图形的相似复习

第第 2424 章章 图形的相似图形的相似 一 知识要点一 知识要点 1 相似图形 2 成比例线段 注 线段的比有顺序性 线段成比例也有顺序性 在求线段的比或是运用 线段成比例性质时 单位必须统一 3 比例中项 则 b 叫做比例中项 acb c b b a 2 4 相似三角形 形状相同 大小不一定相同的三角形 相似比 相似图形 三角形 的对 应边的比值 5 全等三角形 形状 大小都相同的三角形 相似比等于 1 时的相似三角形 全等三角形 是特殊的相似三角形 6 三角形的中位线及定理 7 三角形的重心及性质 8 梯形的中位线及定理 9 判断四条线段是否成比例的方法 1 将四条线段按大小顺序排列 计算前两条线段的比与后两条线段的比 若两比相等 则四条线段成比例 若不相等 则不成比例 2 计算最长线段与最短线段的积以及另两条线段的积 若两积相等 则四条线段成比例 若不相等 则不成比例 1 平行出比例 定理及逆定理 1 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对 应线段成比例 1 3 2 几何表达式举例 1 DE BC EC AE DB AD 2 DE BC AB AE AC AD 3 DE BC EC AE DB AD 2 比例的基本性质 a b c d ad bc d c b a 3 定理 平行 出相似 平行于三角形一边的直线和其它两边 或 两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三 角形相似 B A C D E 几何表达式举例 DE BC ADE ABC 4 定理 AA 出相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 几何表达式举例 A A 又 AED ACB ADE ABC A C D E B B A C D E B A C DE A BC DE 三 常识 1 三角形中 作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线 2 相似形有传递性 即 1 2 2 3 1 3 四 位似 1 位似图形 如果两个多边形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 且每组对应边 互相平行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称 为位似比 2 掌握位似图形概念 需注意 位似是一种具有位置关系的相似 所以两个图形是位似 图形 必定是相似图形 而相似图形不一定是位似图形 两个位似图形的位似中心只有 5 定理 SAS 出相似 如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 几何表达式举例 AC AB AE AD 又 A A ADE ABC 6 双垂 出相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形和原三角形相似 几何表达式举例 1 AC CB 又 CD AB ACD CBD ABC 7 相似三角形性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线 周长的比都等于相似比 3 相似三角形面积的比 等于相似比的平方 1 ABC EFG EG AC FG BC EF AB BAC FEG 2 ABC EFG 又 AD EH 是对应中线 EF AB EH AD 3 ABC EFG 2 EFG ABC EF AB S S 8 位似图形的性质 对应顶点的 连线经过位似中心 对应边平行 或在同一条直线上 对应顶点到 位似中心的距离之比等于相似比 9 位似图形的画法 确定位似中 心 找关键点 连线 10 表示物体的位置用坐标确定位置 用角度和距离确定位置 11 图形的变换与坐标 平移 旋转 轴对称 放大或缩小 平移 左右平移 上下平移坐标的变化 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称的坐标变化 放大或缩小 位似中心为坐标原点时 放大或缩小后的各点坐标变化 A C D E B A C D B E A BFCDGH 一个 两个位似图形可能位于位似中心的两侧 也可能位于位似中心的同一侧 位似 比就是相似比 利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似 3 位似图形首先是相似图形 所以它具有相似图形的一切性质 位似图形是一种特殊的相 似图形 它又具有特殊的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比 相似比 4 利用位似 可以将一个图形放大或缩小 作图时要注意 首先确定位似中心 位似中 心的位置可随意选择 确定原图形的关键点 如四边形有四个关键点 即它的四个顶点 确定位似比 根据位似比的取值 可以判断是将一个图形放大还是缩小 符合要求的 图形不惟一 因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关 并且同一个位似中心的两 侧各有一个符合要求的图形 专题 1 比例及成比例线段 例 1 如图 ABC 是顶角为 36 的等腰三角形 底与腰的比 为的三角形是黄金三角形 若 ABC BDC DEC 2 15 都是黄金三角形 已知 AB 4 则 DE 例 2 已知 a b c 是 ABC 的三边 满足12 3 8 2 3 3 4 cba cba 且 1 试求 a b c 的值 2 判断 ABC 的形状 专题 2 相似三角形的判定 例 3 如图 ABC 是等边三角形 CE 是外角角平分线 点 D 在 AC 上 连结 BD 并延长与 CE 交于点 E 1 求证 ABD CED 2 若 AB 6 AD 2CD 求 BE 的长 B A C D E D C B A E F 专题 3 相似三角形的性质 例 4 在一长为 8 宽为的矩形中 恰好截出三块形状相同 32 大小不等的直角三角形 且三角形的顶点都在矩形上 其中面积 最小的直角三角形的较短直角边的长是 专题 4 相似三角形的应用 例 5 如图 AB 3AC BD 3AE 又 BD AC 点 B A E 在同一条直线上 1 求证 ABD CAE 2 如果 AC BD AD BD 设 BD a 求 BC 的长 22 专题 5 三角形 梯形的中位线 例 6 如图 四边形 ABCD 中 顺次连结四边形 ABCD 各边BDACbBDaAC 且 中点 得到四边形 A1B1C1D1 在顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点 得到四边形 A2B2C2D2 如此进行下去 得到四边形 AnBnCnDn 下列结论正确的有 1 四边形 A2B2C2D2是矩形 2 四边形 A4B4C4D4是菱形 3 四边形 A5B5C5D5的周长是 4 ba 4 四边形 AnBnCnDn的面积是 1 2 n ab 专题 6 位似 例 7 如图 正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的 若 AB FG 2 3 则 下列结论正确的是 A 2DE 3MN B 3DE 2MN C 3 A 2 F D 2 A 3 F 专题 7 图形在坐标系中的变换 例 8 如下图 在对 Rt OAB 依次进行位似 轴对称和平移变换后得到 BAORt 1 在坐标纸上画出这几次变换相应的图形 2 设 P x y 为 OAB 边上任一点 依次写出这几次变换后点 P 对应点的坐标 B C D A E E D C B A D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 A1 D C B A A B C A C B 例 9 分类讨论 如图 ABC 中 C 90 BC 8cm 5AC 3AB 0 点 P 从点 B 出发 沿 BC 方向以 2cm s 的速度移动 点 Q 从点 C 出发 沿 CA 方向以 1c