高中理科数学公式总汇

高中理科数学公式总汇 第 1 页 高中理科数学公式总汇高中理科数学公式总汇 一 公式一 公式 22222 2 aabbababab ab 33223322 abab aabbabab aabb 2 xab xabxa xb 二 简单分式不等式的解法二 简单分式不等式的解法 1 0 0 0 0 xgxf xg xf 2 0 0 0 0 0 xgxgxf xg xf 且 三 绝对值不等式的解法 三 绝对值不等式的解法 1 axaxaax 或 0 推广 acbxacbxaacbx 或 0 2 axaaax 0 推广 acbxaaacbx 0 四 集合 常用逻辑用语四 集合 常用逻辑用语 1 区分集合中元素的形式 如 函数的定义域 xyxlg 函数的值域 函数图象上的点集 xyylg xyyxlg 2 集合的子集有个 真子集有 个 12 n a aa n 212 n 3 1 则 p 是 q 的充分不必要条件 pqqp 且 2 则 p 是 q 的必要不充分条件 pqqp 且 3 则 p 是 q 的充要条件 qp 4 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 pqqp 且 高中理科数学公式总汇 第 2 页 五 函数五 函数 1 1 奇函数 奇函数 是奇函数 则 1 定义域关于原点对称 2 图像关于原点对 xfy 称 3 4 若 则 0 5 在区间和 xfxf xR 0 f ba 具有相同的单调性 ab 0 ab 2 2 偶函数 偶函数 是偶函数 则 1 定义域关于原点对称 2 图像关于轴对 xfy y 称 3 4 在区间和 具有相反的单调 fxf x ba ab 0 ab 性 3 3 单调性 单调性 区间 D 若 时 一致 是 D 上 1 x 2 x 1 x 2 x 1 xf 2 xf xf 的增函数在 D 上 0 xf 若 相反 是 D 上的减函数在 D 上 1 x 2 x 1 xf 2 xf xf 0 xf 注意 注意 复合函数由同增异减判定其单调性 4 4 周期性 周期性 若 则 xfaxf aT 若 则 若 则 xfaxf aT2 1 0 f xaa f x 2Ta 5 5 基本函数图象 基本函数图象 1 指数函数 a 0 且 a 1 x ay 当时 当时10 a1 a x y 0 1 x y 0 1 2 对数函数 a 0 且 a 1 xy a log 0 x 当时 当时10 a1 a 高中理科数学公式总汇 第 3 页 x y 0 1 x y 0 1 3 与是互为反函数 图像关于轴对称 x ay 10 log aaxy a 且xy 4 幂函数 xy R 常用的幂函数 0 yx yx 2 yx 3 yx 1 yx 2 yx 1 2 yx 1 3 yx 6 6 基本不等式 基本不等式 一正 二定 三相等 1 求和的最小值 abba2 要求 当且仅当时取 0 ba为定值abba 若积是定值 则当abp2abbp 时 和a有最小值 2 求积的最大值 2 2 ba ab 要求 当且仅当时取 0 ba为定值ba ba 若和是定值 则当ab s 2 4 s ab 时 积ab有最大值 七 不等式综合问题七 不等式综合问题 1 mxfmxf min 恒成立 等价于 2 mxfmxf max 恒成立 等价于 3 对 都有Dxx 21 minmax21 xgxfxgxf 4 上能成立 等价于 mxfDx mxf max 高中理科数学公式总汇 第 4 页 5 上能成立 等价于mxfDx mxf min 八 零点存在性定理八 零点存在性定理 连续函数在上满足 则在上 xf ba af 0f b xf ba 至少有一零点 九九 幂的运算法则 幂的运算法则 mnm n aaa mnnm aa nnn baab n n a a 1 nm n m aa 0 1 0 aa 十十 对数运算性质 对数运算性质 logloglogMNNM aaa N M NM aaa logloglog bnb a n a loglog b m b a am log 1 log b m n b a n am loglog 01 a log1 a a logba b a log a b b c c a log log log loglog loglog bcdd abca 十一十一 导数导数 1 常见函数的导数公式 c 是常数 0c 特别地 1 nn xn x 1 xa xa a 是常数 1 2 11 x xx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 log ln a x xa 导数的四则运算法则 2 uu vuv uvuvuvu vuv vv 复合函数的导数 xux