2011年全国高考理科数学试题及答案-全国

中国校长网 中国校长网资源频道 2011 年高考题全国卷 II 数学试题 理科全解全析 莘县实验高中 赵常举 邮编 252400 科目 科目 数学数学 试卷名称试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 II 理科理科 知识点检索号 新课标 题目及解析 54 1 复数 为的共轭复数 则1zi zz1zzz A B C D 2i i i2i 思路点拨 先求出的共轭复数 然后利用复数的运算法则计算即可 z 精讲精析 选 B 1 1 1 1 1 1zi zzziiii 4 2 函数的反函数为2 0 yx x A B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C D 2 4yx xR 2 4 0 yxx 思路点拨 先反解用 y 表示 x 注意要求出 y 的取值范围 它是反函数的定义域 精讲精析 选 B 在函数中 且反解 x 得 所以2 0 yx x 0y 2 4 y x 的反函数为 2 0 yx x 2 0 4 x yx 24 3 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是ab A B C D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 思路点拨 本题要把充要条件的概念搞清 注意寻找的是通过选项能推出 a b 而由 a b 推不出选项的选项 精讲精析 选 A 即寻找命题 P 使 P推不出 P 逐项验证可选 A ab ab 11 4 设为等差数列的前项和 若 公差 n S n an 1 1a 2d 2 24 kk SS 则 k A 8 B 7 C 6 D 5 中国校长网 中国校长网资源频道 思路点拨 思路一 直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可 思路二 利用直接利用通项公式即可求解 运算稍简 221kkkk SSaa 精讲精析 选 D 2211 2 21 2 21 2245 kkkk SSaaakdkk 19 5 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 cos 0 f xx yf x 3 所得的图像与原图像重合 则的最小值等于 A B C D 1 3 369 思路点拨 此题理解好三角函数周期的概念至关重要 将的图像向右平 yf x 移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 说明了是此函数周期的整数倍 3 3 精讲精析 选 C 由题 解得 令 即得 2 3 k kZ 6k 1k min 6 40 6 已知直二面角 点 C 为垂足 为垂l AACl BBDl D 足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A B C D 1 2 3 3 3 6 3 思路点拨 本题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE 根据面面垂直的 性质不难证明平面 进而平面 ABC 所以过 D 作于AC 平平DEBC E 则 DE 就是要求的距离 精讲精析 选 C 如图 作于 E 由为直二面角 得平DEBC l ACl AC 面 进而 又 于是平面 ACDE BCDE BCACC DE ABC 故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离 在中 利用等面积法得 Rt BCD 126 33 BDDC DE BC 45 7 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每 位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 中国校长网 中国校长网资源频道 A 4 种 B 10 种 C 18 种 D 20 种 思路点拨 本题要注意画册相同 集邮册相同 这是重复元素 不能简单按照排 列知识来铸 所以要分类进行求解 精讲精析 选 B 分两类 取出的 1 本画册 3 本集邮册 此时赠送方法有 种 取出的 2 本画册 2 本集邮册 此时赠送方法有种 总的赠送方 1 4 4C 2 4 6C 法有 10 种 53 8 曲线 y 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为 2x e A B C D 1 1 3 1 2 2 3 思路点拨 利用导数求出点 0 2 切线方程然后分别求出与直线 y 0 与 y x 的 交点问题即可解决 精讲精析 选 A 切线方程是 在直角坐标系 2 0 2 2 x r yey 22yx 中作出示意图 即得 121 1 233 S 6 9 设是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 则 f x f x2 1 xx 5 2 f A B C D 1 2 1 4 1 4 1 2 思路点拨 解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间 0 1 5 2 上进行求值 精讲精析 选 A 先利用周期性 再利用奇偶性得 