2011届高考数学 空间向量在立体几何中的应用1试题汇编 新人教A版

用心 爱心 专心 1 D1A1 DA B1C1 C B 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 题组一题组一 一 填空题一 填空题 1 北京五中 北京五中 20112011 届高三上学期期中考试试题理 届高三上学期期中考试试题理 一个正方体形状的无盖铁桶 1111 DCBAABCD 的 容积是V 里面装有体积为V 3 2 的水 放在水平的 地面上 如图所示 现以顶点A为支撑点 将铁 桶倾斜 当铁桶中的水刚好要从顶点 1 A处流出时 棱 1 AA 与地面所成角的余弦值为 答案答案 11 22 2 福建省厦门双十中学 福建省厦门双十中学 20112011 届高三届高三 1212 月月考题理 月月考题理 平面内有两定点 A B 且 AB 4 动点 P 满足4 PBPA 则点 P 的轨迹 是 答案 答案 以 AB 为直径的圆 二 简答题二 简答题 3 福建省厦门双十中学 福建省厦门双十中学 20112011 届高三届高三 1212 月月考题理 月月考题理 本小题满分 12 分 如图 已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 A1D 底面 ABCD 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形 侧棱 AA1 2 I 求证 C1D 平面 ABB1A1 II 求直线 BD1与平面 A1C1D 所成角的正弦值 求二面角 D A1C1 A 的余弦值 答案 I 证明 四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 BB1 CC1 又 1 CC面 ABB1A1 所以 CC1 平面 ABB1A1 2 分 ABCD 是正方形 所以 CD AB 用心 爱心 专心 2 又 CD 面 ABB1A1 AB 面 ABB1A1 所以 CD 平面 ABB1A1 3 分 所以平面 CDD1C1 平面 ABB1A1 所以 C1D 平面 ABB1A1 4 分 II 解 ABCD 是正方形 AD CD 因为 A1D 平面 ABCD 所以 A1D AD A1D CD 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz 5 分 在 1 ADA 中 由已知可得 3 1 DA 所以 3 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 11 CAAD 0 1 1 3 0 1 3 1 0 11 BDB 3 1 2 1 BD 6 分 因为 A1D 平面 ABCD 所以 A1D 平面 A1B1C1D1 A1D B1D1 又 B1D1 A1C1 所以 B1D1 平面 A1C1D 7 分 所以平面 A1C1D 的一个法向量为 n 1 1 0 8 分 设 1 BD与 n 所成的角为 则 4 3 82 3 cos 1 1 BDn BDn 所以直线 BD1与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 4 3 9 分 III 解 平面 A1C1A 的法向量为 cbam 则 0 0 111 AAmCAm 所以03 0 caba 令 3 c可得 3 3 3 m 11 分 则 7 42 212 6 cos nm nm nm 所以二面角ACAD 11 的余弦值为 7 42 12 分 4 北京五中 北京五中 20112011 届高三上学期期中考试试题理 届高三上学期期中考试试题理 如图 正三角形ABC边长 2 CD为AB边上的高 E F分别为AC BC中点 现将ABC 沿CD翻折成 直二面角BDCA 如图 1 判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系 并说明理由 用心 爱心 专心 3 2 求二面角DACB 的余弦值 3 求点C到面DEF的距离 图 图 答案 解 1 平行 证明略 2 取 AE 中点 M 角 BMD 即所求 余弦值为 7 21 CDFEDEFC VV 可得点C到面DEF的距离为 7 21 5 福建省惠安荷山中学 福建省惠安荷山中学 20112011 届高三第三次月考理科试卷 届高三第三次月考理科试卷 本题满分 13 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC CC1 2 AC BC D为AB的中点 1 求异面直线 1 AC与 1 B B所成的角的余弦值 2 求证 11 ACBCD面 3 求证 11 ABBCD 面 答案答案 5 5 解 1 在直三棱柱 111 ABCABC 中 11 BBCC 1 AC C 