uyy 高中理科数学公式总汇 第 5 页 2 0 0 xD fxf xDxD fxf xD 在上单调递增 在上单调递减 3 0 0f xDxD fxf xDxD fx 在上单调递增 在上单调递减 十二 定积分十二 定积分 定积分的性质 常数 b a b a dxxfkdxxkf k b a b a b a dxxfdxxfdxxfxf 2121 其中 b c b a c a dxxfdxxfdxxf bca 2 微积分基本定理 牛顿 莱布尼兹公式 b a b a aFbFxFdxxf 其中 f xF x 求曲边梯形的面积 被积函数为 由曲线与直线 xfy xfy 所围成的曲边梯形的面积为 S 0 ybabxax和 1 当 2 当 b a dxxfSxf 0 时 b a dxxfSxf 0 时 十三十三 数列 数列 等差数列等差数列 等比数列等比数列 1 定义 daa nn 1 0 1 qq a a n n 2 通项公式 dnaan 1 1 1 1 n n qaa 1 2 n n aa n S 3 求和公式 1 11 1 1 1 11 n n n naq S aa qaq q qq 或d nn naSn 2 1 1 4 中项 cab 2acb 2 高中理科数学公式总汇 第 6 页 即 即 2 ca b acb 5 若 则 若 则qpnm qpnm aaaa qpnm qpnm aaaa 6 6 232 mmmmm sssss 成等差数列 232 mmmmm sssss 成等比数列 十四 三角函数十四 三角函数 1 任意角的三角函数 角 终边上任意一点 P x y 设 则 rOP r y sin r x cos x y tan 2 同角关系 1cossin 22 cos sin tan 3 诱导公式 sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos tan tan tan tan tan tan cos 2 sin cos 2 sin 3 sin cos 2 sin 2 cos sin 2 cos 3 cos sin 2 4 两角和差 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan1 tantan tan 5 二倍角 cossin22sin 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21 2 tan1 tan2 2tan 6 降幂公式 2 2cos1 cos2 2 2cos1 sin 2 P x y x y o 高中理科数学公式总汇 第 7 页 7 辅助角公式 22 sincossin tan b abab a 其中 8 的图象性质 sin xAy 0 0 A 最小正周期 值域 2 T AAy 增区间 由求出 X 的取值范围即知增区间 2 2 2 2 Zkkxk 减区间 求出 X 的取值范围即知减区间 2 2 3 2 2 Zkkxk 对称轴 令 求出 X 即为对称轴方程 kx 2 Zk 对称中心 令 求出 X 对称中心 kx Zk 0 k 9 图象变换 左加右减 sin sin xyxy 个个个个个个个 sin 1 xy 倍横坐标变为原来的 sin xAy A倍纵坐标变为原来的 xyxy sinsin 1 倍横坐标变为原来的 sin xy 个个个个个个个 sin xAy A倍纵坐标变为原来的 10 解三角形 1 三角形内角和定理 CBA 2 三角形面积公式 BacAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 3 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin CBAcbasin sin sin 4 余弦定理 涉及三边一角用余弦定理 根据已知角在以下公式中选用 222222222 2cos 2cos 2cosabcbcAbacacBcababC 高中理科数学公式总汇 第 8 页 222222222 cos cos cos 222 bcaacbabc ABC bcacab 十五 向量 十五 向量 1 向量的坐标 若 则 2211 yx B yxA 1212 y yxxAB 2 向量的模 22 ax yaxy 则 3 加法与减法的代数运算 1 nnn AAAAAAAA 113221 2 若 则 a 11 y xb 22 y xa b 2121 yyxx 向量加法与减法的几何表示 平行四边形法则 三角形法则 以向量 为邻边作平行四边形 ABCD AC BD 相交于 OABaAD b 则两条对角线的向量 2 ACAO a bBD baDB ab 且有 aba