二次函数总复习初中数学讲课教案ppt课件.ppt

课题 二次函数复习 图象与性质 交点情况 解析式的确定 一 图象与性质 二次函数 二次函数知识要点 0 ax2 bx c 2 1 二次函数的定义 形如 y a b c为常数 a 的函数叫二次函数 即 自变量x的最高次项为次 2 二次函数的解析式有三种形式 一般式为 顶点式为 其中 顶点坐标是 对称轴是 交点式为 其中x1 x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标 y ax2 bx c y a x h 2 k h k x h的直线 y a x x1 x x2 3 图象的平移规律 正 上左 负 下右 位变形不变 对于抛物线y a x h 2 k的平移有以下规律 1 平移不改变a的值 2 若沿x轴方向左右平移 不改变a k的值 3 若沿y轴方向上下平移 不改变a h的值 4 5 对于二次函数y ax2 bx c a 0 a决定图象的 当a 0时 开口向 当a0或c 0呢 a b共同决定对称轴 当a b同号 对称轴在y轴的侧 当a b异号呢 当b 0呢 二次函数知识要点 开口方向 上 下 左 y 纵 原 1 二次函数y x2 8x 12图象的开口向 对称轴是 顶点坐标为 小练习 直线x 4 4 上 2 二次函数y 3 x 1 5的图象开口向 对称轴是 当x 时函数有最值为 当x时 y随x的增大而增大 下 直线x 1 1 1 大 5 4 函数的顶点坐标是 对称轴 3 抛物线向上平移2个单位 向左平移3个单位 所得解析式是 开口方向 当x时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 当x时 y有最大值或最小最 最大或最小值是 抛物线与x轴交点坐标为 抛物线与y轴的交点坐标为 A C x y o A C x y o B B 5 根据下列图象确定二次函数y ax2 bx c中a b c的符号 1 a 0 b 0 c 0 2 a 0 b 0 c 0 例题 3 当x 0时 y随x的增大而减小 例2 已知二次函数y x2 x c 求它的图象的开口方向 顶点坐标和对称轴 c取何值时 顶点在x轴上 若此函数的图象过原点 求此函数的解析式 并判断x取何值时y随x的增大而减小 例题 解 函数y X2 X C中 a 1 0 此抛物线的开口向上 根据顶点的坐标公式x 时 y 顶点坐标是 对称轴是x 例题 1 直线x 2 2 9 2 A 1 0 B 5 0 C 0 5 3 27 例4已知二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于C点 顶点为D点 1 求出抛物线的对称轴和顶点坐标 2 求出A B C的坐标 3 求 DAB的面积 例题解答 例题 例4已知抛物线与x轴交于点A 1 0 和B 3 0 与y轴交于点C C在y轴的正半轴上 S ABC为8 1 求这个二次函数的解析式 2 若抛物线的顶点为D 直线CD交x轴于E 则x轴上的抛物线上是否存在点P 使S PBE 15 1 抛物线如图所示 试确定下列各式的符号 a 0 2 b 0 3 c 0 4 a b c 0 5 a b c 0 练习 2 抛物线和直线可以在同一直角坐标系中的是 A 练习 3 已知抛物线y 2x2 2x 4 则它的对称轴为 顶点为 与x轴的两交点坐标为 与y轴的交点坐标为 0 4 练习 4 已知抛物线y ax2 bx c开口向下 并且经过A 0 1 M 2 3 两点 若抛物线的对称轴是直线x 1 求此抛物线的解析式 若抛物线的对称轴在y轴的左侧 求a的取值范围 归纳小结 抛物线的对称轴 顶点最值的求法 二次函数 抛物线与x轴 y轴的交点求法 二次函数图象的画法 五点法 1 配方法 2 公式法 对于抛物线y a x h 2 k的平移有以下规律 1 平移不改变a的值 2 若沿x轴方向左右平移 不改变a k的值 3 若沿y轴方向上下平移 不改变a h的值 课后练习 1 抛物线y x2的图象向左平移2个单位 再向下平移1个单位 则所得抛物线的解析式为 A y x2 2x 2B y x2 2x 1C y x2 2x 1D y x2 2x 1 2 已知二次函数y ax2 bx c的图象如右图所示 则一次函数y ax bc的图象不经过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 课后练习 3 已知以x为自变量的二次函数y m 2 x2 m2 m 2的图象经过原点 则m 当x时y随x增大而减小 4 函数y 2x2 7x 3顶点坐标为 5 抛物线y x2 bx c的顶点为 2 3 则b c 6 如果抛物线y ax2 bx c的对称轴是x 2 且开口方向 形状与抛物线y x2相同 且过原点 那么a b c 7 如图二次函数y ax2 bx c的图象经过A B C三点 1 观察图象 写出A B C三点的坐标 并求出抛物线解析式 2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴 3 观察图象 当x取何值时 y0 y x A B O 1 4 5 C 课后练习 8 已知二次函数y m2 2 x2 4mx n的图象关于直线x 2对称 