2010高考数学二轮复习（18）数系的扩充与复数的引入学案

用心 爱心 专心 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 学法导航学法导航 复数属于新增内容 本章重点是复数的概念及代数形式的运算 难点是复数的复数的四则运 算 复数的概念及其运算是高考命题热点 从近几年高考试题来看 主要考查复数的概念 及其运算 难度不大 常以填空题出现 但在高考试卷中属于必考题 应引起注意 复数 的概念 搞清楚实部与虚部 2 i 1 共轭复数等概念 及复数和运算 1 复数有关概念 实数 虚数 纯虚数 虚部 实部 共轭复数 复数相等等概念的 理解 正确应用及复数的加减乘除四则运算法则的理解和正确应用 复数 Rbabia 0 0 0 0 a a b b 非纯虚数 纯虚数 虚数 实数 复数相等 Rdcbadbcadicbia 且 共轭复数 a bi 与 abi ab R 互为共轭复数 注意 Razz 2 bizz2 为纯虚数或零 Rzzz z是纯虚数 0 zz 且 0 z 规律总结规律总结 1 复数中常见的重要结论 Nn nmnm zzz mnnm zz nnn zzzz 2121 iiiiii nnnn 3424144 1 1 22 abi abiab abii bai 2 1 2 ii 1 1 1 1 i i i i i i 0 321 nnnn iiii 设 i 2 3 2 1 则 1 23133 Nk kkk 2 1 33 2 10 12 0 nnn n N 2 共轭复数的运算性质 0 2 2 1 2 1 21212121 z z z z z zzzzzzzz 22 zzzzzzzzzRzzzNnzz nn 为纯虚数 3 复数中的解题方法和策略 用心 爱心 专心 证明复数是实数的策略 0 RbabRbiaz Razz 2 Rzzz 证明复数是纯虚数的策略 biaz 为纯虚数 0 0 ba Rba bizzb20 时 为纯虚数 z是纯虚数 0 zz 且 0 z 复数方程求解策略 利用求根公式 利用韦达定理 利用复数相等的定义求 解 复数模的求解策略 利用定义求复数的模 利用几何意义求复数的模 利用 复数对应的向量关系求复数的模 利用方程思想求解复数的模 解决复数问题基本策略 复数相等策略 分母实数化策略 利用几何意义转 化为点或向量策略 借助于特殊结论求解策略 专题综合专题综合 1 复数与三角函数的交汇 例 已知复数 sin2 cos2 21 iziz 则 21 zz 的最大值为 本题简介 主要考查复数的乘法运算 复数模的求解 三角公式和三角函数有界性的 熟练应用 分析 把 21 zz 表示出来 然后利用三角函数的有界性求最大值 解 sin2 cos2 2121 iizzzz 2222 cossin420sin4cos4 212sin20 2 21 zz 的最大值为 21 反思 本题以复数为切入点 重点考查了复数的模的计算方法 三角函数有关公式 最值的求解 均值不等式等内容 涉及的知识较多 基础性较强 所以求解此类问题的关 键是熟练掌握所学基础知识 2 复数和逻辑知识的交汇 例5 izRmimmmmz23 4 1 2 22 1 则 1 m 是 21 zz 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 用心 爱心 专心 本题简介 本题主要考查复数相等的充要条件 考查充要 充分不必要 必要不充分 等等条件的判断方法 分析 先求出 21 zz 的充要条件 再判定 1 m 与充要条件的关系 解 由 24 31 2 2 mm mm 解得 2 m 或 1 m 所以 1 m 是 21 zz 的充分条件 选A 反思 判断 或 求充分条件或必要条件时 一般都需先求出充要条件 再利用条件 对应集合之间的包含关系 来确定所给条件是什么条件 专题突破专题突破 1 0808浙江卷理浙江卷理1 1 已知a是实数 i ia 1 是春虚数 则a 2 08 08全国全国 设a是实数 且 1 i 1 i2 a 是实数 则a 3 08 08江西理江西理 在复平面内 复数 sin2cos2zi 对应的点位于第 象限 考点考点2 2 复数的四则运算 复数的四则运算 4 08 08湖南理湖南理 复数 3 1 i i 等于 5 0707海南宁夏卷 海南宁夏卷 已知复数 1zi 则 2 1 z z 6 0808山东卷理 山东卷理 设z的共轭复数是z 或z z 4 z z 8 则z z 等于 7 0808江苏卷江苏卷3 3 1 1 i i 表示为a bi a bR 则a b 8 0808上海卷文上海卷文7 7 若复数z满足 2 ziz i是虚数单位 则z 9 0808宁夏 海南卷 宁夏 海南卷 i是虚数单位 238 i2i3i8i 用 iab 的形式表示 a b R 考点考点3 3 复数的几何意义 复数的几何意义 用心 爱心 专心 10 虚数 x 2 yi其中x y均为实数 当此虚数的模为1时 x y 的取值范围是 11 已知在复平面内 定点M与复数 12mi 对应 动点Z与复数 zxyi 对应 那么满 足不等式 2zm 的点的集合表示的图形是 12 已知复数 3 1 21 ziz 那么 21 zz 的最大值是 专题突破专题突破 参考答案参考答案 1 答案 由 1 11 1 1 1 22 aiaiiaa i iii 是纯虚数 则 1 0 2 a 且 1 0 2 a 故 a 1 评析 本题主要考查复数的概念 注意纯虚数一定要使虚部不为0 2 答案 设a是实数 1 12 ai i 1 1 1 1 222 aiiaa i 是实数 则a 1 3 答案 因sin2 0 cos20 所以 sin2cos2zi 对应的点在第四象限 评析 本题考查复数的几何意义 每一个复数在复平面内都有一个点与之对应 4 答案 由 33 4 12 88 i ii iii 易知D正确 5 答案 将 1 zi代入得 2 2 12 2 111 izi zii 选 6 答案 可设 2zbi 由 8z z 得 2 48 2 bb 2 2 22 88 izz i z 评析 本题考查共轭复数概念 复数的运算 不能依据共轭复数条件设 2zbi 简化运 算 7 答案 1 0 1 1 i iab i 因此a b 1 8 答案 由 22 1 2 1 1 1 1 iii zizzi iii 9 答案 238 i2i3i8ii 2 3i 4 5i 6 7i 8 4 4i 评析 考查复数的基本概念和运算 用心 爱心 专心 10 答案 0y 1y 2x 22 设k x y 则k为过圆 x 2 2 y2 1上点及原点的直 线斜率 作图如下 k 3