bab 4 运算律 加法交换律 加法结合律 ab baab c abc ab b a ab ab a b ab c ac b c 切记 数量积不满足结合率 cbacba 5 常用公式 设 11 y xa 22 y xb 1 cos baba 2121 yyxxba cos a b a b ab 2 0b 时baba 1221 0abx yx y 0 baba0 2121 yyxxba 高中理科数学公式总汇 第 9 页 3 2 2 aa 2 1 2 1 yxa 4 的坐标分别为 12 P P 11 y x 22 y x 12 12 12 2 2 xx x P x y PP yy y 是的中点 则 5 A B C ABC 的重心坐标 11 yx 22 yx 33 yx 3 3 321321 yyyxxx 6 空间中 若 则 0 ba 212121 zzyyxxba 若则或 ba ab 12 12 12 zz yy xx 十六十六 直线和圆直线和圆 1 直线的倾斜角 斜率 180 0 tan 2 k 已知 则 2211 yx B yxA 21 12 21 yy kxx xx 2 直线方程 点斜式 斜截式 截距式 00 xxkyy yk xb 1 xy ab 两点式 一般式 其中 12 1 12 1 xx xx yy yy 0 CByAx B A k B C b 3 1 两点间的距离公式 A B AB 11 yx 22 yx 2 12 2 12 yyxx 2 点到直线的距离 00 yx0 CByAx 22 00 BA CByAx d 0 0 x y 0 kk 高中理科数学公式总汇 第 10 页 3 两平行直线 的距离 d 0 1 CByAx0 2 CByAx 22 12 BA CC 4 直线 1 与 平行的直线可设为 l0 CByAxl0 1 CByAx 2 与 垂直的直线可设为l0 1 CAyBx 5 直线 若 则 222111 bxkylbxkyl 21 l l 2121 bbkk 且 若 则 21 ll 1 21 kk 6 圆的方程 标准方程 圆心 半径 222 rbyax bar 一般方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 其中 圆心 半径 2 2 ED FEDr4 2 1 22 7 直线与圆的位置关系 即相交 相离 0 CByAx 22 0 2 0 ryyxx 相切 可用 r 与 d 比较 22 00 BA CByAx 弦长 r d 的关系是 222 2 rd 弦长 十七十七 圆锥曲线圆锥曲线 1 1 椭圆椭圆 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 图形 O A B M d r x y 1 F 2 F P Ox y 1 F 2 F P O 高中理科数学公式总汇 第 11 页 标准方程1 2 2 2 2 b y a x 0 ba1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 长轴短轴 a2b2 焦距c2 离心率10 a c e 关系式 222 cba 焦点坐标 0 1 cF 0 2 cF 0 1 cF 0 2 cF 顶点坐标 0 1 aA 0 2 aA 0 1 bB 0 2 bB 0 1 aA 0 2 aA 0 1 bB 0 2 bB 2 2 双曲线双曲线 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 图形 l F2F1 o B1 Y X l F2 F1 o B1 Y X 标准方程 001 2 2 2 2 ba b y a x 001 2 2 2 2 ba b x a y 实轴虚轴 a2b2 焦距c2 离心率1 a c e 关系式 222 bac 高中理科数学公式总汇 第 12 页 焦点坐标 0 1 cF 0 2 cF 0 1 cF 0 2 cF 顶点坐标 0 1 aA 0 2 aA 0 1 aA 0 2 aA 渐近线 方程 x a b y x b a y 3 3 抛物线抛物线 定义 P l PFd 图形 标准方程 pxy2 2 0 p pxy2 2 0 p pyx2 2 0 p pyx2 2 0 p 离心率1 e 焦点坐标 0 2 P F 0 2 P F 2 0 P F 2 0 P F 准线方程 2 P x 2 P x 2 P y 2 P y 4 直线与圆锥曲线 联立直线方程与圆锥曲线方程消去 y 得关于 x 的一元二次方程 弦长公式 其中 22 1212 1 4lkxxx x 1212 bc xxx x aa 十八 立体几何十八 立体几何 1 1 常用定理 常用定理 线面平行 a a b ba a a