二重积分学习总结

高等数学论文 二重积分学习总结 姓名 徐琛豪 班级 安全工程02班 学号 1201050221 完成时间 2013年6月2日 二重积分二重积分 本章学习目标本章学习目标 理解二重积分的概念与性质 了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联 系 会用性质比较二重积分的大小 估计二重积分的取值范围 领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限 如何改换二次积分的积分 次序 并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系 熟练掌握直角坐标系和极坐 标系下重积分的计算方法 掌握曲顶柱体体积的求法 会求由曲面围成的空间区域的体积 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 1 二重积分定义二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义 必须首先引入二重积分的两 个 原型 一个是几何的 原型 曲顶柱体的体积如何计算 另 一个是物理的 原型 平面薄片的质量如何求 从这两个 原型 出发 对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了 在二重积分的定义中 必须要特别注意其中的两个 任意 一 是将区域 D 成 n 个小区域的分法要任意 二是在每个 12 n 小区域上的点的取法也要任意 有了这两个 任意 i iii 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一0 个极限 才能称二元函数在区域 D 上的二重积分存在 f x y 2 明确二重积分的几何意义 1 若在 D 上 0 则表示以区域 D 为底 以 f x y d D f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积 特别地 当 1 时 f x y f x y 表示平面区域 D 的面积 d D f x y 2 若在 D 上 0 则上述曲顶柱体在 Oxy 面的下方 二 f x y 重积分的值是负的 其绝对值为该曲顶柱体的体积 d D f x y 3 若在 D 的某些子区域上为正的 在 D 的另一些子区域 f x y 上为负的 则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 d D f x y 即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体 的体积 3 二重积分的性质 即线性 区域可加性 有序性 估值不等 式 二重积分中值定理都与一元定积分类似 有序性常用于比较两 个二重积分的大小 估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范 围 在用估值不等式对一个二重积分估值的时候 一般情形须按求 函数在闭区域 D 上的最大值 最小值的方法求出其最大值与 f x y 最小值 再应用估值不等式得到取值范围 主要概念梳理主要概念梳理 1 二重积分的定义 设二元函数 f x y 在闭区域 D 上有定义且有 界 分割分割 用任意两组曲线分割 D 成 n 个小区域同 12 n 时用表示它们的面积 其中任意两小块和 i 1 2 in i 除边界外无公共点 既表示第 i 小块 又表示第 i 小块的 j ij i 面积 近似 求和近似 求和 对任意点 作和式 iii 1 n iii i f 取极限取极限 若为的直径 记 若极限 i i 12 max n 0 1 lim n iii i f 存在 且它不依赖于区域 D 的分法 也不依赖于点的取法 ii 称此极限为 f x y 在 D 上的二重积分 记为 0 1 dlim n ii i D f x yf 称f x y 为被积函数 D为积分区域 x y为积分变元 为面积微d 元 或面积元素 2 2 二重积分二重积分 的几何意义的几何意义 d D f x y 1 若在 D 上 f x y 0 则表示以区域 D 为底 以 d D f x y f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积 2 若在 D 上 f x y 0 则上述曲顶柱体在 Oxy 面的下方 二 重积分 的值是负的 其绝对值为该曲顶柱体的体积 d D f x y 3 若 f x y 在 D 的某些子区域上为正的 在 D 的另一些子区域 上为负的 则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 d D f x y 即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体 的体积 3 3 二重积分的存在定理 二重积分的存在定理 3 1 若 f x y 在有界闭区域 D 上连续 则 f x y 在 D 上的二重积 分必存在 即 f x y 在 D 上必可积 3 2 若有界函数 f x y 在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限个 光滑曲线外都连续 则 f x y 在 D 可积 4 4 二重积分的性质 二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质 假设下面各性质中所涉及的函 数 f x y g x y 在区域 D 上都是可积的 性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积 且函数代数和的 积分等于各函数积分的代数和 即 d d d DDD f x yg x yf x yg x y 