数列通项公式方法总结

数列通项公式方法总结数列通项公式方法总结 数列既是高中数学的重要内容 也是学习高 等数学的基础 因此 每年高考对本章内容均作较全面的考查 而且经常是以综合题 主观题的形式出现 难度较大 以下是 一龙网小编整理数列通项公式方法总结的资料 欢迎阅读参考 不过一般分小题 有梯度设问 往往是第 1 小题就是求数列的 通项公式 难度适中 一般考生可突破 争取分数 而且是做 第 2 小题的基础 因此 求数列通项公式的解题方法 技巧 每一位考生都必须熟练掌握 求数列通项公式的题型很多 不 同的题型有不同的解决方法 下面结合教学实践 谈谈求数列 通项公式的解题思路 一 已知数列的前几项 已知数列的前几项 求通项公式 通过观察找规律 分析出 数列的项与项数之间的关系 从而求出通项公式 这种方法称 为观察法 也即是归纳推理 例1 求数列的通项公式 1 0 22 1 3 32 1 4 42 1 5 2 9 99 999 分析 1 0 12 1 2 每一项的分子是项数的平方减去 1 分母是项数加上 1 n2 1 n 1 n 1 其实 该数列 各项可化简为 0 1 2 3 易知 an n 1 2 各项可拆成 10 1 102 1 103 1 an 10n 1 此题型主要通过让学生观察 试验 归纳推理等活动 且在 此基础上进一步通过比较 分析 概括 证明去揭示事物的本 质 从而培养学生的思维能力 二 已知数列的前n 项和 Sn 已知数列的前n 项和 Sn 求通项公式 an 主要通过 an 与 Sn 的关系转化 即 an S1 n 1 Sn Sn 1 n 2 例2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 3 求 an 分析 Sn a1 a2 an 1 an Sn 1 a1 a2 an 1 上两式相减得 Sn Sn 1 an 解 当n 1 时 a1 S1 5 当n 2 时 an Sn Sn 1 2n 3 2n 1 3 2n 1 n 1 不适合上式 an 5 n 1 2n 1 n 2 三 已知an 与 Sn 关系 已知数列的第n 项 an 与前 n 项和 Sn 间的关系 Sn f an 求 an 一般的思路是先将 Sn 与 an 的关系转化为 an 与 an 1 的关系 再根据与的关系特征分为如下几种类型 不同的类 型 要用不同的方法解决 1 an an 1 k 数列属等差数列 直接代公式可求通项 公式 例3 已知数列 an 满足 a1 3 an an 1 8 求 an 分析 由已知条件可知数列是以3 为首项 8 为公差的等差 数列 直接代公式可求得 an 8n 5 2 an kan 1 k 为常数 数列属等比数列 直接代公 式可求通项公式 例4 数列 an 的前 n 项和 Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n N 求数列 an 的通项公式 分析 根据an 与 Sn 的关系 将 an 1 2Sn 1 转化为 an 与 an 1 的关系 解 由an 1 2Sn 1 得an 2Sn 1 1 n 2 两式相减 得an 1 an 2an an 1 3an n 2 a2 2Sn 1 3 a2 3a1 an 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列 an 3n 1 3 an 1 an f n 用叠加法 思路 令n 1 2 3 n 1 得a2 a1 f 1 a3 a2 f 2 a4 a3 f 3 an an 1 f n 1 an a1 f 1 f 2 f n 1 例5 若数列 an 满足 a1 2 an 1 an 2n 则 an 的通项公式 解 an 1 an 2n a2 a1 2 1 a3 a2 2 2 a4 a3 2 3 an an 1 2 n 1 an a1 2 1 2 3 n 1 2 2 1 n 1 n 1 n2 n 2 4 an 1 f n an 用累积法 思路 令n 1 2 3 n 1 得a2 f 1 a1 a3 f 2 a2 a4 f 3 a3 an f n 1 an 1 an a1 f 1 f 2 f 3 f n 1 例6 若数列 an 满足 a1 1 an 1 2n an 则 an 解 an 1 2nan a2 21a1 a3 22a2 a4 23a3 an 2n 1 an 1 an 2 22 23 2n 1a1 2n n 1 2 5 an pan 1 q an pan 1 f n an 1 an p qn pq 0 an p an 1 q an 1 ran pan q pr 0 q r p q r 为常数 这些类型均可用构造法或迭代法 an pan 1 q p q 为常数 构造法 将原数列的各项均加上一个常数 构成一个等比数 列 然后 求出该等比数列的通项公式 再还原为所求数列的 通项公式 将关系式两边都加上x 得an x Pan 1 q x P an 1 q x p 令x q x p 得 x q p 1 an q p 1 P an 1 q p 1 an q p 1 是以 a1 q p 1 为首项 P 为公比的等比数列 an q p 1 a1 q p 1 Pn 1 an a1 q p 1 Pn 1 q p 1 迭代法 an p an 1 q p pan 2 q q p2 pan 3 q pq q 例7 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an n n N 求 an 解析 由Sn 2an n 得 Sn 1 2an 1 n 1 n 2 n N 两式相减得an 2an 1 1 两边加1 得 an 1 2 an 1 1 n 2 n N 构造成以2 为公比的等比数列 an 1 an Pan 1 f n 例8 数列 an 中 a1 为常数 且 an 2an 1 3n 1 2 n N 证明 an 2 n 1a1 3n 1 n 3 2n 1 5 分析 这道题是证明题 最简单的方法当然是数学归纳法 现用构造法和迭代法来证明 方法一 构造公比为 2的等比数列 an 3n 用比较系数法可求得 1 5 方法二 构造等差型数列 an 2 n 由已知两边同以 2 n 得 an 2 n an 1 2 n 1 3 3 2 n 用叠加法 处理 方法三 迭代法 an 2an 1 3n 1 2 2an 2 3n 2 3n 1 2 2an 2 2 3n 2 3n 1 2 2 2an 3 3n 3 2 3n 2 3n 1 2 3an 3 2 3n 3 2 3n 2 3n 1 2 n 1a1 2 n 1 3 2 n 3 32 2 3n 2 3n 1 2 n 1a1 3n 1 n 2 3 2n 1 5 an 1 an p qn pq 0 当 qn 1 时 等式两边同除以 就可构造出一个等 差数列 an qn 例9 在数列 an 中 a1 4 an 1 2n 1 求 an 分析 在an 1 2an 2n 1 两边同除以 2n 1 得 an 1 2n 1 an 2n 1 an 2n 是以 a1 2 2 为首项 1 为公差的等差数列 当 q 时 等式两边同除以 qn 1 令 bn an qn 得 bn 1 qbn p 再构造成等比数列求 bn 从而求出 an 例10 已知 a1 1 an 3an 1 2n 1 求 an 分析 从an 3an 1 2n 1 两边都除以 2n 得an 2n 3 2 an 1 2n 1 1 2 令an 2n bn 则bn 3 2bn 1 1 2 an p an 1 q p q 为常数 例11 已知 an 1 a an 12 首项 a1 求 an 方法一 将已知两边取对数 得lgan 2lgan 1 lga 令bn lgan 得bn 2bn 1 lga 再构造成等比数列求 bn 从而求出 an 方法二 迭代法 an 1 a a2n 1 1 a 1 a a2n 2 2 1 a3 a4n 2 1 a3 1 a a2n 3 4 1 a7 an 38 a an 3 a 23 a a1 a 2n 1 an 1 ran pan q p q r 为常数 pr 0 q r 将等式两边取倒数 得1 an 1 q r 1 an p r