a a a 线线平行 ba b a a ba b a ba b a 高中理科数学公式总汇 第 13 页 bc ca ba 面面平行 ba Oba ba a a 线线垂直 所成角为 900 ba b a 三垂线及其逆定理 PAa AOa a PO 线面垂直 l blal Oba ba a laa l a a b a ba 面面垂直 二面角为 900 a a a a 2 2 表面积表面积 体积公式体积公式 长方体 对角线长 表面积 体积 222 labc 2 Sabacbc Vabc 圆锥 Sr l 圆锥侧 2 11 33 VShr h 圆锥底 圆柱 2Srh 圆柱侧 2 VShr h 圆柱底 棱锥 棱柱的体积 ShV 3 1 棱锥 VS h 棱柱 球的表面积 体积 2 4SR 球 3 4 3 VR 球 3 3 求锥体的高的方法 求锥体的高的方法 1 利用等体积求高 2 利用平行线求高 3 利用线段 比例求高 4 利用空间向量求点到面的距离 即为锥体的高 4 4 空间角 空间角是线线成角 线面成角 面面成角的总称 其取值范围分别是 0 90 0 90 0 180 高中理科数学公式总汇 第 14 页 5 5 几何法求角 几何法求角 空间角的求法一般是 一找 二证 三求解 1 线线成角 平移线段至相交 解三角形求角 2 线面成角 法 等体积法 三棱锥 法 先定斜足 再作垂线找射影 垂直 通过解直角三角形求解 3 面面成角 法 直接利用定义 法 作公共棱的垂面 6 6 向量法求角 向量法求角 1 两异面直线所成的角 cos cos a b 2 线面角 3 二面角 sin cos a n 12 coscos n n 十九 概率与统计十九 概率与统计 1 A B 是两个互斥事件 则 P A B P A P B 2 A B 是两个对立事件 则 P A P B 1 3 3 概率公式 概率公式 等可能事件的概率 古典概型 Am P A n 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 相互独立事件同时发生的概率 P ABP AP B 几何概型 等 区域长度 面积或体积试验的全部结果构成的 积等 的区域长度 面积或体构成事件A AP 条件概率 在事件 A 发生的条件下 事件 B 发生的概率为 P A Bn AB P B A P An A 5 离散性随机变量的分布列 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 其中 1 2 1 21 n ppp10 i p 1 2 3 in 1122nn x px px p 数学期望 E 方差 222 1122 nn DxEpxEpxEp AA A 高中理科数学公式总汇 第 15 页 6 一般地 在 n 次独立重复试验中 设事件 A 恰好发生的次数为 在每次试验 事件 A 发生的概率均为 P 那么在 n 次独立重复试验中 事件 A 恰好发 k 次的概率 1 0 1 2 kkn k n PkC ppkn 此时称随机变量服从二项分布 记作 并称是一次试验中事件 A 发生的概率 B n p p 7 7 超几何分布 超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中 任取 n 件 其中恰有件次品 则事件发生的概率为 k 0 1 2 kn k MN M n N C C Pkkm C min mM nmN MN n M NN 其中且则称随机变量服从超几何分布 4 4 1 若随机变量满足两点分布 则 1 EpDpp 2 若随机变量满足二项分布 即 则 B n p 1 EnpDnpp 3 若随机变量满足正态分布 即 则 B n p 2 ED 5 5 样本的数字特征 样本的数字特征 1 众数 2 中位数 3 平均数 n i in x n xxxx n x 1 321 1 1 4 方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 2 1 1 xx n n i i 5 标准差 2222 12 1 n SSxxxxxx n 方差 标准差 反映总体数据的稳定性方差 标准差 反映总体数据的稳定性 6 6 频率分布直方图 频率分布直方图 1 所有小长方形面积之和 1 2 从频率分布直方图如何求众数 中位数 平均数 众数是频率分布直方图中最高矩形的中点 中位数是矩形面积的各占 50 的位置 平均 数是每个小矩形的面积乘以矩形底边中点的横坐标之和 7 7 变量的相关性 变量的相关性 1 先作散点图 2 如果散点图类似一条直线的 则用线性回归分析 设回归直线 为 则回归直线过样本中心 即 且 ybxa yxaxby 高中理科数学公式总汇 第 16