2011届高三数学一轮复习 第七章立体几何测试题 新人教版

用心 爱心 专心1 第七章第七章 立体几何立体几何 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 2010 浙大附中模拟 已知某空间几何体的主视图 侧视图 俯视图均为如图所示的等腰直角三 角形 如果直角三角形的直角边长为 1 那么这个几何体的表面积为 A B C D 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 解析 根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示 CD垂直于等腰直角三角形ABC所在 平面 于是 易得S S ABC S ACD S CBD 1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 2 答案 D 2 已知a b为两条不同的直线 为两个不同的平面 且a b 则下列命题中为 假命题的是 A 若a b 则 B 若 则a b C 若a b相交 则 相交 D 若 相交 则a b相交 解析 若 相交 则a b既可以是相交直线也可以是异面直线 答案 D 3 设 是三个互不重合的平面 m n是两条不重合的直线 则下列命题中正确的是 A 若 则 B 若 m m 则m C 若 m 则m D 若m n 则m n 解析 A 中 与 可以平行 C 中可能有m D 中m与n可以平行 答案 B 4 已知两条不同直线l1和l2及平面 则直线l1 l2的一个充分条件是 A l1 且l2 B l1 且l2 C l1 且l2 D l1 且l2 解析 根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知 B 为l1 l2的一个充分条件 答案 B 5 若平面 满足 l P P l 则下列命题中的假命题为 A 过点P垂直于平面 的直线平行于平面 B 过点P在平面 内作垂直于l的直线必垂直于平面 C 过点P垂直于平面 的直线在平面 内 用心 爱心 专心2 D 过点P垂直于直线l的直线在平面 内 解析 根据面面垂直的性质定理 有选项 B C 正确 对于 A 由于过点P垂直于平面 的直 线必平行于 内垂直于交线的直线 因此平行于平面 因此 A 正确 答案 D 6 用一些棱长是 1 cm 的小正方体堆放成一个几何体 其正视图和俯视图如图所示 则这个几何 体的体积最多是 A 6 cm3 B 7 cm3 C 8 cm3 D 9 cm3 解析 由正视图与俯视图可知小正方体最多有 7 块 故体积最多为 7 cm3 答案 B 7 过平行六面体ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线 其中与平面DBB1D1平行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 12 条 D 8 条 解析 如图 P E F H分别为AD AB A1B1 A1D1的中点 则平面PEFH 平面DBB1D1 所以 四边形 PEFH 的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1 共 6 条 同理在另一侧面也有 6 条 共 12 条 答案 C 8 2010 皖中模拟 已知三棱锥的三个侧面两两垂直 三条侧棱长分别为 4 4 7 若此三棱 锥的各个顶点都在同一个球面上 则此球的表面积是 A 81 B 36 C D 144 81 4 解析 补成长方体易求 4R2 81 S 4 R2 81 答案 A 9 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为棱DC的中点 则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值 等于 A 4 5 B C D 10 5 1 2 5 10 用心 爱心 专心3 解析 过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F 连结BF 则 BC1F或其补角等于异面直 线D1P与BC1所成的角 设正方体的棱长为 1 由P为棱DC的中点 则易得BC1 2 C1F 2222 1515 1 1 2222 BF 在 BC1F 中 cos BC1F 222 55 2 10 22 55 22 2 答案 B 10 理 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 1 D在棱BB1上 且BD 1 则AD与平面 AA1C1C所成角的正弦值为 A B C D 6 4 3 4 6 2 7 2 解析 如图 取C1A1 CA的中点E F 连接B1E与BF 则B1E 平面CAA1C1 过D作DH B1E 则DH 平面CAA1C1 连接AH 则 DAH为所求的 DH B1E 3 2 DA 2 所以 sin DAH 6 4 DH DA 答案 A 文 如右图所示 在立体图形D ABC中 若AB BC AD CD E是AC的中点 则下列命题中正 确的是 A 平面ABC 平面ABD B 平面ABD 平面BDC C 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDE D 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 解析 BE AC DE AC AC 平面BDE 故平面ABC 平面BDE 平面ADC 平面BDE 答案 C 11 已知直线m n及平面 其中m n 那么在平面 内到两条直线m n距离相等的点的集 用心 爱心 专心4 合可能是 1 一条直线 2 一个平面 3 一个点 4 空集 