群的阶与群中元素的阶的关系

石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 群的阶与其元素的阶的关系 摘 要 近世代数虽是一门较新的 较抽象的学科 但如今它已渗透到科学的各个领域 解决了许多著名的数学难题 像尺规作图不能问题 用根式解代数方程问题 编码问 题等等 而群是近世代数里面最重要的内容之一 也是学好近世代数的关键 本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系 具体地来 说 本文先引入了群的概念 介绍了群及有关群的定义 然后着重讨论了有限群 无限群中关于元的阶的情况 并举了一些典型实例进行分析 之后又重点介绍了有 限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理 拉格朗日定理 得出了一些比 较好的结论 在群论的众多分支中 有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说 都占据 着更为突出的地位 同时 它也是近年来研究最多 最活跃的一个数学分支 因此 在本文最后 我们介绍了著名的有限交换群的结构定理 并给出了实例分析 关键词 群论 有限群 元的阶 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 Abstract The Modern Algebra is a relatively new and abstract subject but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well known mathematical problems such as the impossibility for Ruler Mapping problem the solutions for algebraic equations with radical expressions coding problems and so on The group is one of the most important portions in the Modern Algebra and also the key of learning it well This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects Specifically this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively some typical examples are listed for analyses thirdly stresses on the theorem Lagrange s theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group accordingly obtaining some relatively good conclusion In the many branches of group theory the finite group theory whether from the theory itself or from the practical applications occupies a more prominent position At the same time it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years Therefore in this paper finally we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups and give several examples for analyses Key words group theory finite groups the orders of elements 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 目 录 绪 论 1 1 1 群论的概括 1 1 2 群论的来源 1 1 3 群论的思想 2 2 预备知识 2 2 1 群和子群 2 2 1 1 群的定义 2 2 1 2 群的阶的定义 3 2 1 3 元的阶的定义 4 2 1 4 子群 子群的陪集 5 2 1 5 同构的定义 6 2 2 不变子群与商群 6 2 2 1 不变子群与商群 6 2 2 2 Cayley 凯莱 定理 7 2 2 3 内直和和外直积的定义 8 3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 8 3 1 有限群中关于元的阶 