高中数学选修2-2-2-3知识点

高中数学选修高中数学选修 2 2 知识点知识点 第一章第一章导数及其应用导数及其应用 知识点 知识点 一 导数概念的引入 1 导数的物理意义 瞬时速率 一般的 函数在处的瞬时变化率是 yf x 0 xx 00 0 lim x f xxf x x 我们称它为函数在处的导数 记作或 yf x 0 xx 0 fx 0 x xy 即 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 2 导数的几何意义 曲线的切线 通过图像 我们可以看出当点趋近于时 直线与曲线相切 容易知道 n PPPT 割线的斜率是 当点趋近于时 函数在处的导数就是切线 PT n PP 0 0 n n n f xf x k xx n PP yf x 0 xx 的斜率 k 即 0 0 0 0 lim n x n f xf x kfx xx 3 导函数 当 x 变化时 便是 x 的一个函数 我们称它为的导函数 的导函数有时也记作 fx f x yf x 即 y 0 lim x f xxf x fx x 考点 无考点 无 知识点 知识点 二 导数的计算 1 基本初等函数的导数公式 1 若 c 为常数 则 f xc 0fx 2 若 则 f xx 1 fxx 3 若 则 sinf xx cosfxx 4 若 则 cosf xx sinfxx 5 若 则 x f xa ln x fxaa 6 若 则 x f xe x fxe 7 若 则 logx a f x 1 ln fx xa 8 若 则 lnf xx 1 fx x 2 导数的运算法则 1 f xg xfxg x 2 f xg xfxg xf xg x 3 2 f xfxg xf xg x g xg x 3 复合函数求导 和 称则可以表示成为的函数 即为一个复合函数 yf u ug x yx yf g x yfg xg x 考点 导数的求导及运算考点 导数的求导及运算 1 已知 则 2 2sinf xxx 0f 2 若 则 sin x f xex fx 3 ax3 3x2 2 则 a xf4 1 f 3 19 3 16 3 13 3 10 DCBA 4 过抛物线 y x2上的点 M的切线的倾斜角是 4 1 2 1 A 30 B 45 C 60 D 90 5 如果曲线与在处的切线互相垂直 则 2 9 3 2 yx 3 2yx 0 xx 0 x 三 导数在研究函数中的应用 知识点 知识点 1 函数的单调性与导数 一般的 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间单调递增 a b 0fx yf x 如果 那么函数在这个区间单调递减 0fx yf x 2 函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况 求函数的极值的方法是 yf x 1 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 0 x 0fx 0fx 0 f x 22 x y O1 1 1 1 2 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 0 x 0fx 0fx 0 f x 4 函数的最大 小 值与导数 函数极大值与最大值之间的关系 求函数在上的最大值与最小值的步骤 yf x a b 1 求函数在内的极值 yf x a b 2 将函数的各极值与端点处的函数值 比较 其中最大的是一个最大值 最小的是最 yf x f a f b 小值 四 生活中的优化问题 利用导数的知识 求函数的最大 小 值 从而解决实际问题 考点 考点 1 导数在切线方程中的应用 2 导数在单调性中的应用 3 导数在极值 最值中的应用 4 导数在恒成立问题中的应用 一 题型一 导数在切线方程中的运用 1 曲线在 P 点处的切线斜率为 k 若 k 3 则 P 点为 3 xy A 2 8 B 1 1 或 1 1 C 2 8 D 2 1 8 1 2 曲线 过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线 则切线的倾斜角为 5 3 1 23 xxy A B C D 6 4 3 4 3 二 题型二 导数在单调性中的运用 1 05 广东卷 函数是减函数的区间为 32 31f xxx A B C D 2 2 0 0 2 2 关于函数 下列说法不正确的是 762 23 xxxf A 在区间 0 内 为增函数 B 在区间 0 2 内 为减函数 xf xf C 在区间 2 内 为增函数 D 在区间 0 内 为增函数 xf 2 xf 3 05 江西 已知函数的图象如右图所示 其中是函数的导函数 下面四个图象中 yxfx fx f x 的图象大致是 yf x O 22 x y 1 1 2 1 2 O x y 2 22 1 1 1 2 O 2 4 x y 1 1 2 1 2 O 2 2 x y 1 2 4 ABC D 4 2010 年山东 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 1 1 Ra x a axnxxf 当处的切线方程 在点时 求曲线 2 2 1fxfya 当时 讨论的单调性 1 2 a f x 三 导数在最值 极值中的运用 1 05 全国卷 函数 已知在时取得极值 则 93 23 xaxxxf xf 3 xa A 2B 3C 4D 5 2 函数在 0 3 上的最大值与最小值分别是 51232 23 xxxy A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 3 根据 04 年天津卷文 21 改编 已知函数是 R 上的奇函数 当时 0 3 adcxaxxf 1 x 取得极值 2 xf 1 试求 a c d 的值 2 求的单调区间和极大值 xf 4 根据山东 2008 年文 21 改编 设函数 已知为的极值 2312 bxaxexxf x 12 xx和 xf 点 1 求的值 ba 2 讨论的单调性 xf 第二章第二章 推理与证明推理与证明 知识点 知识点 1 归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般由部分到整体 由特殊到一般的推理 的推理 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题 猜想 证明 视题目要求 可有可无 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理 简称类比 简言之 类比推理是类比推理是由特殊到特殊由特殊到特殊的推理的推理 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜 想的推理 归纳推理和类比推理统称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 4 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是演绎推理是由一般到特殊由一般到特殊的推理的推理 演绎推理的一般模式 