高中数学必修2点线面常用定理汇总

圆梦教育中心圆梦教育中心 专注高中教育专注高中教育 高中数学必修高中数学必修 2 2 点 线 面知识小结点 线 面知识小结 第一部分第一部分 课本相关概念课本相关概念 一 一 关于异面直线 1 定义 定义 不同在任一平面的两条直线 既不平行也不相交的两条直线 2 异面直线夹角 异面直线夹角 对于异面直线 和 在空间任取一lm 点 过分别作 和的平行线和 我们把和PPlm 1 l 1 m 1 l 所成的角叫做异面直线 和所成的角 1 mlm 其中 2 0 3 异面直线的公垂线异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线 两异面直线的公垂线段有且仅有一条 说明 两直线所成角的范围 2 0 二 关于线面角二 关于线面角 1 直线与平面斜交 直线与平面斜交 当直线与平面相交且不垂直时 称 直线与平面斜交 直线叫做平面的斜线 2 斜线与平面所成的角 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上 的射影所成的锐角 2 0 当直线与平面垂直时 直线与平面所成角为 90 3 直线与平面所成角 直线与平面所成角 记作 2 0 三 关于二面角三 关于二面角 1 1 半平面 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分 其中每一个部分都叫做一个半平面 2 2 二面角 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 这条直线称为二面角的棱 两个半平面称为二面角的面 3 3 二面角的平面角 二面角的平面角 以二面角棱上任意一点为端点 在 两个面内分别做垂直于棱的两条射线 这两条射线所成 的角 二面角的大小用它的平面角的大小来表示 平面角是直角的二面角称为直二面角 4 4 二面角的范围 二面角的范围 记作 0 四 空间中的距离问题 四 空间中的距离问题 1 1 点到直线的距离 点到直线的距离 直线外一点到直线的垂线段长 2 2 点到平面的距离 点到平面的距离 平面外一点到平面的垂线段长 3 3 两异面直线间的距离 两异面直线间的距离 两异面直线间公垂线段的长 4 平行直线到平面的距离 平行直线到平面的距离 直线上任一点到平面的距离 5 两平行平面间的距离 两平行平面间的距离 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 五 空间中的位置关系 五 空间中的位置关系 1 点与直线的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 2 点与平面的位置关系 点与平面的位置关系 点在平面内 点不在平面内 3 两直线的位置关系 两直线的位置关系 相交 平行 异面 空间中垂直有两种 相交垂直和异面垂直 4 直线与平面间的位置关系 直线与平面间的位置关系 直线与平面平行 直 l 线与平面相交 直线在平面内Pl l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种 直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平 面内 5 平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 相交 平行 重合 l 第二部分第二部分 课本公理定理课本公理定理 公理公理 1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这 条直线在此平面内 BAlBlA 且 l 用途 常用来判断点在平面内 或者直线在平面内 公理公理 2 2 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 推论推论 过直线与直线外一点 有且仅有一个平面 过两条相交直线 有且仅有一个平面 过两条平行直线 有且仅有一个平面 用途 常用来确定平面 公理公理 3 3 若两个不重合的平面有一个公共点 则它们有 且只有一条过该点的公共直线 PP且 lPl 且 用途 证明两平面相交 或三点共线 或三线共点 公理公理 4 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ba cb ca 空间等角定理空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 若方向相同 则两角相等 若方向相反 则两角互 补 异面直线的判定定理异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直 线 与平面内不经过该点的直线是异面直线 和 是异面直线lBBAl ABl 线面平行判定定理线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平面 内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 mlml l 圆梦教育中心圆梦教育中心 专注高中教育专注高中教育 面面平行判定定理面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分别 与另一个平面平行 则这两个平面平行 baPbaba 推论推论 若一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两 条直线分别平行 则这两个平面平行 lmmblaPbaba 线面平行性质定理线面平行性质定理 若一条直线与一个平面平行 过这 条直线的任意平面与此平面相交 则交线与该直线平行 lmm lm 面面平行性质定理面面平行性质定理 若两个平行平面同时和第三个平面 相交 则它们的交线平行 ml ml 面面平行性质一面面平行性质一 若两平面平行 则其中一个平面内任 一直线必平行于另一平面 l l 面面平行性质二面面平行性质二 平行于同一平面的两平面相互平行 面面平行性质三面面平行性质三 夹在两平行平面间的平行线段相等 BDACDCBA