9 3 1 1 有限群中元的阶的有限性 9 3 1 2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 9 3 2 无限群中关于元的阶 10 3 2 1 无限群 G 中 除去单位元外 每个元素的阶均无限 10 3 2 2 无限群 G 中 每个元素的阶都有限 10 3 2 3 G 为无限群 G 中除单位元外 既有无限阶的元 又有有限阶的元 11 4 群的阶与其元的阶之间的关系 11 4 1 拉格朗日 Lagrange 定理 11 4 1 1 拉格朗日定理 11 4 1 2 相关结论 12 4 2 有限交换群的结构定理 13 4 2 1 有限交换群的结构定理 13 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 4 2 2 相关例子 14 参 考 文 献 15 致 谢 16 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 1 绪 论 本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系 并找出各种情况进 行实例分析 1 1 群论的概括 群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科 它不仅在数学中居显著地位 而且在许多现代科学分支中居重要地位 群论的概念和结果远不限于对几何学 拓 扑学等纯粹数学方面的应用 实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力 工具 随着科学技术的发展 群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用 除了大 家比较熟悉的对物理学 特别是理论物理学和结晶学的应用 它还渗透到计算机科 学 通讯理论 系统科学 乃至数理经济等许多领域 因此 今天需要掌握和了解 群论知识的人越来越多 1 2 群论的来源 为什么正方形在我们看来是对称图形 圆是更为对称的图形 而数字 4 就根 本不对称 为了回答这个问题 我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动 容易 了解 正方形的这样的运动有八个 圆有无穷多个这样的运动 而数字 4 只有一 个 即所谓恒等运动 它使图形的每个点留在原位不动 使某个图形自身重合的各 种运动的集 G 是对称性为大为小的一个特征 这样的集越大 图形就越对称 在 集 G 上按下列规则定义合成 即对其元素的运算 如果 x y 是 G 的两个运动 那 么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动 x 后作运动 y 的连接实施的运 动 例如 如果 x y 是正方形相对于有关对角线的反射运动 那么就相当yx yx 于绕中心转 180 的旋转 显然 在 G 上的合成具有下列性质 1 Gx y z x yzxy z 对中的任意元素 2 Gex ee xxGx 在中存在这样的 使得 对中的任意的都成立 1 1 1 3 GxGxx xxxe 对中的任意 在中存在这样的元素 使 实际上 e 可取恒等运动 而 即图形的每一点从新位置还原到旧 1 xx 可取的逆运动 位置 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 2 1 3 群论的思想 在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前 需要几代数学家的辛勤劳动 总 计花费了近一百个春秋 从拉格朗日 Lagrange 自发地采用置换群以解决用根式解 代数方程问题起 1771 中间经过罗菲 Ruffin 1799 与阿贝尔 Abel 1824 直 到伽罗瓦 Galois 1830 在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想 就是他首先引 进群这个术语的 这就是在代数方程论内这个思想发展的过程 与此独立 由于其 他原因 当 19 世纪中叶 在统一的古希腊几何舞台上出现了多种 几何 尖锐地 提出了研究它们之间的联系与 血缘 关系问题时在几何中出现了群 现在群论是代数学发展最充分的分支之一 无论在数学本身还是数学以外 在拓扑学 函数论 结晶学 量子力学以及数学与自然科学其他领域中 都有许多 应用 2 预备知识 2 1 群和子群 2 1 1 群的定义 我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义 设 是非空集合 G 的一个代数运算 我们常称作乘法 称 G 为一个群 如 果这个运算满足下列诸公理 G1 aGbGa bG 对 有 G2 abcGa bcab c 对 有 G3 eGaGe aa ea 存在 使对 有 G4 