2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷含答案）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 湖北卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 湖北卷 含答案 本试卷共 4 页 三大题 21 小题 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 并将 准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置 在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷 草稿纸上无效 3 填空题和解答题的作答 用 0 5 毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 i为虚数单位 则 2011 1 1 i i A i B 1 C i D 1 2 已知 2 1 log 1 2Uy yx xPy yx x 则 U C P A 1 2 B 1 0 2 C 0 D 1 0 2 3 已知函数 11 3sincos f xxR 若 1f x 则 x 的取值范围为 A 3 x kxkkZ B 22 3 xkxkkZ C 5 66 x kxkkZ D 5 22 66 xkxkkZ 4 将两个顶点在抛物线 2 2 0 ypx p 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记 2 为 n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 试卷类型 5 已知随机变量 服从正态分布 2 2N a 且 4 0 8 则 0 2 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 6 已知定义在 R 上的奇函数 f x和偶函数 g x满足 22 2f xg xaa a 0 且0a 若 2ga 则 2f A 2 B 15 4 C 17 4 D 2 a 7 如图 用 K 1 A 2 A三类不同的元件连接成一个系统 当K正常工作且 1 A 2 A至少 有一个正常工作时 系统正常工作 已知 K 1 A 2 A正常工作的概率依次是 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960 B 0 864 C 0 720 D 0 576 8 已知向量 a x z 3 b 2 y z 且 a b 若 x y 满足不等式1xy 则 z 的取 值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 9 若实数 a b 满足0 0 ab 且0ab 则称 a 与 b 互补 记 那么 0a b 是 a 与 b 互补的 A 必要而不充分的条件 B 充分而不必要的条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要的条 件 10 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减少 这种 现象称为衰变 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中 其含量 M 单位 太贝克 与时 3 间 t 单位 年 满足函数关系 30 0 2 t M tM 其中 M0为 t 0 时铯 137 的含量 已知 t 30 时 铯 137 含量的变化率是 10In2 太贝克 年 则 M 60 A 5 太贝克 B 75In2 太贝克 C 150In2 太贝克 D 150 太贝克 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上 一题两空的题 其中答案按先后次序填写 答错位置 书写不清 模棱俩可均不 给分 11 18 1 3 x x 的展开式中含 15 x的项的系数为 12 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶 则至少取到一 瓶已过保质期的概率为 结果用最简分数表示 13 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自上而下各节的容积成等差数 列 上面 4 节的容积共为 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积为 升 试卷类型 A 14 如图 直角坐标系xOy所在平面为 直角坐标系 xOy 其中 y与y轴重合 所在的 平面为 45xOx 已知平面 内有一点 2 2 2 P 则点 P在平面 内的射影P的坐标为 已知平面 内的曲线 C的方程是 2 2 2 220 xy 则曲线 C在平面 内的 射影C的方程是 15 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当4n 时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示 4 由此推断 当6n 时 黑色正方形互不相连的着色方案共有 种 至少有两个黑色正 方形相连的着色方案共有 种 结果用数值表示 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 10 分 设ABCA的内角 ABC所对的边分别为 abc 已知 1 1 2 cos 4 abC 求ABCA的周长 求 cos AC 的值 17 本小题满分 12 分 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速 度 v 单位 千米 小时 是车流速度 x 的函数 当桥上的的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20200 x 时 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 当0200 x 时 求函数 v x的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观点的车辆数 单位 辆 每 小时 f xxv x 可以达到最大 并求最大值 精确到 1 辆 每小时 18 本小题满分 12 分 如图 已知正三棱柱111ABCA B C 的各棱长都是 4 E是BC的中点 动点F在侧棱 5 1CC上 且不与点C重合 当CF 1 时 求证 EF 1AC 设二面角CAFE 的大小为 求tan 的最小值 19 本小题满分 13 分 已知数列 na的前n项和为nS 且满足 1aa 0 a 1nnarS n N 1 rR r 求数列 na的通项公式 若存在k N 使得1kS kS 2kS 成等差数列 是判断 对于任意的m N 且 2m 1ma ma 2ma 是否成等差数列 并证明你的结论 20 本小题满分 14 分 平面内与两定点1 0 Aa 2 0 A a 0 a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹 加上1A 2A两点所成的曲线C可以是圆 椭圆成双曲线 求曲线C的方程 并讨论C的形状与m值得关系 当1m 时 对应的曲线为 1 C 对给定的 1 0 0 mU 对应的曲线为 2 C 设 1 F 2 F是 2 C的两个焦点 试问 在 1 C撒谎个 是否存在点N 使得 1 FN 2 F的面积 2 Sm a 若存在 求tan 1 FN 2 F的值 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数 1f xInxx 0 x 求函数 f x的最大值 设 11 a b