BDAC 面面平行性质四面面平行性质四 若两直线被三个平行平面所截 则截 得的对应线段成比例 线面垂直判定定理线面垂直判定定理 若一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直 则该直线垂直于此平面 nlmlPnmnm l 面面垂直判定定理面面垂直判定定理 若一个平面过另一个平面的一条垂 线 则这两个平面互相垂直 ll 线面垂直性质一线面垂直性质一 若一条直线垂直于一个平面 则它垂 直于平面内的所有直线 nl nl 线面垂直性质二线面垂直性质二 若一条直线垂直于垂直于两个平行平 面中的一个平面 则它也垂直于另一个平面 l l 线面垂直性质三线面垂直性质三 垂直于同一个平面的两条直线平行 nl nl 线面垂直性质四线面垂直性质四 垂直于同一直线的两平面平行 ll 线面垂直性质五线面垂直性质五 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 lnl n 面面垂直性质一面面垂直性质一 若两个平面垂直 则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直 nlnl l 面面垂直性质二面面垂直性质二 若两个平面垂直 则过一个平面内一 点与另一个平面垂直的直线在该平面内 llPP l 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 若和这个平面的一 条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂直 ABllPBAPA PAl 三垂线逆定理 三垂线逆定理 在平面内的一条直线 若和这个平面的 一条斜线垂直 则它也和这条斜线的射影垂直 PAllPBAPA ABl 射影长定理射影长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和 斜线段中 垂线段比任何一条斜线段都短 斜线段相等 射影也相等 斜线段较长 射影长也较 长 射影相等 斜线段也相等 射影较长 斜线段也较长 关于射影的补充定理关于射影的补充定理 若平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角 的两边成等角 则这条斜线在这个平面上的射影是这个 角的角平分线所在直线 第三部分第三部分 立体几何中的唯一性定理辨析立体几何中的唯一性定理辨析 1 经过平面外一点 有无数条直线和已知平面平行 经过平面外一点 有且只有一个平面和已知平面平行 2 经过平面外一点 有且只有一条直线和已知平面垂直 经过平面外一点 有无数个平面和已知平面垂直 3 经过直线外一点 有且只有一条直线和已知直线平行 经过直线外一点 有无数个平面和已知直线平行 4 经过直线外一点 有且只有一条直线和已知直线垂直 经过直线外一点 有无数个平面和已知直线垂直 第四部分第四部分 关于平行的判定方法关于平行的判定方法 一 线线平行的判定一 线线平行的判定 1 定义法 定义法 在同一平面内 没有公共点的两条直线 lmlm lm 2 平行公理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ba cb ca 3 线面平行性质定理线面平行性质定理 若一条直线与一个平面平行 过 这条直线的任意平面与此平面相交 则交线与该直线平 行 圆梦教育中心圆梦教育中心 专注高中教育专注高中教育 lmm lm 4 面面平行性质定理面面平行性质定理 若两个平行平面同时和第三个平 面相交 则它们的交线平行 ml ml 5 线面垂直性质线面垂直性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 nl nl 二 线面平行的判定二 线面平行的判定 1 定义法 定义法 直线与平面无公共点 l l 2 线面平行判定定理线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平 面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 mlml l 3 面面平行性质面面平行性质 若两平面平行 则其中一个平面内任 一直线必平行于另一平面 l l 三 面面平行的判定三 面面平行的判定 1 定义法 定义法 两个平面没有公共点 2 面面平行判定定理面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分 别与另一个平面平行 则这两个平面平行 baPbaba 3 面面平行判定定理推论面面平行判定定理推论 若一个平面内两条相交直线 与另一个平面内的两条直线分别平行 则这两个平面平 行 lmmblaPbaba 第五部分第五部分 关于垂直的判定方法关于垂直的判定方法 一 线线垂直的判定一 线线垂直的判定 1 定义法 定义法 两直线所成角为 o 90 两直线所成角 是两直线相交所得较小的角 也可 以是异面直线平移后相交所得较小的角 2 线面垂直性质 线面垂直性质 若一条直线垂直于一个平面 则它垂 直于平面内的所有直线 nl nl 3 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 若和这个平面的 一条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂直 ABllPBAPA PAl 4 三垂线定理的逆定理 三垂线定理的逆定理 在平面内的一直线 若和这个平 交线的直线与另一个平面垂直 nlnl l 二 线面垂直的判定二 线面垂直的判定 1 定义法 定义法 若直线和平面相交 并且和这个平面内的任 意一条直线都垂直 则称这条直线和这个平面互相垂直 2 线面垂直判定定理线面垂直判定定理 若一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直 则该直线垂直于此平面 nlmlPnmnm l 3 线面垂直性质线面垂直性质 若一条直线垂直于垂直于两个平行平 面中的一个平面 则它也垂直于另一个平面 l l 面的一条斜线垂直 则它也和这条斜线