且它的最高点在直线y x 1上 1 求此二次函数的解析式 2 若此抛物线的开口方向不变 顶点在直线y x 1上移动到点M时 图象与x轴交于A B两点 且S ABM 8 求此时的二次函数的解析式 课后练习 二 抛物线与坐标轴的交点情况 二次函数 二次函数知识要点 6 对于二次函数y ax2 bx c a 0 b2 4ac 当 0时 抛物线与x轴有个交点 这两个交点的横坐标是方程ax2 bx c 0的两个不相等的根 当 0时 抛物线与x轴有个交点 这时方程ax2 bx c 0有两个的根 当 0时 抛物线与x轴交点 这时方程ax2 bx c 0根的情况 两 一 无 没有实数根 相等 1 抛物线y x2 2x 3与x轴分别交于A B两点 则AB的长为 练一练 2 直线y 3x 2与抛物线y x2 x 3的交点有个 交点坐标为 3 抛物线y x2 bx 4与x轴只有一个交点则b 4 一 1 5 4或 4 4 二次函数y x2 2 m 1 x 4m的图象与x轴 A 没有交点B 只有一个交点C 只有两个交点D 至少有一个交点 练一练 D 5 已知二次函数y kx2 7x 7的图象与x轴有交点 则k的取值范围是 B 二次函数 练一练 例题 1 已知抛物线y x2 ax a 2 1 证明 此抛物线与x轴总有两个不同的交点 2 求这两个交点间的距离 用关于a的表达式来表达 3 a取何值时 两点间的距离最小 例题 2 已知二次函数y x2 m 2 x m 1 1 试说明 不论m取任何实数 这个二次函数的图象必与x轴有两个交点 2 m为何值时 这两个交点都在原点的左侧 3 若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A x1 0 B x2 0 且x1 0 x2 OA OB 求m的值 3 已知抛物线y ax2 b 1 x 2 1 若抛物线经过点 1 4 1 2 求此抛物线的解析式 2 若此抛物线与直线y x有两个不同的交点P Q 且点P Q关于原点对称 求b的值 请在横线上填上一个符合条件的a的值 a 并在此条件下画出该函数的图象 例题 例题 4 巳知 抛物线 1 求证 不论m取何值 抛物线与x轴必有两个交点 并且有一个交点是A 2 0 2 设抛物线与x轴的另一个交点为B AB的长为d 求d与m之间的函数关系式 3 设d 10 P a b 为抛物线上一点 当 A 是直角三角形时 求b的值 练习 1 抛物线y x2 2m 1 x 6m与x轴交于 x1 0 和 x2 0 两点 已知x1x2 x1 x2 49 要使抛物线经过原点 应将它向右平移个单位 2 抛物线y x2 x c与x轴的两个交点坐标分别为 x1 0 x2 0 若x12 x22 3 那么c值为 抛物线的对称轴为 3 一条抛物线开口向下 并且与x轴的交点一个在点A 1 0 的左边 一个在点A 1 0 的右边 而与y轴的交点在x轴下方 写出一个满足条件的抛物线的函数关系式 4 已知二次函数y x2 m 2 x 3 m 1 的图象如图所示 1 当m 4时 说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点 2 求m的取值范围 3 在 2 的情况下 若OA OB 6 求C点坐标 O 练习 5 已知二次函数y kx2 2k 1 x 1与x轴交点的横坐标为x1 x2 x1 x2 则对于下列结论 当x 2时 y 1 当x x2时 y 0 方程kx2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1 x2 x1 1 x2 1 其中所有正确的结论是 只需填写序号 归纳小结 二次函数 抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴的两交点A B的横坐标x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根 1 若抛物线y ax2 bx c的所有点都在x轴下方 则必有 A a 0 b2 4ac 0 B a 0 b2 4ac 0 C a 0 b2 4ac 0D a 0 b2 4ac 0 课后练习 2 已知抛物线 x2 2mx m 7与x轴的两个交点在点 1 0 两旁 则关于x的方程x2 m 1 x m2 5 0的根的情况是 A 有两个正根 B 有两个负数根 C 有一正根和一个负根 D 无实数根 课后练习 4 设是抛物线与X轴的交点的横坐标 求的值 5 二次函数的图象与X轴交于A B两点 交Y轴于点C 顶点为D 则S ABC S ABD 3 已知抛物线与x轴的两个交点间的距离等于4 那么a 6 已知抛物线y x2 mx m 2 1 若抛物线与x轴的两个交点A B分别在原点的两侧 并且AB 试求m的值 2 设C为抛物线与y轴的交点 若抛物线上存在关于原点对称的两点M N 并且 MNC的面积等于27 试求m的值 课后练习 7 已知抛物线交 交y轴的正半轴于C点 且 1 求抛物线的解析式 2 是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线 如果存在 求符合条件的直线的表达式 如果不存在 请说明理由 课后练习 二次函数 三 解析式的确定 