其中正确的是 A 1 2 3 B 1 4 C 1 2 4 D 2 4 解析 如图 1 当直线m或直线n在平面 内时不可能有符合题意的点 如图 2 直线m n 到已知平面 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 垂直 则已知平面 为符合题意 的点 如图 3 直线m n所在平面与已知平面 平行 则符合题意的点为一条直线 从而选 C 答案 C 12 设有如下三个命题 甲 相交直线l m都在平面 内 并且都不在平面 内 乙 直线l m中至少有一条与平面 相交 丙 平面 与平面 相交 当甲成立时 A 乙是丙的充分而不必要条件 B 乙是丙的必要而不充分条件 C 乙是丙的充分且必要条件 D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析 当甲成立 即 相交直线l m都在平面 内 并且都不在平面 内 时 若 l m 中至少有一条与平面 相交 则 平面 与平面 相交 成立 若 平面 与平面 相 交 则 l m中至少有一条与平面 相交 也成立 故选 C 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 请把正确答案填在题中横线上 13 2009 辽宁高考 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 m3 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥 且三棱锥的高为 2 底面三角形的一边长为 4 且该边上的高为 3 故所求三棱锥的体积为V 1 3 2 1 2 3 4 4 m3 用心 爱心 专心5 答案 4 14 理 如图 AD 平面BCD BCD 90 AD BC CD a 则二面角C AB D的大小为 解析 取BD的中点E 连结CE 则CE 面ABD 作EF AB CF AB得 CFE为所求 又CE 2 2 a CF 6 3 a sin CFE 3 2 CE CF 答案 60 文 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 M A1B N B1C A1M B1N 有以下四个结论 A1A MN AC MN MN与平面ABCD成 0 角 MN与AC是异面直线 其中正确结论的序号是 解析 易知 正确 答案 15 母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 则该圆锥的体积为 4 3 解析 圆锥的侧面展开图扇形的弧长 即底面圆的周长为 1 于是设底面圆的半径 4 3 4 3 为r 则有 2 r 所以r 4 3 2 3 于是圆锥的高为h 1 f 2 3 2 5 3 用心 爱心 专心6 故圆锥的体积为V 4 5 81 答案 4 5 18 16 2009 江南测试 棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点都在球O的表面上 E F分别 是棱AA1 DD1的中点 则直线EF被球O截得的线段长为 解析 因为正方体内接于球 所以 2R 222 aaa R 3 2 a 过球心O和点E F的大圆的截面图如图所示 则直线被球截得的线段为QR 过点O作OP QR 于点P 所以 在 QPO中 QR 2QP 2 22 31 2 22 aaa 答案 2a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 2010 泉州模拟 如图所示是一个几何体的直观图 正视图 俯视图 侧视图 其中正视图为直角梯形 俯视图为正方形 侧视图为直角三角形 尺寸如图所示 1 求四棱锥P ABCD的体积 2 证明 BD 平面PEC 3 若G为BC上的动点 求证 AE PG 解 1 由几何体的三视图可知 底面ABCD是边长为 4 的正方形 PA 平面ABCD PA EB 且PA 4 BE 2 AB AD CD CB 4 22 用心 爱心 专心7 VP ABCD PA SABCD 4 4 4 1 3 1 32 64 2 3 2 证明 连结AC交BD于O点 取PC中点F 连结OF EB PA 且EB PA 1 2 又OF PA 且OF PA 1 2 EB OF 且EB OF 四边形EBOF为平行四边形 EF BD 又EF 平面PEC BD 平面PEC 所以BD 平面PEC 3 连结BP EBA BAP 90 EB AB BA PA 1 2 EBA BAP PBA BEA PBA BAE BEA BAE 90 PB AE 又 BC 平面APEB BC AE AE 平面PBG AE PG 18 本小题满分 12 分 已知直角梯形ABCD中 AB CD AB BC AB 1 BC 2 CD 1 过 3 A作AE CD 垂足为E G F分别为AD CE的中点 现将 ADE沿AE折叠 使DE EC 1 求证 BC 平面CDE 2 求证 FG 平面BCD 3 求四棱锥D ABCE的体积 解 1 证明 由已知得 DE AE DE EC DE 平面ABCE DE BC 又BC CE CE DE E BC 平面DCE 用心 爱心 专心8 2 证明 取AB中点H 连结GH FH GH BD FH BC GH 平面BCD FH 平面BCD 又GH FH H 平面FHG 平面BCD FG 平面BCD 由线线平行证明亦可 3 V 1 2 1 33 2 3 3 19 本小题满分 12 分 2010 徐州模拟 如图 PA垂直于矩形ABCD所在的平面 AD PA 2 CD 2 E F分别是AB PD的中点 2 1 求证 AF 平面PCE 2 求证 平面PCE 平面PCD 3 求四面体PEFC的体积 解 1 证明 设G为PC的中点 连结FG EG F为PD的中点 