材料力学答案 第三版 单辉祖 北航教材

1 附录 A 截面几何性质 A 1 试确定图示截面形心 C 的横坐标 yC 题 A 1 图 a 解 坐标及微面积示如图 A 1a 图 A 1a Addd 由此得 R A Ay y R R A C 3 sin2 dd ddcosd 0 0 b 解 坐标及微面积示如图 A 1b 图 A 1b yayyyhA nd d d 2 由此得 2 1 d d 0 0 n bn yay yayy A ydA y b n b n A C A 2 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩 题 A 2 图 a 解 取微面积如图 A 2a 所示 图 A 2a yzAd2d 由于 by by az dcosd sin cos 故有 4 d cos41 4 dcoscos2 sin d 3 2 2 3 2 2 22 ab ab b a bAyI A z b 解 取微面积如图 A 2b 所示 3 图 A 2b dcos 2 d2d 2 2 d yzA 且在与之间变化 而 d d 2 sin 由此可得 4 4sin 32 dcos41 64 d2sin 4 1 8 dcos 2 sin 2 d 4 4 2 4 2 2 22 ddd dd AyI A z A 4 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩 题 A 4 图 解 显然 4 1264 12 4443 Radbh Iz A 5 试计算图 a 所示正六边形截面对水平形心轴 z 的惯性矩 4 题 A 5 图 解 由图 b 可以看出 2 3 2 a h a b 所以 ADB 对 z 轴的惯性矩为 64 3 2 3 212 1 123236 4 3 3 2 3 t aaabhhbhbh Iz 中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为 4 3 2 3 2 1212 2 4 3 3 r aaaha Iz 于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为 16 35 4 3 64 34 4 444 r t aaa III zzz A 6 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩 题 A 6 图 解 由截面关于轴的对称性可得z 12 1 12 12 44 44 aa aa Iz A 7 试计算图 a 所示截面对坐标轴 y 的惯性矩 5 题 A 7 图 解 如图 b 所示 在横坐标 y 处 取宽为 dy 高为 z 的狭长矩形为微面积 它对坐标轴 y 的惯性矩为 y ya y ay y z I nn y d 3 d 3 d 3 d 33 3 3 由此得 13 3 d 3 3 0 3n 3 n bh yy a I b y A 8 图示曲边三角形 EFG z 轴为平行于 EF 边的形心轴 试计算该截面对 z 轴的 惯性矩 题 A 8 图 解 曲边三角形的面积 可视为为正方形面积与圆面积之差 见图 A 8 即A 1 A 4 1 2 A 图 A 8 2 21 4 4 RAAA 由图可知 及的形心位置 竖向 依次为 1 A 2 A 6 3 4 2 21 R y R y CC 由 2211CCC yAAyyA 可得的形心位置为A R A yAyA y CC C 4 3 2 2211 曲边三角形截面对轴的惯性矩为 0 z 444 2 1 48 316 16 3 1 000 RRRIII zzz 于是得 434 2242 1055 7 4 144 16 4 316 3 312 2 4 4 48 316 0 RR RRRAyII Czz A 9 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩 题 A 9 图 a 解 1 确定形心位置 到顶边之距为 C y m1833 0 m 050 0 400 0 2100 0 350 0 300 0 050 0 400 0 2050 0 100 0 350 0 C y 2 计算惯性矩 4943 42 3 2 3 mm10729 1 m10729 1 m 1833 0 300 0400 0 050 0 12 400 0 050 0 2 050 0 1833 0 100 0 350 0 12 100 0 350 0 z I b 解 根据教材附录第 4 行的公式 可直接计算惯性矩 C 4844 4 223223 mm1039 2 m1039 2 m 300 0 100 0 36 300 0 300 0 100 0 4100 0 250 0 36 4 ba babah Iz 7 c 解 1 确定形心位置 到大圆水平直径之距为 C y m0333 0 m 300 0 600 0 4 100 0 4 3000 0 22 2 yC 结果为负值 