回顾 1 已知函数类型 求函数解析式的基本方法是 2 二次函数的表达式有三种 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 待定系数法 Y ax2 bx c a 0 Y a x h 2 k a 0 Y a x x1 x x2 a 0 例1 选择最优解法 求下列二次函数解析式 已知二次函数的图象过点 1 6 1 2 和 2 3 已知二次函数当x 1时 有最大值 6 且其图象过点 2 8 已知抛物线与x轴交于点A 1 0 B 1 0 并经过点M 0 1 1 设二次函数的解析式为 2 设二次函数的解析式为 3 设二次函数的解析式为 解题策略 例2 已知二次函数y ax2 bx c 当x 3时 函数取得最大值10 且它的图象在x轴上截得的弦长为4 试求二次函数的关系式 例3 已知 抛物线y ax bx c a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 点B在点A的右侧 与y轴交于点C 0 2 如图 1 请说明abc是正数还是负数 2 若 OCA CBO 求此抛物线的解析式 A B O C 议一议想一想 例4 已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 C2的解析式为 y x 1 2 1 m x2 2x m C1 C2 1 1 m 1 1 m 议一议想一想 例4已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 2 当m为何值时 抛物线C1 C2与x轴有四个不同的交点 由抛物线C1与x轴有两个交点 得 1 0 即 2 2 4 1 m 0 得m 1由抛物线C2与x轴有两个交点 得 2 0 即 2 2 4 1 m 0 得m 1 当m 0时 C1 C2与x轴有一公共交点 0 0 因此m 0综上所述m 1且m 0 议一议想一想 例4已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 2 当m为何值时 抛物线C1 C2与x轴有四个不同的交点 3 若抛物线C1与x轴两交点为A B 点A在点B的左侧 抛物线C2与x轴的两交点为C D 点C在点D的左侧 请你猜想AC BD的值 并验证你的结论 解 设抛物线C1 C2与x轴的交点分别A x1 0 B x2 0 C x3 0 D x4 0 则AC BD x3 x1 x4 x2 x3 x4 x1 x2 于是AC x3 x1 BD x4 x2 x1 x2 2 x3 x4 2 AC BD 4 有一个二次函数的图象 三位学生分别说出了它的一些特点 甲 对称轴是直线x 4 乙 与x轴两个交点的横坐标都是整数 丙 与y轴交点的纵坐标也是整数 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式 议一议 例5 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物 如图所示 大门地面宽AB 4m 顶部C离地面高度为4 4m 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 8m 装货宽度为2 4m 请判断这辆汽车能否顺利通过大门 1 已知二次函数的图象经过点 1 0 0 2 2 3 求解析式 2 二次函数当x 3时 y有最大值 1 且图象过 0 3 点 求此二次函数解析式 3 已知二次函数y ax2 bx c的图象的对称轴是直线x 2 图象与x轴的两个交点间的距离等于2 且图象经过点 4 3 求这个二次函数解析式 练习 练习 4 二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 如图所示 AC BC ACB 90 求二次函数图象的关系式 5 如图 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为8m 两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环 两铁环的水平距离为6m 则校门的高为多少m 精确到0 1m 水泥建筑物厚度忽略不计 归纳小结 1 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤 1 根据条件设出合理的表达式 2 将已知条件转化为方程或方程组 求出待定系数的值 3 写出函数解析式 2 二次函数的三种表达式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 Y ax2 bx c a 0 Y a x h 2 k a 0 Y a x x1 x x2 a 0 课后训练 1 求出下列对应的二次函数的关系式 1 已知抛物线的对称轴为直线x 2 且通过点 1 4 和 5 0 2 已知抛物线的顶点为 3 2 且与x轴两交点间的距离为4 2 已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P 2 m Q n 8 如果抛物线的对称轴是x 1 求该二次函数的关系式 课后训练 4 抛物线y