aGbGa bb ae 对 存在一元素 使 如果群 G 还满足 G5 abGa bb a 对 有 则称 G 为交换群 或者 Abel 群 另若一个群 G 的每一个元都是某一个元 a 的乘方 这时我们把 G 叫做循环 群 我们也说 G 是由元 a 生成的 并用符号 G 表示 其中 a 叫做 G 的一个生 成元 例 1 全体整数集 数的普通加法 显然满足公理 G1 G5 做成一个 Abel 群 并且不难验证 它还是一个由整数 1 生成的循环群 即该群可用符号来表 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 3 示 例 2 设 G a b a b 为实数 且 a 不为 0 规定 abcdacadb 则 G 显然满足 G1 G4 做成一个群 事实上 显然 G 非空 又在 G 中任取 a b c d 则 a b c d 是实数且 a c 均不为零 于是 ac ad b 也均为实数且 ac 也不为零 从而 abcdacadbG 1 0 1 0 1 e fG a bc de fac adbe face acfadb abcdefabcecfdaceacfadb abcdefabcdefG Ga ba ba b 再任取则有 故即对满足结合律 又且 0 1 0 1 11 1 0 1 14 3 6 1 2 3 4 3 4 1 2 3 10 G b Ga bGG aa bb a ba b aaaa b a bG aa GGGAbel 即是的单位元 又对中任意有且 即是在中的逆元 所以满足 作成一个群 但它不作成一个群 因为 例 3 有理数集上行列式为 1 的 2 阶方阵的全体 矩阵的乘法 显然满足 G1 G4 但它不满足 G5 因为 020 80 61 21 6 0 500 60 80 40 3 0 80 6020 31 6 0 60 80 500 41 2 020 80 60 80 602 0 500 60 80 60 80 50 但是 所以 交换律不成立 所以它也只是一个普通的群 2 1 2 群的阶的定义 如果群 G 只有有限个元素 我们称它为有限群 其元素的个数称为群 G 的阶 记为 G 否则称它为无限群 记 G 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 4 从前面我们举的例子 例 1 至例 3 都是无限群 下面我们举两个有代表性的 有限群的例子 例 4 模 n 的剩余类加群 n Z G 包含模 n 的 n 个剩余类 我们要规定一个 G 的叫做加法的代数运算 我们用 a 来表示 a 这个整数所在的剩余类 我们规定 a b a b 1 我们先看一看 这样规定的 是不是一种代数运算 我们知道 假如 a a b b 那么 a a b b 照我们的规定 a b a b 2 1 2 两式的左端是一样的 如果它们的右端不一样 a b a b 那么我们规定的 就不是代数运算了 我们说这种情况不会发生 因为 a a b b 就是说 a a n b b n 也就是说 n a a n b b 因此 能 n a a b b 即 n a b a b 所以 a b a b 这样规定的 是 G 的一个代数运算 而且 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 这既是说 a b c a b c 并且 0 a 0 a a a a a a 0 所以对于这个加法来说 G 做成一个群 这个群叫做模 n 的剩余类加群 记为 仔细研究这个群 它还是一个循环群 即 n Z n Z 例 5 三次对称群 3 S 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换 一个包含 n 个元素的集合的全体 置换做成的群叫做 n 次对称群 这个群我们用来表示 3 S 容易知道 n 次对称群的阶为 n 即 n 当 n 3 时 就是三次对称群 下面 n S n S 3 S 我们将的元素一一列出 3 S 1 12 13 23 123 132 3 S 依照群的定义 容易验证满足 G1 G4 做成一个群 但它不是一个 Abel 3 S 群 因为 12 13 13 12 12 13 123 13 12 132 事实上 3 3 S并且可以说是一个最小的有限非交换群略去证明 有兴趣的可见参考文献 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 5 2 1 3 元的阶的定义 我们下面来看群 G 的一个元素 a 能够使得的最小整数 m 叫做元 a 的阶 m ae 记为 a m 如果这样的 m 不存在 我们说 a 是无限阶的 记为 a 下面举两个关于阶的例子 希望读者对它有一个较好的理解 例 6 设 G 刚好包含的三个根 1 3 1x 1313 22 G 对于普通乘法来说显然满足 G1 G4 做成一个群 在这个群里面 1 的阶为 1 的阶为 3 的阶也为 3 