2010年全国湖高二数学联合竞赛预赛试题新人教版（湖北卷）

1 20102010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 高二年级 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设 8 分和 0 分两档 第 9 小题 4 分一档 第 10 11 小题 5 分为一个档次 请严格按照本评分标准的评分档次给分 不要增加其他中 间档次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 直接将答案写在横线上 1 数列满足 且 记前项的 n a3 1 21 aa 12 Nnaaa nnn n an 和为 则 89 n S 100 S 2 在 中 已知的平分线交AC于K 若BC 2 CK 1 则 ABCB 2 23 BK 的面积为 ABC 16 715 3 设 则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数100 n n ba 为 98 n 4 在小于 20 的正整数中 每次不重复地取出 3 个数 使它们的和能被 3 整除 不同 的取法种数为 327 5 若均为正实数 且 则的最小值为 zyx 1 222 zyx xyz z S 2 1 2 223 6 设椭圆的左 右焦点分别为 为椭圆上异于长轴端点的一点 1 4 2 2 y x 21 F FM 的内心为I 则 12 2FMF 12 MFF cos MI32 7 对于一切 不等式恒成立 则实数的取值范围 2 1 2 x01 23 xxaxa 为 110 a 8 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上 且任意三个相邻的数之和不小 于 58 所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 二 解答题 本大题满分 56 分 第 9 题 16 分 第 10 题 20 分 第 11 题 20 分 2 9 已知数列中 且 n a 4 1 1 21 aa 4 3 2 1 1 n an an a n n n 1 求数列的通项公式 n a 2 求证 对一切 有 Nn 6 7 1 2 n k k a 解 1 由已知 对有 2 n 1 1 1 1 1 1 nan n an an a nn n n 两边同除以n 得 1 1 1 11 1 nnanna nn 即 4 分 1 1 1 1 11 1 nnanna nn 于是 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 nkkakka n k n k kk 即 2 1 1 1 1 1 1 2 n naan n 所以 1 23 1 1 1 1 1 1 2 n n naan n 2 23 1 n n an 又时也成立 故 8 分1 n 23 1 Nn n an 2 当 有2 k 12 分 13 1 43 1 3 1 13 43 1 23 1 2 2 kkkkk ak 所以时 有2 n 13 1 43 1 8 1 5 1 5 1 2 1 3 1 11 2 2 1 2 nn aa n k k n k k 6 7 6 1 1 13 1 2 1 3 1 1 n 又时 1 n 6 7 1 2 1 a 3 故对一切 有 16 分 Nn 6 7 1 2 n k k a 10 设 求使为完全平方数的整数的值 313116 234 xxxxPPx 解 10 3 13 22 xxxP 所以 当时 是完全平方数 5 分10 x 2 131 P 下证没有其它整数满足要求 x 1 当时 有 10 x 22 13 xxP 又 所以 03132 3 222 xxxxP 22 3 xxP 从而 2222 13 3 xxPxx 又 所以此时不是完全平方数 10 分Zx P 2 当时 有 令 10 x 22 13 xxPZyyP 2 则 即 13 2 xxy 13 1 2 xxy 所以 222 13 1 2 xxyy 即 01 13 2 10 3 2 xxx 解此不等式 得的整数值为 但它们对应的均不是完全平x6 5 4 3 0 1 2 P 方数 综上所述 使为完全平方数的整数的值为 10 20 分Px 11 已知直线与椭圆C 交于两点 过椭圆C的右焦点 xy 1 1116 22 yx BA F 倾斜角为的直线 交弦于点 交椭圆于点 lABPCNM 1 用表示四边形的面积 MANB 2 求四边形的面积取到最大值时直线 的方程 MANBl 解 1 直线的倾斜角为 记 则 MN MFO 222 2 222 2 cos 2 cos 2 ca ab ca ab MN 而与所成的角为 则四边形面积ABMN 4 MANB 4 5 222 2 cos cossin 2 4 sin 2 1 ca abOAMNABSMANB 分 而 A 点坐标为 且 5 11 16 222 cba 9 334 9 334 9 664 OA 从而 22 cos516 cossin 9 33352 cos516 cossin 9 33352 MANB S 其中或 10 分 59334 334 arctan0 59334 334 arctan 2 记 而只可能在时 2 cos516 cossin f f 59334 334 arctan 才可能取到最大值 对求导数得到 f 22 2 cos516 sincos10 cos sin cos516 sin cos f 令 则有0 f 15 分0 tan10 1 tan 11tan16 tan1 2 化简得到 011tan21tan6