5111 2222 fff 34 10 已知抛物线 C 的焦点为 F 直线与 C 交于 A B 两点 则 2 4yx 24yx cosAFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 思路点拨 方程联立求出 A B 两点后转化为解三角形问题 精讲精析 选 D 联立 消 y 得 解得 2 4 24 yx yx 2 540 xx 1 4xx 中国校长网 中国校长网资源频道 不妨设 A 在 x 轴上方 于是 A B 的坐标分别为 4 4 1 2 可求 利用余弦定理3 5 5 2ABAFBF 222 4 cos 25 AFBFAB AFB AFBF 42 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成二面角的平面 截该球 0 60 面得圆 N 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 思路点拨 做出如图所示的图示 问题即可解决 精讲精析 选 B 作示意图如 由圆 M 的面积为 4 易得 22 2 2 3MAOMOAMA 中 Rt OMN 30OMN 故 2 cos303 39 MNOMS 20 12 设向量满足 则的最大值 a b c 1 1 60 2 aba bac bc c 等于 A 2 B c D 132 思路点拨 本题按照题目要求构造出如右图所示的几何 图形 然后分析观察不难得到当线段 AC 为直径时 最 c 大 精讲精析 选 A 如图 构造 120 60 ABa ADb ACcBADBCD 所以 A B C D 四点共圆 分析可知当线段 AC 为直径时 最大 最大值为 c 2 45 13 1 20的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 x 中国校长网 中国校长网资源频道 思路点拨 解本题一个掌握展开式的通项公式 另一个要注意 rn r nn CC 精讲精析 0 由得的系数为 x9的系数为 而 20 120 r r TCx x 2 20 C 18 20 C 182 2020 CC 17 14 已知 a sin 则 tan2 2 5 5 思路点拨 本题涉及到同角三角函数关系式 先由正弦值求出余弦值一定要注意角 的范围 再求出正切值 最后利用正切函数的倍角公式即可求解 精讲精析 由 a sin 得 4 3 2 5 5 2 5sin1 cos tan 5cos2 2 2tan4 tan2 1tan3 33 15 已知 F1 F2分别为双曲线 C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标 2 9 x 2 27 y 为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 思路点拨 本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解 精讲精析 6 由角平分线定理得 故 22 12 11 1 26 2 AFMF AFAFa AFMF 2 6AF 39 16 己知点 E F 分别在正方体 ABCD A1B2C3D4的棱 BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 思路点拨 本题应先找出两平面的交线 进而找出或做出二面角的平面角是解决 此问题的关键 延长 EF 必与 BC 相交 交点为 P 则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线 精讲精析 延长 EF 交 BC 的延长线于 P 则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线 2 3 因为 所以为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 90CAP FCA 中国校长网 中国校长网资源频道 2 2 3 tan 32 FC FCA CA 21 17 本小题满分 l0 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 A C 90 a c b 2 求 C 思路点拨 解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系 然后再结合 A C 90 得到 即可求解 sincosAC 精讲精析 选 D 由 得 A 为钝角且 90AC sincosAC 利用正弦定理 可变形为 2acb sinsin2sinACB 即有 sinsincossin2sin 45 2sinACCCCB 又 A B C 是的内角 故ABC 或 舍去 45CB 45 180CB 所以 90 45 180ABCCCC 所以 15C 47 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不 购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求 X 的期望 思路点拨 解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为 p 利用乙种保险但不 购买甲种保险的概率为 0 3 即可求出 p 0 6 然后 ii 