例 7 非零有理数集 数的普通乘法 显然满足 G1 G5 做成一个 Abel 群 在这个群里面除了 1 1 外 其它元素皆为无限阶的 另外 有关元的阶 我们还有以下几个比较好的结论 结论 1 在群 G 中 若元 a 的阶为 m 且 则 m n n ae e 为单位元 证 我们采用反证法 设 m 不整除 n 由代数的基本知识可知 又因为 nmqrmqrr eaaaaaa 这与元 a 的阶为 m 矛盾 所以 m 整除 n 即 m n 结论 2 设 G 为群 aG 且 a n 则对任意的整数 k 有 k n a kn 证 设 k n d 不妨设 k d n d 且 又因为 所 1 k 1 n 11 1kn n ae 以 有设所以由结论 1 可知 n km 即 111 nknnkk aaae km ae km ae 11 dn dk m 所以 又因为 所以 所以 11 n k m 11 1kn 1 n m 1 k nn a n dkn 结论 3 在群 G 中 元素 a 的阶为 n b 的阶为 m 若 ab ba 且 m n 1 则 ab mn 证 首先由于 a n b m 故 又由于 ab ba 故 nm abe mnnmmn ababe 其次 设有正整数 k 使 则因 ab ba 故而 kabe knnkknkn ababbe b m 所以 m kn 又因为 m n 1 故 m k 同理可证 n k 由 m n 1 得 mn k 所 以 ab mn 结论 4 在交换群 G 中 对任意的两个元素 a b 都有 ab a b 证 设 a m b n 则 由于 G 是 Abel 群 故 mn abe mnmnmnmnnm aba babe 0 qrnmqrrm 使其中 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 6 从而即 ab mn ab a b 2 1 4 子群 子群的陪集 假设 H 是群 G 的一个非空子集 如果对 G 中的代数运算 H 本身做成一个 群 则称 H 为群 G 的一个子群 我们称 G 的子集与分别为子群 H 的左陪集 aHah hH Haha hH 右陪集 定理 2 1 一个子群 H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等 证 我们把 H 的右陪集所做成的集合叫做 H 的左陪集所做成的集合叫做 r S 我们说 S 1 Haa H 是一个间的一一映射 因为 rl SS 与 所以右陪集 Ha 的象与 111111 1 HaHbabHabbaHa Hb H a 的选择无关 rl SS 是一个到的映射 1 2 lr SaHSHa 的任意元是的元的象 所以是一个满射 111111 3 HaHbabHabbaHa Hb H 由 1 2 3 可知定理证毕 是一个一一映射 一个群 G 的子群 H 的右陪集 或左陪集 的个数叫做 H 在 G 中的指数 记作 G H 例如 nn 整数加群 2 1 5 同构的定义 GGGa b abab GG GGGGGG 设是群到的一个一一映射如果对中任意元素 均有 则称是群到群的一个同构映射 若群与群间有一同构映射则称与同构记为 有了同构的定义 我们可以完全掌握循环群 下面的结论就巧妙地利用同构指 出循环群只有两类 结论 5 设为循环群 则 1 若不存在正整数 n 使则与整数加群同构 n ae e 为单位元 2 若存在正整数 n 使且 n 为最小 则与 n 次单位根群同构 n ae e 为单位元 证 1 由题意知 mn mnaa 当时 于是作映射 m am mnm n aZ aaamn aZ 是到整数加群的一个一一映射又因为故是到 aZ 的同构映射因此 2 容易验证 mm a 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 7 21 1 n an n 是到次单位根群其中为次单位元根的一个同构 a 映射故 2 2 不变子群与商群 2 2 1 不变子群与商群 一个群 G 的子群 N 叫做一个不变子群 假如对于 G 的每一个元 a 来说 都有 Na aN 由于一个不变子群的左陪集与右陪集相同 所以我们可以称一个不变子群 N 的 一个左 或 右陪集叫做 N 的一个陪集 显然 对于 Abel 群来说 每一个子群都是 一个不变子群 我们看一个群 G 的不变子群 N 把 N 的所有陪集做成集合 SaNbNcN 我们说 法则 xN yN xy N 是一个乘法 要看清这一点 我们只须证明 两个陪集 xN 和 yN 的乘积与 x 和 y 的 选择无关 让我们看一看 假定 xN x N yN y N 那么 1212 xx nyy nnnN 12 xyx n y n 但由于 N 是不变子群 1133 n y Ny y Nn y y n nN 所以 32 xyx y n nxyx y NxyNx y N 所以 即 所以我们有 定理 2 