《二 用数学归纳法证明不等式》同步练习1

用数学归纳法证明不等式举例用数学归纳法证明不等式举例 同步练习同步练习1 1 一 选择题 1 用数学归纳法证明 1 1 第二步证明从 k到 1 2 1 3 1 2n 1 k 1 左端增加的项数是 A 2k 1 B 2k C 2k 1 D 2k 1 答案 B 2 用数学归纳法证明不等式1 成立时 起始值n0至少应取 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 A 7 B 8 C 9 D 10 解析 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 64 127 64 n 1 6 n 7 故n0 8 答案 B 3 已知x R 不等式x 2 x 3 可推广为x n 1 则a的值为 1 x 4 x2 a xn A 2n B n2 C 22 n 1 D nn 答案 D 4 如果命题P n 对n k成立 则它对n k 2亦成立 又若P n 对n 2成立 则下列 结论正确的是 A P n 对所有正整数n成立 B P n 对所有正偶整数n成立 C P n 对所有正奇整数n成立 D P n 对所有比1大的自然数n成立 答案 B 二 填空题 5 用数学归纳法证明 1 1 第一步要证明的不 1 2 1 3 1 2n 1 等式是 答案 n 2时 左边 1 1 n 1 n N 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n2 证明 1 当n 2时 1 1 2 1 3 1 4 6 4 3 12 13 12 即n 2时命题成立 2 设n k k 2 时 命题成立 即 1 1 k 1 k 1 1 k 2 1 k2 当n k 1时 左边 1 k 1 1 k2 1 k2 1 1 k 1 2 1 2k 1 1 1 k 1 2 1 k k2 k 1 k k 1 2 k 2 令f k k2 k 1 对称轴为k 1 2 2 为t的增区间 f k f 2 即k2 k 1 22 2 1 1 0 n k 1时 命题也成立 k2 k 1 k k 1 2 由 1 2 知 当n 1 n N 时 命题都成立 10 设数列 an 的前n项和为Sn 且方程x2 anx an 0有一根为 Sn 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 求数列 an 的通项公式 解 1 当n 1时 x2 a1x a1 0有一根为S1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 解得a1 当n 2时 x2 a2x a2 0有一根为S2 1 a2 于是 2 a2 1 2 1 2 a2 1 2 a2 0 解得a2 a2 1 2 1 6 2 由题设 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 即S 2Sn 1 anSn 0 2n 当n 2时 an Sn Sn 1 代入上式得Sn 1Sn 2Sn 1 0 由 1 知S1 a1 S2 a1 a2 1 2 1 2 1 6 2 3 由 可得S3 3 4 由此猜想Sn n 1 2 3 n n 1 下面用数学归纳法证明这个结论 n 1时已知结论成立 假设n k时结论成立 即Sk k k 1 当n k 1时 由 得Sk 1 1 2 Sk 即Sk 1 故n k 1时结论也成立 k 1 k 2 综上 由 可知 Sn 对所有正整数n都成立 n n 1 于是当n 2时 an Sn Sn 1 又n 1时 a1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 1 2 1 1 2 所以 an 的通项公式为an n 1 2 3 1 n n 1 11 在数列 an 中 a1 2 an 1 n 1 an 2 1 an 证明 an成立 2 1 当n 1时 a1 2 成立 2 2 假设n k k 1 时 ak 成立 2 当n k 1时 由题意知ak 1 2 ak 2 1 ak ak 2 1 ak2 即ak 1 当且仅当 即ak 时 等号成立 2 ak 2 1 ak2 这与ak 矛盾 所以只有ak 1 22 由 1 2 知 不等式an n N 成立 2 其次 证明不等式an n N 成立 2 1 n 1 当n 1时 a1 2 1 即不等式成立 2 1 12 2 假设n k k 1 时 不等式ak 成立 2 1 k 由题知 当n k 1时 ak 1 ak 2 1 ak 由ak 得 得 2 1 ak 2 2 由 得 ak 2 1 ak 2 2 1 2k 2 22 1 2