利用相互独立事件的概率计 算公式和期望公式计算即可 精讲精析 设该车主购买乙种保险的概率为 p 由题意知 解 1 0 5 0 3p 得 0 6p 中国校长网 中国校长网资源频道 I 设所求概率为 P1 则 1 1 1 0 5 1 0 6 0 8P 故该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率为 0 8 II 对每位车主甲 乙两种保险都不购买的概率为 1 0 5 1 0 6 0 2 100 0 2 100 0 220XBEX 所以 X 的期望是 20 人 39 44 19 如图 四棱锥中 侧面SABCD ABCDBCCD 为等边三角形 SAB2 1ABBCCDSD 证明 SDSAB 平面 求与平面所成角的大小 ABSBC 思路点拨 本题第 I 问可以直接证明 也可建系证明 II 建立空间直角坐标系 利用空间向量的坐标运算计算把求角 的问题转化为数值计算问题 思路清晰思维量小 精讲精析 计算 SD 1 于是 利用勾股定5 2ADSA 222 SASDAD 理 可知 同理 可证SDSA SDSB 又 SASBS 因此 SDSAB 平平 II 过 D 做 如图建立空间直角坐标系 D xyz DzABCD 平平 A 2 1 0 B 2 1 0 C 0 1 0 13 0 22 S 可计算平面 SBC 的一个法向量是 0 3 2 0 2 0 nAB 2 321 cos 7 2 7 AB n AB n ABn 所以 AB 与平面 SBC 所成角为 21 arcsin 7 中国校长网 中国校长网资源频道 14 20 设数列满足且 n a 1 0a 1 11 1 11 nn aa 求的通项公式 n a 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbS n 记S证明 思路点拨 解本题突破口关键是由式子得到是等差 1 11 1 11 nn aa 1 1 n a 数列 进而可求出数列的通项公式 II 问求出的通项公式注意观察到能 n a n b 采用裂项相消的方式求和 精讲精析 I 是公差为 1 的等差数列 1 1 n a 1 11 1 1 11 n nn aa 所以 1 n n anN n II 1 1 111 1 1 n n n a n b nnnn 1 1111111 11 122311 n nk k Sb nnn 35 21 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 过 F 2 2 1 2 y C x 且斜率为的直线 与 C 交与 A B 两点 点 P 满足 2l0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 思路点拨 方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路 注意把 用坐标表示后求出 P 点的坐标 然后再结合直线方程把 P0 OAOBOP 点的纵坐标也用 A B 两点的横坐标表示出来 从而求出点 P 的坐标代入椭圆 中国校长网 中国校长网资源频道 方程验证即可证明点 P 在 C 上 II 此问题证明有两种思路 思路一 关键是证明 互补 通过证明这两个角的正切值互补即可 再求正切值时要注意利 APBAQB 用倒角公式 思路二 根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上 所以根据两条弦的垂直 平分线的交点找出圆心 N 然后证明 N 到四个点 A B P Q 的距离相等即可 精讲精析 I 设 1122 A x yB xy 直线 与联立得 21l yx 2 2 1 2 y x 2 42 210 xx 12 6262 44 xx 1212 21 24 xxx x 由得0 OAOBOP 1212 Pxxyy 12 2 2 xx 121212 2121 2 21yyxxxx 2 2 2 1 1 22 所以点 P 在 C 上 II 法一 12 12 12 12 1 1 22 22 tan 1 1 1 1 22 22 PAPB PAPB yy xx kk APB yy k k xx 2121 1212 3 4 33 29 3 22 xxxx x xxx 同理 中国校长网 中国校长网资源频道 21 21 21 21 11 22 22 tan 11 1 1 22 22 QBQA QAQB yy xx kk AQB yy kk xx 1221 1212 4 321 3 22 xxxx x xxx 所以互补 APBAQB 因此 A P B Q 四点在同一圆上 法二 由和题设知 PQ 的垂直平分线的方程为 2 1 2 P 2 1 2 Q 1 l 2 2 yx 设 AB 的中点为 M 则 AB 的垂直平分线的方程 2 1 42 M 2 l 为 21 24 yx 由 得 的交点为 1 l 2 l 2 1 88 N 22 2213 11 1 2888 NP 2 21 3 2 1 2 2 ABxx 3 2 4 AM 22 22113 3 48288 MN 22 3 11 8 NAAMMN 故 NPNA NPNQNANB 中国校长网 中国校长网资源频道 所以 A P B Q 四点在同一圆圆 N 上 53 46 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 设函数 证明 当时 2 ln 1