三段论三段论 包括 大前提大前提 已知的一般原理 已知的一般原理 小前提小前提 所研究的特殊情况 所研究的特殊情况 结论结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 据一般原理 对特殊情况做出的判断 5 直接证明与间接证明 综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论 成立 要点 顺推证法 由因导果顺推证法 由因导果 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 要点 逆推证法 执果索因逆推证法 执果索因 反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命 题成立 的证明方法 它是一种间接的证明方法 反证法法证明一个命题的一般步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 2 推理 根据假设进行推理 直到导出矛盾为止 3 归谬 断言假设不成立 4 结论 肯定原命题的结论成立 6 数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数证明关于正整数的命题的命题的一种方法 n 用数学归纳法证明命题的步骤 1 1 归纳奠基 证明当 归纳奠基 证明当取第一个值取第一个值时命题成立 时命题成立 n 00 n nN 2 2 归纳递推 假设 归纳递推 假设时命题成立 推证当时命题成立 推证当时命题也成立时命题也成立 0 nk knkN 1nk 只要完成了这两个步骤 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立 0 nn 考点 无考点 无 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 知识点 知识点 一 复数的概念 1 复数 形如的数叫做复数 和分别叫它的实部和虚部 abi aR bR ab 2 分类 复数中 当 就是实数 叫做虚数 当时 叫做纯虚数 abi aR bR 0b 0b 0 0ab 3 复数相等 如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等 4 共轭复数 当两个复数实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数互为共轭复数 5 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做实轴 y 轴除去原点的部分叫做虚轴 6 两个实数可以比较大小 但两个复数如果不全是实数就不能比较大小 2 相关公式 dcbadicbia 且 00 babia 22 babiaz zabi 指两复数实部相同 虚部互为相反数 互为共轭复数 zz 3 复数运算 复数加减法 idbcadicbia 复数的乘法 abicdiacbdbcad i 复数的除法 复数的除法 abicdiabi cdicdicdi 222222 acbdbcad iacbdbcad i cdcdcd 类似于无理数除法的分母有理化分母有理化虚数除法的分母实数化分母实数化 4 常见的运算规律 1 2 2 2 zzzza zzbi 22 22 3 4 5 z zzzabzzzzzR 41424344 6 1 1 nnnn ii iii i 2 2111 7 1 8 112 iii iiiii ii 设是 1 的立方虚根 则 9 2 31i 01 2 1 332313 nnn 考点 复数的运算考点 复数的运算 11 1 m n m n m n m m m n m n mAACAAA 山东理科 1 若 为虚数单位 则的值可能是cossinzi i 2 1z A B C D 6 4 3 2 山东文科 1 复数的实部是 43i 1 2i A B C 3D 2 24 山东理科 2 设 z 的共轭复数是 若 z 4 z 8 则等于zzz z z A i B i C 1 D i 高中数学高中数学 选修选修 2 2 3 3 知识点知识点 第一章第一章 计数原理计数原理 知识点 知识点 1 分类加法计数原理分类加法计数原理 做一件事情 完成它有 N 类办法 在第一类办法中有 M1种不同的方法 在第二类办法中 有 M2种不同的方法 在第 N 类办法中有 MN种不同的方法 那么完成这件事情共有 M1 M2 MN种 不同的方法 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 做一件事 完成它需要分成 N 个步骤 做第一 步有 m1种不同的方法 做第二步有 M2不 同的方法 做第 N 步有 MN不同的方法 那么完成这件事共有 N M1M2 MN 种不同的方法 3 排列排列 从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列 4 排列数排列数 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素排成一列 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数 用符号 m n A表示 1 1 Nmnnm mn n mnnnAm 5 公式 公式 1 1 m n m n nAA 6 组合组合 从n个不同的元素中任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 7 公式 公式 1 1 mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n 1 1 mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 8 二项式定理 二项式定理 abC aC abC abC abC b n n n n n n n n rn rr n nn 011222 9 二项式通项公式二项式通项公式二项展开式的通项公式 TC abrn rn rn rr 1 01 考点 考点 1 排列组合的运用 2 二项式定理的应用 1 我省高中学校自实施素质教育以来 学生社团得到迅猛发展 某校高一新生中的五名同 学打算参加 春晖文学社 舞者轮滑俱乐部 篮球之家 围棋苑 四个社团 若 每个社团至少有一名同学参加 每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团 且同 学甲不参加 围棋苑 则不同的参加方法的种数为 A 72B 108C 180D 216 2 在的展开式中 x 的幂的指数是整数的项共有 24 3 1 x x A 3 项B 4 项C 5 项D 6 项 3 现有 12 件商品摆放在货架上 摆成上层 4 件下层 8 件 现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层 若其他商 品的相对顺序不变 则不同调整方法的种数是 A 420 B 560 C 840 D 20160 4 把编号为 1 2 3 4 的四封电子邮件分别发送到编