10 n mm 7 分 2 若每年年底的医保基金逐年增加 则数列单调递增 n a 因为是减函数 则时 即时 1 9 10 n y 1000 100m 100 m 10 分 又恒成立 则 1 9 10 1000 10 1500 10 n n amm lim 1500 n a n 即 101500 150 mm 所以 12 分 故每年新增医保基金的应控制在 100 万元到 150 万元之间 m 13 分 20 1 解 连接 PC 由垂径分弦定理知 所以点 P 的轨迹是以线段 AC 为 PCAB 直径的圆 除去点 A 2 分 因为点 则其中点坐标为 5 5 又圆半径 4 6 6 4 AC 2 2 AC r 故点 P 的轨迹方程是 22 5 5 2 4 6 xyxy 5 分 2 因为点 P E 关于点 D 9 0 对称 设点则点 6 分 P x y 18 Exy 设点因为线段 OF 由 OP 绕原点逆时针旋转 90 度得到 11 F x y 则且即 OFOP OFOP 2222 1 11 1 1 yy xyxy x x A且 由 得 1 1 1 yy x x A 1 11 1 0 xy ytx xty t xy 令 则因此点 F 的坐标为 22222 1111 0 1 txyxy tt 所以 y x 所以 2222 18 2 9 9 EFxyyxxy A 设点 9 9 2 MEFPM 则 10 分 因为点 P 为圆上的点 设圆心为 22 5 5 2xy 5 5 N 则 22 min 2 95 95 22 532 PMMN max 22 532 PMMN 12 分 故的取值范围是 EF 2 1062 2 1062 13 分 21 解 1 由题设 2 ln 2 a g xxaxg xx x 则 1 分 由已知 1 0 202 gaa 即 2 分 于是 1 2 1 h xxxh x x 则 3 分 由所以上是增函数 在 0 1 上是减函数 1 101 h xx x 1 h x 在 4 分 2 当 2 1 012 0 2 xenxf x 时即 5 分 欲证只需证即证 2 2 f x x f x 2 2 xf xf x 2 1 1 x f x x 6 分 设 2 1 2 1 1 11 xx xf xnx xx 则 2 22 12 1 2 1 1 1 1 xxx x xxx x 当时 所以在区间上为增函数 2 1xe 0 x x 2 1 e 7 分 从而当即 故 2 1 1 0 xex 时 2 1 1 1 x nx x 2 2 f x x f x 8 分 3 由题设 11 26 0 h xxxg