性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面 即 d d DD kf x ykf x yk 为常数 性质 3 若 D 可以分为两个区域 D1 D2 它们除边界外无公共 点 则 12 d d d DDD f x yf x yf x y 性质 4 若在积分区域 D 上有 f x y 1 且用 S D 表示区域 D 的面积 则 d D S D 性质 5 若在 D 上处处有 f x y g x y 则有 d d DD f x yg x y 推论 d d DD f x yf x y 性质 6 估值定理 若在 D 上处处有 m f x y M 且 S D 为区 域 D 的面积 则 d D mS Df x yMS D 性质 7 二重积分中值定理 设 f x y 在有界闭区域 D 上连续 则在 D 上存在一点 使 d D f x yfS D 数学思想方法数学思想方法 二重积分是一元函数定积分的推广与发展 它们都是某种形式 的和的极限 即分割求和 取极限 故可用微元法的思想来理解二 重积分的概念与性质 2 在直角坐标系中二重积分的计算在直角坐标系中二重积分的计算 本章的重点是二重积分的计算问题 而直角坐标系中二重积分 的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定 X 型区域还是 Y 型区域 这也是本章的难点 直角坐标系中二重积分计算的基本技巧 直角坐标系中二重积分计算的基本技巧 1 在定积分计算中 如果 D 的形状不能简单地用类似 或的形式来表示 则我们可以将 12 xyx axb 12 yxy cyd D 分成若干块 并由积分性质 12 d d d DDD f x yf x yf x y 对右端各式进行计算 2 交换积分次序不仅要考虑到区域 D 的形状 还要考虑被积函 数 的特点 如果按照某一积分次序的积分比较困难 若交换积分次序 后 由于累次积分的积分函数 一元积分 形式发生变化 可能会使 新的积分次序下的积分容易计算 从而完成积分的求解 但是无论 是先对x积分 再对 y 积分 还是先对 y 积分 再对x积分最终计算 的结果应该是相同的 一般的处理方法是由积分限确定积分区域 D 并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分 具体步骤如下 确定 D 的边界曲线 画出 D 的草图 求出 D 边界曲线的交点坐标 将 D 的边界曲线表示为 x 或 y 的单值函数 考虑是否要将 D 分成几块 用 x y 的不等式表示 D 注 在积分次序选择时 应考虑以下几个方面的内容 保 证各层积分的原函数能够求出 若 D 为 X 型 Y 型 先对 x y 积分 若 D 既为 X 型又为 Y 型 且满足 时 要使对 D 的分块最少 3 利用对称性等公式简化计算 设 f x y 在区域 D 上连续 则 当区域 D 关于 x 轴对称 若 则 0 f xyf x y d D f x y 若 则 2 其中 D1为 D f xyf x y d D f x y 1 d D f x y 在 x 轴上方部分 当区域 D 关于 y 轴对称 若 则 0 fx yf x y d D f x y 若 则 2 其中 D2为 D fx yf x y d D f x y 2 d D f x y 在 y 轴右侧部分 当区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称 若或 则 0 fx yf x y f xyf x y d D f x y 若 则 4 其中 D1 f xyfx yf x y d D f x y 1 d D f x y 为 D 在第一象限部分 轮换对称式 设 D 关于直线对称 则 yx d D f x y d D f y x 主要概念梳理主要概念梳理 直角坐标系中二重积分计算直角坐标系中二重积分计算 当被积函数 f x y 0 且在 D 上连续时 若 D 为 X 型区域 12 xyx D axb 则 2 1 d dd d bx Dax f x yx yxf x yy 若 D 为 Y 型区域 12 yxy D cyd 则 2 1 d dd d dy Dcy f x yx yyf x yx 说明 若积分区域既是 X 型区域又是 Y 型区域 则有 22 11 d dd dd d bxdy Daxcy f x yx yxf x yyyf x yx 3 在极坐标系中二重积分的计算在极坐标系中二重积分的计算 极坐标系中二重积分计算的基本技巧 极坐标系中二重积分计算的基本技巧 1 一般地 如果积分区域是圆域 扇形域或圆环形域 且被积 函数为 22 f xy 等形式时 计算二重积分时 往往采用极坐标系来计算 y f x x f y 主要概念梳理主要概念梳理 利用极坐标系计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆 r 常数及射线 常数 分划区域 D 为 则 1 2 k kn d cos sin d d DD f x yf rrrr 特别地 若 12 r D 则有 2 1 cos sin d dd cos sin d D f rrrrf rrrr 若 0 r D 则有 0 cos sin d dd cos sin d D f rrrrf rrrr 若 0 02 r D 则有 2 00 cos sin d dd cos sin d D f rrrrf rrrr 9 4 二重积分的应用二重积分的应用 二重积分的应用主要在几何方面和物理方面 几何应用之一是 求曲线所围成的面积 应用之二是求曲面所围成的立体的体积 物 理应用主要是平面薄片的质量 主要概念梳理主要概念梳理 1 空间立体的体积 V 设空间立体由曲面与所围成 在 1 zf x y 2 zg x y 面投影为平面区域 D 并且 则xoy f x yg x y 或 d D Vf x yg x y Vdv 2 曲面面积 S 设光滑曲面 为 则 其中为 zz x y 22