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群 证 我们证明不变子群的陪集满足群的定义 G1 G4 G1 由上边规定的乘法来说是显然的 G2 xNyN zN xy N zN xyz N xN yNzN xN yz N xyz N G3 eNxN ex N xN 11 4 Gx NxNx x NeN 由 G1 G4 可知 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群 一个群的一个不变子群 N 的陪集所做成的群叫做一个商群 这个群我们用符号 G N 来表示 2 2 2 Cayley 凯莱 定理 对于同构 我们有下面的一个有趣的 Cayley 定理 有了它 我们可以只研究变 换群了 定理 3 Cayley 凯莱定理 任何一个群都同构于一个变换群 证明 假定 G 是一个群 G 的元 a b c 我们在 G 里任取一个元 x 出来 那么 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 8 Gg G x x xy x x abc x xy ggxg G g Gx G G G xGG xygxgy xy GG gg xygx yg 是集合的一个变换因为给了的任意元我们能够得到一个唯一的的元 这样由的每一个元可以得到的一个变换 我们把所有这样得来的的变换放在一起作成一个集合 那么是到的满射但消去律告诉我们 若那么所以是与间的一一映射再进一步看 yxy xx ygg xyxy e GG G Ge ggeg G GG GGG 这即是说 所以是与间的同构映射所以是一个群但的单位元的象 是的横等变换所以是的变换群且与的变换群同构 这个定理告诉我们 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例 2 2 3 内直和和外直积的定义 1 t Hh hG 设子集 而规定 11 1 tti ZHnhnh nZitZHHZHH 易见 即就是由生成的 子群 1 t HggG 并且当 是群的生成元集时 1t GZHZgZg 1 i GHitG 设是加群 而 是的子群若 11 1 ttii GHHghhhH 即每一都可表成 11 2 ttiii gGghhhhhhH 若对任意 由 1 1 iit hhitGHH 必有 亦即这种表示法是唯一的 则称是子群 的内直和 1212tt GHHH GHHH 记作此时也称可分解为子群 的直和 有了内直和的定义 下面我们来看外直积的定义 12 1 in GinGGGGG 设 是群 令集合 而规定集中的一个二元运 算12 iii ghGin 如下 对 规定 12121 122 nnnn ggghhhg hg hg h iiii g hGG G这里当然按群中的运算得到的乘积 直接验证 是一个群 称之为群 12 1 ni inGGGG G 的外直积 记作特别 当所有是交换群时 易 12 n GGGGGG 见也是交换群我们常把写成 而称之为加群的 外 直 而写成 G和这时的运算记作加法 12121122 nnnn ggghhhghghgh iii ghG 当然是指按的加法得到的和令 000 iiii Gg gG 12 iiii GGGGGGin 易见是的子群 且按内直和的定义有是其子群 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 9 的内直和 在这个意义上 内直和 外直积是互通的 虽然内直和概念是属于结构 理论的 而外直积是属于构造理论的 3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 下面我们将从有限群 无限群两个角度来分析群中元的阶的各种情况 并举一 些典型实例来说明 3 1 有限群中关于元的阶 3 1 1 有限群中元的阶的有限性 在有限群中 有这样一个定理 每一个元的阶都有限 定理 4 在有限群 G 中 每一个元都是有限阶的 证 不妨设 G n 对 下面考虑集合aG 231 nn Aa a a a a 由群 G 的封闭性 G1 可知 均属于 G 而 G n 所以必至少存在两 231nn a a a a a 个元素则所以 a 为有限阶的 证毕 11 ijij a aijn aa 其中使 j i ae 例 8 令 M 是除去 0 1 以外的全体实数做成的集合 G 为 M 的以下 6 个变换 做成的集合 123 456 1 1 11 11 x x x x x x xx x x x xxx 则 G 对变换的普通乘法显然满足 G1 G4 做成一个群 单位元的阶为 1 另 1 x 三个元的阶均为 2 而的阶为 3 因为 236 x x x 45 x x 即在这个有限群中 每一个元 33222 452361 xxxxxx 素的阶均为有限 3 1 2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 在有限群中 