二次曲线的渐近方向中心渐近线ppt课件.ppt

5 2二次曲线的渐近方向 中心 渐近线 1 二次曲线的渐近方向 我们在 5 1中看到二次曲线 和具有方向的直线 1 2 的交点参数满足 或者直线全部在二次曲线上 成为二次曲线的组成部分 当满足条件 3 时 交点数目会有三种情况 或者只有一个实交点 或者没有交点 这说明 直线方向会影响其与曲线的交点 方向 3 具有特殊性 我们将 3 所示的方向定义为二次曲线的渐近方向 我是特殊方向 3 因为二次曲线 1 的二次项系数不能全为零 所以渐近方向所满足的 3 总有确定的解 下面考虑 3 存在渐近方向的个数问题 如果 那么把 3 改写成 得 如果 把 3 改写成 3 如果 那么把 3 改写成 得 所以 这时 3 如果 那么一定有 这时 3 变为 总结以上讨论的各种情况 渐近方向的数目 最多两个 从比值的角度看 3 如果 渐近方向满足 如果 渐近方向满足 这说明渐近方向的数目最多两个 从比值的角度看 有虚方向吗 区分一下虚实方向 3 如果 渐近方向满足 如果 渐近方向满足 从上我们看到 当且仅当时 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 3 如果 渐近方向满足 如果 渐近方向满足 二次曲线有一个实渐近方向 3 如果 渐近方向满足 如果 渐近方向满足 二次曲线有两个实渐近方向 因此二次曲线的渐近方向最多有两个 总结 当且仅当时 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 当且仅当时 二次曲线有一个实渐近方向 当且仅当时 二次曲线有两个实渐近方向 显然二次曲线的非渐近方向有无数多 因此 可以利用渐近方向将二次曲线分类 定义5 2 2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的 因此二次曲线 1 按其渐近方向可以分为三种类型 即 1 椭圆型曲线 2 抛物型曲线 3 双曲型曲线 例1求下列二次曲线的渐近方向 并指出曲线属于何种类型 1 2 解 1 渐近方向满足 即 解得 有两个实渐近方向 是双曲型曲线 也可以由 得到是双曲型曲线 解 1 渐近方向满足 即 解得 有两个虚渐近方向 是椭圆型曲线 也可以由 得到是椭圆型曲线 p193 1 现在请大家做课堂练习 2 二次曲线的中心与渐近线 我们在 5 1中又看到 当直线的方向为二次曲线 1 的非渐近方向时 即当 时 直线与二次曲线总交于两个点 两个不同实的 两重合实的或一对共轭虚的 我们把由这两点决定的线段叫做二次曲线的弦 线段AB是弦 C 我们这些弦都被C平分称C为中心 根据这个定义 当点为二次曲线 1 的中心时 的直线 与二次曲线交于两点 点就是弦的中点 的直线 与二次曲线交于两点 设交点M1与M2对应的参数分别为t1 t2 则有 注意 a 所以 a 意味着 由前面所得 而另一方面 直线 与二次曲线的交点 对应的参数 可以由下列方程解得 从韦达定理得 4 因为为任意非渐近方向 所以 4 式是关于的恒等式 从而有 4 反过来 适合上面两式的点 显然是二次曲线的中心 这样我们就得到了下面的定理 5 所以 二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 5 解 二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 解得 二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 5 由上面的方程容易得到推论 例如 0 0 为中心 练习 p193 3 作业 P194 4 定义5 2 2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的 因此二次曲线 1 按其渐近方向可以分为三种类型 即 1 椭圆型曲线 2 抛物型曲线 3 双曲型曲线 复习 二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 5 下面将利用中心把二次曲面分类 下面将利用中心把二次曲面分类 先考虑中心最多有多少 由于二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 5 如果系数行列式 那么 5 有唯一的解 此时 二次曲线有唯一的中心 如果系数行列式 即 二次曲线没有中心 而当时 那么当 时 5 5 无解 5 有无数多解 换句话说 上的所有点都是二次曲线的中心 这时这条直线叫做中心直线 定义5 2 4 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线 没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线 有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线 无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线 例2 根据这个定义 我们得二次曲线按其中心得分类 1 中心曲线 2 非中心曲线 线心曲线 即 由前面关于曲线按渐近方向的分类 二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型 即 1 椭圆型曲线 3 双曲型曲线 2 抛物型曲线 因此 椭圆型曲线与双曲型曲线都是中心曲线 抛物型曲线是非中心曲线 它包括无心曲线与线心曲线 而抛物型曲线 二次曲线的渐近线 显然 椭圆型曲线只有 两条虚渐近线而无实渐近线 双曲型曲线有两条实渐近线 中的无心曲线却无渐近线 至于线心曲线它有一条实渐近线 就是它的中心直线 渐近线与二次曲线的位置关系 证 设直线 是二次曲线的渐近线 这里为二次曲线的中心 渐近方向 那么我们有 为二次曲线的 渐近线与二次曲线没有交点 因此根据 5 1中直线与二次曲线的相交情况的讨论 我们有 当点 不在二次曲线上 即 时 当点在二次曲线 1 上 渐近线 2 全部在二次曲线上 的组成部分 成为二次曲线 解 求中心 二次曲线的中心坐标由下列方程组决定 解得 求渐近方向 解得