是 11 ACBB与所成的角 或其补角 2 分 在 1 Rt ACCA中 1 2ACCC 1 2 cos 2 AC C 4 分 2 连结 1 BC交 1 BC于O 连结OD 5 分 则O为 1 BC的中点 又D为AB的中点 用心 爱心 专心 4 1 ODAC 7 分 111 ODBCD ACBCD 面面 11 ACBCD 面 9 分 3 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 A AABC CDABC 面面 1 A ACD 10 分 AcBC DAB 是中点 CDAB 11 CDABB A 面 11 分 1 CDAB 12 分 同理 11 BCAB 11 ABBCD 面 13 分 6 6 宁宁夏夏银银川川一一中中2 20 01 11 1 届届高高三三第第五五次次月月考考试试题题全全解解全全析析理理 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 BE CF BCF CEF 90 AD 3 EF 2 1 求证 AE 平面 DCF 2 当 AB 的长为何值时 二面角 A EF C 的大小为 60 分析分析 1 只要过点E作BC的平行线即可 2 由于点B是点A在平面BEFC内的射 影 只要过点B作EF的垂线即可很容易地作出二面角AEFC 的平面角 剩下的就是 具体的计算问题 或者建立空间直角坐标系 使用法向量的方法求解 解析解析 方法一 方法一 证明 过点E作EG CF 交CF于G 连结DG 可得四边形BCGE为矩形 又ABCD为矩形 所以 ADEG 从而四边形ADGE为平行四边形 故AE DG 因为AE 平面DCF DG 平面DCF 所以AE 平面DCF 6 分 解 过点B作BH EF 交FE的延长线于H 连结AH 由平面ABCD 平面BEFC AB BC 得AB 平面BEFC 从而AH EF 所以 AHB 为二面角A EFC 的平面角 在Rt EFG 中 因为 3EGAD 2EF 所以 60CFE 1FG 又因为CE EF 所以 4CF D A B E F C H G 用心 爱心 专心 5 从而 3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEH A 因为 tanABBHAHB A 所以当AB为 9 2时 二面角A EFC 的大小为60 12 分 方法二 如图 以点C为坐标原点 以CB CF 和CD分别作为x轴 y 轴和z轴 建立空 间直角坐标系C xyz 设AB aBEbCFc 则 0 0 0 C 3 0 Aa 3 0 0 B 30 Eb 00 Fc 证明 0 AEba 3 0 0 CB 00 BEb 所以 0CB CE A 0CB BE A 从而CB AE CB BE 所以CB 平面ABE 因为CB 平面DCF 所以平面ABE 平面DCF 故AE 平面DCF 6 分 解 因为 30 EFcb 30 CEb 所以 0EF CE A 2EF 从而 2 3 0 3 2 b cb cb 解得 34bc 所以 33 0 E 0 4 0 F 设 1 nyz 与平面AEF垂直 则 0n AE A 0n EF A 解得 3 3 13 n a 又因为BA 平面BEFC 0 0 BAa 所以 2 3 31 cos 2 427 BA na n BA BAn aa A A 得到 9 2 a 所以当AB为 9 2时 二面角AEFC 的大小为60 12 分 考点 空间点 线 面位置关系 空间向量与立体几何 点评 由于理科有空间向量的知识 在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用 这为 考生选择解题方案提供了方便 但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷 那就是空间向量的运算问题 空间向量有三个分坐标 在进行运算时极易出现错误 而且空 间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显 所以在复习立体几何时 不要纯粹以空间 向量为解题的工具 要注意综合几何法的应用 7 北京龙门育才学校 北京龙门育才学校 20112011 届高三上学期第三次月考 届高三上学期第三次月考 本题满分 14 分 如图 在四棱锥 SABCD 中 底面ABCD是正方形 其他四个侧面都是等边三角形 AC与BD的交 点为O E为侧棱SC上一点 当E为侧棱SC的中点时 求证 SA 平面BDE 求证 平面BDE 平面SAC 理科做 当二面角E BDC 的大小为45 时 试判断点E在SC上的位置 并说明理由 D A B E F C y z x O S A B C D E 用心 爱心 专心 6 O y z x S AB C D E O S A B C D E 答案 