E为AB的中点 FG CD AECD 1 2 1 2 FG AE AF GE GE 平面PEC AF 平面PCE 2 证明 PA AD 2 AF PD 又 PA 平面ABCD CD 平面ABCD PA CD AD CD PA AD A CD 平面PAD AF 平面PAD AF CD 用心 爱心 专心9 PD CD D AF 平面PCD GE 平面PCD GE 平面PEC 平面PCE 平面PCD 3 由 2 知 GE 平面PCD 所以EG为四面体PEFC的高 又GF CD 所以GF PD EG AF GF CD 2 1 22 S PCF PD GF 2 1 2 得四面体PEFC的体积V S PCF EG 1 3 2 2 3 20 理 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥P ABCD中 AB AD AD DC PA 底面 ABCD PA AD DC AB 1 M为PC的中点 N点在AB上且AN NB 1 2 1 3 1 证明 MN 平面PAD 2 求直线MN与平面PCB所成的角 解 1 证明 过M作ME CD交PD于E 连接AE AN NB 1 3 AN AB DC EM 1 4 1 2 又EM DC AB EMAN AEMN为平行四边形 MN AE 又AE 平面PAD MN 平面PAD MN 平面PAD 2 过N点作NQ AP交BP于点Q NF CB交CB于点F 用心 爱心 专心10 连接QF 过N点作NH QF交QF于H 连接MH 易知QN 平面ABCD QN BC 而NF BC BC 平面QNF BC NH 而NH QF NH 平面PBC NMH为直线MN与平面PCB所成的角 通过计算可得MN AE QN NF 2 2 3 4 3 4 2 NH QN NF QF QN NF QN2 NF2 6 4 sin NMH NMH 60 NH MN 3 2 直线MN与平面PCB所成的角为 60 文 本小题满分 12 分 2009 南通模拟 如图 已知在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC AC BC M N P Q分别是AA1 BB1 AB B1C1的中点 1 求证 平面PCC1 平面MNQ 2 求证 PC1 平面MNQ 证明 1 AC BC P为AB的中点 AB PC 又CC1 AA1 AA1 平面ABC CC1 平面ABC CC1 AB 又 CC1 PC C AB 平面PCC1 由题意知MN AB 故MN 平面PCC1 MN在平面MNQ内 平面PCC1 平面MNQ 2 连接AC1 BC1 BC1 NQ AB MN 又BC1 AB B 平面ABC1 平面MNQ PC1在平面ABC1内 PC1 平面MNQ 21 理 本小题满分 12 分 2009 西安八校联考 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC CC1 2 AC BC D为AB的中点 1 求证 AC1 平面B1CD 2 求二面角B B1C D的正弦值 用心 爱心 专心11 解 1 证明 如图 连接BC1交B1C于点E 则E为BC1的中点 D为AB的中点 在 ABC1中 AC1 DE 又AC1 平面B1CD DE 平面B1CD AC1 平面B1CD 2 AC BC D为AB的中点 CD AB 又平面ABC 平面ABB1A1 CD 平面ABB1A1 平面B1CD 平面B1BD 过点B作BH B1D 垂足为H 则BH 平面B1CD 连接EH B1C BE B1C EH BEH为二面角B B1C D的平面角 在 Rt BHE中 BE BH 2 BB1 BD B1D 2 3 则 sin BEH BH BE 6 3 即二面角B B1C D的正弦值为 6 3 文 本小题满分 12 分 已知ABCD是矩形 AD 4 AB 2 E F分别是线段AB BC的中点 PA 平面ABCD 1 证明 PF FD 2 在PA上找一点G 使得EG 平面PFD 解 1 证明 连接AF 则AF 2 DF 2 22 又AD 4 DF2 AF2 AD2 DF AF 又PA 平面ABCD DF PA 又PA AF A DFPAF DFPF PFPAF 平平面面 平平面面 2 过点E作EH FD交AD于点H 则EH 平面PFD且AH AD 1 4 用心 爱心 专心12 再过点H作HG DP交PA于点G 则HG 平面PFD且AG AP 1 4 平面EHG 平面PFD EG 平面PFD 从而满足AG AP的点G为所求 1 4 22 理 本小题满分 14 分 2009 东北四市模拟 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 4 点E在CC1上 且CE CC1 1 为何值时 A1C 平面BED 2 若A1C 平面BED 求二面角A1 BD E的余弦值 解 法一 1 连接B1C交BE于点F 连接AC交BD于点G AC BD 由垂直关系得 A1C BD 若A1C 平面BED 则A1C BE 由垂直关系可得B1C BE BCE B1BC CE BC BC BB1 1 2 CE 1 CE CC1 1 4 2 连接A1G 连接EG交A1C于H 则A1G BD A1C 平面BED A1GE是二面角A1 BD E的平面角 A1G 3 EG A1E 2317 cos A1GE 18 3 17 2 3 3 2 6 9 法二 1 以D为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 射线DC为y轴的正半轴 射线DD1为 z轴的正半轴 建立如图所示直角坐标系D xyz 依题设 D 0 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 A1