x2 2mx n过点 2 4 且其顶点在直线y 2x 1上 求此二次函数的关系式 3 已知二次函数 当x 3时 函数取得最大值10 且它的图象在x轴上截得的弦长为4 试求二次函数的关系式 5 如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A 4 0 B两点 该抛物线的对称轴x 1 与x轴交于点C 且 ABC 90 求 1 直线AB的解析式 2 抛物线的解析式 课后训练 6 已知二次函数y m2 2 x2 4mx n的图象关于直线x 2对称 且它的最高点在直线y x 1上 1 求此二次函数的解析式 2 若此抛物线的开口方向不变 顶点在直线y x 1上移动到点M时 图象与x轴交于A B两点 且S ABM 8 求此时的二次函数的解析式 课后训练 7 如图 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 A点坐标为 8 0 B点坐标为 2 0 以AB的中点P为圆心 AB为直径作 P与y轴的负半轴交于点C 1 求图象经过A B C三点的抛物线的解析式 2 设M点为 1 中抛物线的顶点 求出顶点M的坐标和直线MC的解析式 3 判定 2 中的直线MC与 P的位置关系 并说明理由 课后训练 四 二次函数的应用 二次函数 某市近年来经济发展速度很快 根据统计 该市国内生产总值1990年为8 6亿元人民币 1995年为10 4亿元人民币 2000年为12 9亿元人民币 经论证 上述数据适合一个二次函数关系 请你根据这个函数关系 预测2005年该市国内生产总值将达到多少 引例 函数应用题的解题模型 二次函数 例1 如图所示 某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场 新建墙的总长为30米 1 如图 设长方形的一条边长为x米 则另一条边长为多少米 2 设长方形的面积为y平方米 写出y与x之间的关系式 3 若要使长方形的面积为72平方米 x应取多少米 x 例2 国家对某种产品的税收标准原定每销售 元需缴税 元 即税率为 台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品 吨 每吨 元 国家为了减轻工人负担 将税收调整为每 元缴税 元 即税率为 这样工厂扩大了生产 实际销售比原计划增加 1 写出调整后税款 元 与 的函数关系式 指出 的取值范围 2 要使调整后税款等于原计划税款 销售 吨 税率为 的 求 的值 某旅社有100张床位 每床每晚收费10元时 客床可全部租出 若每床每晚收费提高2元 则减少10张床位租出 若每床每晚收费再提高2元 则再减少10张床位租出 以每次提高2元的这种方法变化下去 为了投资少而获利大 每床每晚应提高 A 4元或6元B 4元C 6元D 8元 练习1 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出20件 每件盈利40元 为了扩大销售 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价一元 商场平均每天可多售出2件 问每件衬衫降价多少元时 商场平均每天盈利最多 最大盈利为多少 练习2 o 1 求拱顶离桥面的高度 2 若拱顶离水面的高度为27米 求桥的跨度 例3 有一个抛物线形的拱形桥 建立如图所示的直角坐标系后 抛物线的解析式为y x2 1 例4 改革开放后 不少农村用上自动喷灌设备 如图所示 设水管AB高出地面1 5m 在B处有一个自动旋转的喷头 一瞬间 喷出水流呈抛物线状 喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45 角 水流最高点C比喷头高出2m 在所建的坐标系中 求水流的落地点D到A点的距离是多少米 作CF AD于F 作BE CF于E 连结BC 易知OF BE CE 2 EF OB 1 5 CF 2 1 5 3 5 B 0 1 5 C 2 3 5 设所求抛物线的解析式为 y a x 2 2 3 5 当x 0时 y 1 5 即a 0 2 2 3 5 1 5 舍 二次函数 某幢建筑物 从10米高的窗口A用水管向外喷水 喷出的水呈抛物线状 抛物线所在平面与墙面垂直 如图建立平面直角坐标系 如果抛物线的最高点M离墙1米 离地面米 求水流落地点B离墙的距离OB是多少米 O x y A B M 顶点坐标 1 过点 0 10 解析式 令y 0 x 1 x 3 OB 3米 练习3 O y A B 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线 在跳某个规定动作时 正常情况下 该运动员在空中的最高处距水面米 入水处距池边的距离为5米 同时 运动员在距水面5米以前 必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势 否则就会出现失误 1 求这条抛物线的解析式 2在某次试跳中 测得运动员在空中的运动路线是 1 中的抛物线 且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为米 问此次跳水会不会失误 并能过计