关于元的阶及其个数的关系 有较好的结论 结论 6 在一个有限群里 阶数大于 2 的元素的个数一定为偶数 证 假设 G 是一个有限群 a 为 G 中任意一个阶数大于 2 的元素 则显然 但 事实上 设 12 aaae 否则 1 aa与有相同的阶 n ae 则 111 nnn aaaee 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 10 反之 又设 11 nnnn nn aea aa ae ae 则所以 所以的阶也大于 2 又设 b 也是 G 中一个阶大于 2 的元素 且 1 a 1 1 1 1 babababa 则易知 这就是说 群 G 中阶数大于 2 的元素是成对出现的 由于群 G 为有限群 所以 G 中阶数大于 2 的元素的个数一定为偶数 证毕 推论 设 G 是一个偶数阶的有限群 则 G 中阶为 2 的元素的个数为奇数 事实上 由于单位元是群 G 中阶为 1 的唯一的元素 又由结论 6 知群 G 中阶为 2 的元素的个数为偶数 所以 G 中阶为 2 的元素的个数一定为奇数 证毕 例如在前面所举的例 5 三次对称群中 阶数大于 2 的只有 123 132 两个 3 S 为偶数 且该群中阶为 2 的只有 12 13 23 三个 为奇数 这验证了该结论的 正确性 3 2 无限群中关于元的阶 由于在群中 单位元的阶为 1 所以在无限群中关于元的阶大体上可分为以下 三种情况 3 2 1 无限群 G 中 除去单位元外 每个元素的阶均无限 这样的群确实存在 像我们在例 1 中所举的整数加群 就是一个典型的例 子 任取整数 a不存在正整数 n 使 na 1 即 a 1 a 所以在这个无限群中 除去单位元 1 外 其余每个元素都是无限阶的 3 2 2 无限群 G 中 每个元素的阶都有限 例 9 其中为全体 n 次单位根对普通乘法所做成的群 则 G 显然 1 i i GG i G 满足 G1 G5 做成一个 Abel 群 且每个元素的阶都有限 事实上 任取 必aG 然存在 故 a 为有限阶的 1 i iZaGa 使 则 另外 我们还可以举一个类似的例子 例 10 考虑实数域上行列式为 1 的二阶方阵所作成的集合 A 即 cossin A R sincos 则易知 A 中的运算为 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 11 cossin AAAA sincos 若记 所以集合 A 对于这种运算显然满足 G1 G5 做成一个 Abel 群 下面我们将集合 A 按阶相同做一个等价划分 即把阶相同的元素放在一个等价 类里 那么 0 24 33 A A A A 阶为1的只有 阶为2的只有 阶为3的只有 13 22 2468 5555 A A A A A A 阶为4的只有 阶为5的只有 可见 在这样一个无限群里 每个元的阶均有限 3 2 3 G 为无限群 G 中除单位元外 既有无限阶的元 又有有限阶的元 这样的例子我们以前也有举过 像例 7 的非零有理数乘群 在这个群中 除单 位元 1 的阶为 1 外 1 的阶为 2 而其余每个元都是无限阶的 4 群的阶与其元的阶之间的关系 在由于在无限群中 G 此时 群的阶与其元的阶之间的关系没什么意 义 故本节主要探讨在有限群中 群的阶与其元的阶之间的关系 4 1 拉格朗日 Lagrange 定理 在有限群中 关于群的阶与其元的阶之间的关系 有著名的拉格朗日定理 4 1 1 拉格朗日定理 引理 1 一个子群 H 与 H 的右陪集 Ha 之间都存在一个一一映射 证 hha 是 H 与 Ha 间的一一映射 因为 1 H 的每一个元 h 有一个唯一的象 ha 2 Ha 的每一个元 ha 是 H 的元 h 的象 1212 3hah ahh 假如 那么 证毕 引理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指 数 j 都能整除 G 的阶 N 并且 N nj 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 12 证 G 的阶 N 既是有限 H 的阶 n 和指数 j 也都是有限正整数 G 的 N 个 元被分成 j 个右陪集 而且由引理 1 可知 每一个右陪集都有 n 个元 所以 N nj 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数 我们显然有商群的元的个数等于 NG N 的指数 当 G 是有限群的时候 由引理 2 可知 G G NG N N 的阶 的阶 的阶 定理 5 Lagrange 定理 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶 证 a 生成一个阶是 n 的子群 由引理 2 知 n 整除 G 证毕 例 11 我们还是看例 5 中的和其子群 H 1 12 的阶为 6 H 的阶为S S 2 H 的指数是 