7 本题满分 14 分 如图 在四棱锥SABCD 中 底面ABCD是正方形 其他四 个侧面都是等边三角形 AC与BD的交点为O E为侧棱SC上一点 当E为侧棱SC的中点时 求证 SA 平面BDE 求证 平面BDE 平面SAC 理科做 当二面角EBDC 的大小为45 时 试判断点E在SC上的位置 并说明理由 解法一 证明 连接OE 由条件可得SA OE 因为SA 平面BDE OE 平面BDE 所以SA 平面BDE 由已知可得 SBSD O是BD中点 所以BDSO 又因为四边形ABCD是正方形 所以BDAC 因为ACSOO 所以BDSAC 面 又因 为BDBDE 面 所以平面BDE 平 面SAC 解 连接OE 由 知 BDSAC 面 而OESAC 面 所以BDOE 又BDAC 所以EOC 是二面角EBDC 的平面角 即45EOC 设四棱锥SABCD 的底面边长为 2 在SAC 中 2SASC 2 2AC 所以2SO 又因为 1 2 2 OCAC SOOC 所以SOC 是等腰直角三角形 用心 爱心 专心 7 由45EOC 可知 点E是SC的中点 解法二 同解法一 证明 由 知SOABCD 面 ACBD 建立如图所示的空间直角坐标系 设四棱锥SABCD 的底面边长为 2 则 0 0 0 O 0 0 2 S 2 0 0A 0 2 0B 2 0 0C 0 2 0D 所以 2 2 0 0AC 0 2 2 0BD 设CEa 02a 由已知可求得45ECO 所以 22 2 0 22 Eaa 22 2 2 22 BEaa 设平面BDE法向量为 x y z n 则 0 0 BD BE n n 即 0 22 2 20 22 y a xyaz 令1z 得 0 1 2 a a n 易知 0 2 2 0BD 是平面SAC的法向量 因为 0 1 0 2 2 0 0 2 a BD a n 所以BD n 所以平面BDE 平面SAC 解 设CEa 02a 由 可知 平面BDE法向量为 0 1 2 a a n 因为SOABCD 底面 所以 0 0 2 OS 是平面SAC的一个法向量 由已知二面角EBDC 的大小为45 所以 2 cos cos45 2 OS n 所以 2 22 2 12 2 a a 解得1a 用心 爱心 专心 8 所以点E是SC的中点 8 北京四中 北京四中 20112011 届高三上学期开学测试理科试题 届高三上学期开学测试理科试题 本小题满分 13 分 已知 如图 长方体中 分别是棱 上的点 1 求异面直线与所成角的余弦值 2 证明平面 3 求二面角的正弦值 答案 解 解 法一 法一 如图所示 以点 A 为坐标原点 建立空间直角坐标系 设 依题意得 1 易得 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为 2 已知 用心 爱心 专心 9 于是 0 0 因此 又 所以平面 3 设平面的法向量 则 即 不妨令 X 1 可得 由 2 可知 为平面的一个法向量 于是 从而 所以二面角的正弦值为 法二 法二 1 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 连接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1交于点 M 易知 A1D B1C 由 可知 EF BC1 故是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 BM CM 所以 所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 2 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 所以 从而 用心 爱心 专心 10 又由于 所以 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 所以 AF 平面 A1ED 3 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF平面 ACF A1N平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故为二面角 A1 ED F 的平面角 易知 所以 又所以 在 连接 A1C1 A1F 在 所以 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 9 浙江省金丽衢十二校 浙江省金丽衢十二校 20112011 届高三第一次联考理 届高三第一次联考理 本题满分 14 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 22AAABAD 且 11 0 1 PCCC I 求证 对任意01 总有AP