3.3.2利用导数研究函数的极值

评测练习评测练习 1 设函数 则 x f xxe A 为 f x 的极大值点 B 为 f x 的极小值点 1x 1x C 为 f x 的极大值点 D 为 f x 的极小值点1x 1x 答案 D 2 若函数有极大值和极小值 则 32 6f xxxaxa A B C D 17 3 a 17 3 a 17 3 a 17 3 a 答案 D 3 已知函数 则当取得极大值时 x 的值应为 42 1 4 2 f xxx f x A B C D 1 2 1 2 0 1 2 答案 C 解析 由函数的解析式可得 11 elneeln xxx fxxx xx 则 1 1 1eln1e 1 f 即 1 f 的值为e 4 已知等比数列是函数的两个极值点 则 26 n aa a 32 9123f xxxx 4 a 答案 2 5 已知函数在 0 1 内有极小值 则b的取值范围是 3 63f xxbxb A 0 B C D 0 1 1 0 2 2 1 答案 B 6 本小题满分 14 分 已知函数 32 f xxaxbx 1 当 2 bf x 时 在 1 上是增函数 求实数 a 的取值范围 2 当 1 3 3 bf xx 时在 处取得极值 求函数 f x 在 1 a 上的值域 答案 解 1 32 2 2 322f xxaxxfxxax 2 因为 f x 在 1 上是增函数 所以 2 3220fxxax 在区间 1 上横成立 4 即 2 2 322 232 2 23 x axxaax xx 即 在区间 1 上横成立 6 令 2 3g xx x 2 2 30g x x g x 在 1 上单调增函数 所以 1 2 1 1 2 aga 即 7 2 32 2 3 323f xxaxxfxxax 因为 1 3 f xx 在 处取得极值 所以 1 3 f 0 得出 5 a 9 2 3103 31 3 fxxxxx 令 1 0 3 3 fxxx 得 11 f x 在 1 3 上为减函数 在 3 5 上增函数 又 1 1 5 15 maxmax 1 5 15 min 3 9 fffff 13 所以 函数 1f xa在 上的值域为 9 15 14 7 已知函数 其中 a 为常数 2 ln x f x xa 1 若 a 0 求函数 f x 的极值 2 若函数 f x 在 0 a 上单调递增 求实数 a 的取值范围 答案 解析 1 当0a 时 2 ln x f x x 的定义域为 0 3 1 2ln x fx x 令 0fx 得xe 当 0 xe 时 0fx f x在 0 e上单调递增 当 xe 时 0fx f x在 e 上单调递减 当xe 时 f x的极大值为 1 2 fe e 无极小值 2 3 12ln a x x fx xa f xQ 0 a 上单调递增 0fx 在 0 xa 上恒成立 3 0 0 xaxaQ 只需12ln0 a x x 在 0 xa 上恒成立 2 lnaxxx 在 0 xa 上恒成立 令 2 ln 0 g xxxx xa 则 2ln1g xx 令 0g x 则 1 2 xe 若 1 2 0 ae 即 1 2 0ea 时 0g x 在 0 xa 上恒成立 g x在 0 a 上单调递减 2 ln aaaa ln 0a 11aa 这与 1 2 ae 矛盾 舍去 若 1 2 ae 即 1 2 ae 时 当 1 2 0 xe 时 0g x g x在 1 2 0 e 上单调递减 当 1 2 xea 时 0g x g x在 1 2 ea 上单调递增 当 1 2 xe 时 g x有极小值 也是最小值 11111 22222 min 2ln2g xg eeeee 1 2 2ae 综上 1 2 2ae 8 已知函数 x f xxexR 1 求函数的单调区间和极值 f x 2 若有两个零点 求实数 a 的范围 2 1 21 2 g xf xa xx 答案 解析 1 根据 1 xxx fxexeex 令 0fx 解得1x 当x变化时 fx f x的变化情况如 下表 x 1 1 1 fx0 00 f x 递减 1 e 递增 函数 f x的增区间为 1 减区间为 1 函数在处取的极小值 无极大值 4 分 f x1x 1 1f e 2 由 2 1 21 2 x g xxea xx 则 1 x gxxea 当0a 时 x g xxe 易知函数 g x只有一个零点 不符合题意 5 分 当0a 时 在 1 上 0gx g x单调递减 在 1 上 0gx g x单调递增 又 1 10g e 120gea 当x 时 g x 所以函数 g x有两个零点 7 分 当 1 0a e 时 在 lna 和 1 上 0gx g x单调递增 在 ln 1a 上 0gx g x单调递减 又 21 lnlnln 2 gaa aaa 211 lnln10 22 aaaa 所以函数 g x至多一个零点 不符合题 意 9 分 当 1 a e 时 在 1 和 ln a 上 0gx g x单调递增 在 1 lna 上 0gx g x单调递