3 2 和 3 果然整除 6 并且 6 2 3 的 6 个元是 1 12 13 23 123 132 它们的阶是 1 或 2 或S 3 而 整数 1 2 3 都整除整数 6 这当然验证了著名的 Lagrange 定理 4 1 2 相关结论 运用拉格朗日定理 我们可得以下几个较好的结论 结论 7 阶为素数的群为循环群 证 不妨假设 G P P 为素数 任取元素 a 则由 Lagrange 定理可知 ae 1a P aaP Ga 又因为 所以所以为循环群 证毕 结论 8 m PPP阶为的群 为素数 一定包含一个阶为的子群 证 任取一元素 a 假设 a n 则由 Lagrange 定理可知 ae 1 mj n PPnPjm 又由于为素数 所以 若 j 1 则 n P 就是群的一个 P 阶子群 若 j 1 则 1 j j PPp eaae 11 j j PP a P aGP 故所以就是的一个阶子群证毕 结论 9 阶为 6 的交换群必为循环群 证 不妨假设 G 6 任取 G 中元素 a 设 a m 则由 Lagrange 定理 ae 可知 m 6 所以 m 可取 2 或 3 或 6 若 m 6 则 G 是循环群 若 m 2 则为 G 的一个 2 阶循环子群 但由于 G 为交换群 故 37Ga Ga Ga 作成一个商群 由于 由结论可知群为一个循环群 312Gab b b b 故可设 其中由于 也不为 2 be 否则 有从而 则由 Lagrange 定理可知 b 3 或者 6 3 2 矛盾 若 b 6 则 G 为循环群 若 b 3 则由于 a 2 而 2 3 1 故由结论 3 可知 ab 6 从而 G 为 循环群 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 13 若 m 3 由于 2 和 3 的地位一样 所以 的讨论包含了 的讨论 总之 G 为循环群 容易验证该结论条件中的交换群是必要的 因为例 5 中的三次对称群的阶为 6 但其不是交换群 并且它不是循环群 因为其中没有阶为 6 的元素 有了这个结论 我们很容易得下面的推论 推论 pq 阶交换群必为循环群 其中 p q 为互异素数 证 因为 G pq 任取 G 中元素 a 设 a m 则由 Lagrange 定理可知 ae m pq 所以 m 可取 p 或 q 或 pq 若 m pq 则 G 是循环群 若 m p 则为 G 的一个 p 阶循环子群 但由于 G 为交换群 故 7Ga Ga qGa 作成一个商群 由于 由结论可知群为一个循环群 1Gab b q b b 故可设 其中由于 也不 p pbe 为 否则 有从而 则由 Lagrange 定理可知 b pq 或者 q q p 矛盾 若 b pq 则 G 为循环群 若 b q 则由于 a p 而 p q 1 故由结论 3 可知 ab pq 从而 G 为 循环群 若 m q 由于 p 和 q 的地位一样 所以 的讨论包含了 的讨论 有兴趣的 读者可再推导一次 增强自己的推理能力 总之 G 为循环群 结论 10 在循环群中 除去单位元外 其余元素的阶都相同且有限当且仅当该 循环群的阶为素数 证 GP PGGaaP 设为素数为循环群 不妨设则 1 2 1 i P aPiP P i 则由结论2可知 故得证 1 2 5 11 M iGGGMN M N GaaMNaN iiGGG G 设为循环群 且的阶为合数 即均为大于的正 数 又不妨设则由结论可知 这就与题设矛盾 设为循环群 且的阶为 则由结论知同构于整数加群而在整 数加群中除去单位元的阶为外其余元素的阶均为无限由同构可知也由此性质故 与题设矛盾 4 2 有限交换群的结构定理 本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理 由此 我们将具体地 理解到什么是群的结构理论 在本节中 G 表示交换群 群的运算记作加法 简 称加群 4 2 1 有限交换群的结构定理 前面我们有了内直和与外直积的定义 下面来简要介绍有限交换群的结构定 理 由于篇幅问题 我们不作证明 供读者欣赏 有兴趣的读者可见参考文献 4 定理 6 有限交换群的结构定理 有限交换群 G 可唯一分解为素数幂循环群 石 家 庄 铁 道 学 院 毕 业 论 文 14 的直和 若 12 12 t mmm ti G pppp 是不同素数 则 1 1111 1 ij t m sttsiji GGGGGGp 其中是阶为的循环群 1 1111 11 2 tss tt mm mm tt ppppG 自然数集 由群唯一确定 这是一个很值得玩味的结构定理 读者可以把它和算术基本定理相比 那里表 示任意整数的基本构件是 素数 构造方法是 乘积 而这里则是 表示有限加 群的基本构件是 素数幂阶的循环群 构造方法是 直和 在整数论中 自然数 n 的分解是 12 12 t mmm t nppp 则在交换群论中 有限加群 G 的阶 n 的分解将是 1 1111 11 tss tt m