表示形心在大圆水平直径上方 C 2 计算惯性矩 4943 42 24 2 24 mm1002 5 m1002 5 m1333 0 4 3000 64 3000 0333 0 4 6000 64 6000 Iz A 10 试证明下列截面的形心轴均为主形心轴 且截面对这些主形心轴的惯性矩均 相同 题 A 10 图 a 与 b 解 1 用解析法证明 沿水平与铅垂方位建立直角坐标系 Cyz 显然有 a zy II 0 yz I 将坐标转任意角 得坐标系 Cuv 由于 02cos2sin 2 yz zy uv I II I 2 2sin2cos 22 zy yz zyzy v u II I IIII I I 考虑到式 a 从而有 zyvu IIII 由此得出结论 截面的形心轴均为主形心轴 且截面对这些主形心轴的惯性矩均相同 2 用几何法证明 以为横坐标 以为纵坐标 画惯性圆 是一个落在横坐标轴上的点圆 欲证的结 y I yz I 论一目了然 8 c 解 设等边三角形的边宽为 a 高为 h 则 96 3 36 2 3 36 4 3 3 a a a ah Iz 96 3 62 2 36 2 2 42 3 aa a h a h Iz 由此得 zy II 还可知 0 yz I 可见 情况与题 a 及 b 相同 故结论亦同 A 11 试计算图 a 所示矩形截面对 AA 轴的惯性矩 题 A 11 图 解 选坐标系如图 b 所示 得 4 3 8 3 2 3 a aa Iy 4 3 18 3 3 2 a aa Iz 4 9 2 3 32 0aa a aaIyz 13 3 cos 13 2 sin 从而有 13 12 2sin 13 5 2cos 根据转轴公式 9 2sin2cos 22 2sin2cos 22 yz zyzy yz zyzy AA I IIII I IIII I 将相关表达式代入上式 得 13 36 13 12 9a 15 3 2 188 2 188 4 4 4444 aaaaa IAA A 12 图示矩形截面 试确定 A 点的主轴方位及截面对该主轴的惯性矩 题 A 12 图 解 坐标取如图 A 12 并设边长 于是有mm20 bmm30 h 48422 22 474232 3 484232 3 m1000 9 m 030 0 020 0 4 1 4 2 2 m10800 1 m015 0 030 0 020 0 030 0 020 0 12 1 2 12 m1000 8 m010 0 030 0 020 0 020 0 030 0 12 1 2 12 hbhb bhI h bh bh I b bh hb I yz z y 图 A 12 依据主轴方位与主惯性矩公式 得 10 444848 7878 87 8 mm1070 2 m1070 2 m945 60 sin 1000 9 945 60cos 2 10800 1 1000 8 2 10800 1 1000 8 47 30945 60 1000 8 10800 1 10900 0 2 arctan2 y I 454748 7878 mm1033 2 m1033 2 m945 60 sin 1000 9 945 60cos 2 10800 1 1000 8 2 10800 1 1000 8 z I A 13 试求图示各截面的主形心轴位置及主形心惯性矩 题 A 13 图 a 解 坐标示如图 A 13a 为截面形心 C 图 A 13a 11 47412 474122 3 2 3 474122 3 2 3 33 33 m10231 3 m10 54 16 2 50 10 554 26 1050 54 165 4054 26 1080 m10878 3 m10 554 16 1070 12 1070 54 160 31060 12 6010 m10078 8 m10 554 26 1050 12 1050 54 2640 1080 12 8010 m1054 16m10 10601070 30106051070 m1054 26m10 10501080 51050401080 yz y z C C I I I z y 由 539 1 10 878 3 078 8 10231 3 2 2tan 7 7 得 5 2849 2898 562 最后得到 47 77 m98 56sin10231 3 98 56cos 2 10 078 8 878 3 2 10 078 8 878 3 z y I I 45474547 mm1083 9 m1083 9 mm1013 2 m1013 2 zy II b 解 坐标示如图 A 13 b 有 图 A 13b 12 48 4 4742 33 474 3 m1022 6 m2 3 020 0 005 0 3 040 0 020 0 020 0 040 0 2 1 m10300 1 m2 3 020 0 005 0 020 0 040 0 2 1 36 020 0 040 0 12 010 0 040 0 m10600 1 m 12 040 0 030