2010高考数学二轮复习（18）数系的扩充与复数的引入教案

用心 爱心 专心 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 专题要点专题要点 1 理解复数的概念 即复数是由实数与虚数构成的 2 理解复数相等的条件是 若a bi c di当且仅当a c b d 3 掌握复数的四则运算 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 考纲要求考纲要求 加强数学思想方法的训练 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 整体思想 突破关键知识 理解复数 实数 虚数 共轭复数的概念和复数的几何表示 熟练 应用复数相等的条件 掌握复数的运算法则 及复数加减法的几何意义及应用 复数 问题实数化方法w w w 知识纵横知识纵横 教法指引教法指引 复数部分是高考必考内容之一 主要考查复数的有关概念和运算 复数在高考中题型 多为选择题和填空题 均为容易题 估计2010年高考对这部分的考查不会有大的改变 复数 部分仍然会重点考查有关概念的复数基本运算 问题难度相当 均为容易题 典例精析典例精析 一 复数基本概念 一 复数基本概念 复数的概念是解题的重要手段 应在理解 掌握复数概念上下功夫 如实数 虚数 纯虚数 复数相等等概念要切实掌握好 例1 2009江西卷 若复数 2 1 1 zxxi 为纯虚数 则实数x的值为 复数 复数的概念 复数与复数分类 复数相等的充要条件 共轭复数 复数的模 复数的运算 复数的加法法则 复数的减法法则 复数的乘法法则 复数的除法法则 a bi c di a c b d i 复数加法的几何意义 a bi c di a c b d i 复数减法的几何意义 复平面上两点间的距离 d z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i i a bi c di ac bd c2 d2 bc ab c2 d2 用心 爱心 专心 A 1 B 0 C 1 D 1 或1 解析 由复数z为纯虚数 得 2 10 10 x x 解得 1x 故选A 点评 本题主要考查了复数的基本概念 掌握基本复数的概念是解决复数问题的关键 若复数 2 1 1 zaai aR 是纯虚数 则z 解析解析 由由 2 10 1 10 a a a 所以z 2 答案答案 2 二 复数的基本运算二 复数的基本运算 复数的最本质的运算方式是代数形式的运算 所以代数形式运算是试题考查的重点 其试题难度一般 试题活而不难 主要考查学生灵活运用知识的能力 例2 2009重庆卷 已知复数z的实部为 1 虚部为2 则 5i z A 2 i B 2 i C 2i D 2i 解析 由题意知 12zi 则 55 1 2 510 2 12 1 2 5 iiii i zii 所以选A 点评 本题主要考查了复数的基本运算 复数的四则运算是复数的一个重点考查热点 也 是掌握复数的基础 配套练习 已知zi z 2 则复数z A 1 iB 1 iC 2iD 2i 解析解析 由由zi z 2 得 Z 2 1 1 i i 所以选 A 项 答案答案 A 已知 i 是虚数单位 m R R 且 2i 1 i m 是纯虚数 则 2i 2i m m 2008 等于 A 1 B 1 C i D i 解析解析 由由 2i 1 i m 2i 1 i 2 1 1 i 1 i 2 mmmi 是纯虚数 得 m 2 所以 2i 2i m m 2008 22i8i 1 22i8 i 200820082008 答案答案 A 用心 爱心 专心 若z1 a 2i z2 3 4i 且 1 2 z z 为纯虚数 则实数a的值是 解析解析 1 2 z z 2 2 34 38 46 3455 aiaiiaai i 则由条件可得 3a 8 0 得 a 8 3 答案答案 8 3 已知z C 且iziz 2 i为虚数单位 则 z 2i z 解析解析 设 Z a bi 则zabi 所以由条件iziz 2得 22 2 1 abiab i 所以 22 0 2 2 11 a aba b b 即 z 2i 2i z 22 2 24 2i555 iii i 答案答案 2i i 5 4 5 2 三三 复数相等复数相等 例例 3 3 已知1 1 m ni i 其中mn 是实数 i是虚数单位 则mni A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 解析解析 由已知 得 1 1 1 1 mniinn i 则 1 01 mn n 解得 1 2 n m 故选 C 点评点评 在两个复数相等的条件中 注意前提条件是a b c dR 即当a b 特别地 特别地 0abi 0ab 警示 两个复数 如果不全是实数时 不能比较它们的大小 四四 开方运算开方运算 例 4 7 24i 的平方根是 解析解析 设 2 724abii 其中 a bR 所以 22 7 224 ab ab 解得 4 3 a b 或 4 3 a b 故724i 的平方根是 43 i 用心 爱心 专心 练习练习 34i 的平方根是 2 i 五 复数的几何表示五 复数的几何表示 复数z a bi a b R 可用平面直角坐标系内点Z a b 来表示 这时称此平面为复 平面 x轴称为实轴 y轴除去原点称为虚轴 这样 全体复数集C与复平面上全体点集是一 一对应的 例例5 5 2009潍坊调研 复数 1 3zi 2 1zi 则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限C 第三象限D 第四象限 A 提示 本题考查了复数的几何意义 1 2 313 12 12 iizi i zi 所以复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于第一象限 点评 理解掌握复数与复平面内点之间的一一对应关系 研究复数对应复平面内点的位置 只要看复数的实部与虚部的正与负 六 复数中的方程思想复数中的方程思想 例 6 设复数z满足 12i i z 则z A 2i B 2i C 2i D 2i 解析解析 12i 12i 2 i zii 选 C 点评点评 视z为未知数 解关于z的方程 是好招 练习练习 2004 辽宁 理 4 设复数 z 满足i z z 1 1 则 1 z A 0 B 1 C 2 D 2 2006 上海 理 5 若复数z同时满足z z 2i z iz i为虚数 单位 则z 1 i 七 复数方程七 复数方程 例例 7 7 2008 2008 上海上海 文文 7 7 若z是实系数方程 2 20 xxp 的一个虚根 且2z 则 p 解析解析 设zabi ab R 则方程的另一个根为zabi 且2z 22 2ab 由韦达定理 得 22 zza 1 a 2 3 3 bb 所以 13 13 4 pz zii 若关于若关于的实系数方程的实系数方程x 2 0axbxc 的根不是实数 则两个虚根互为共的根不是实数 则两个虚根互为共 0 a 轭复数 根据这一特点可以简化运算 轭复数 根据这一特点可以简化运算 用心 爱心 专心 点评点评 本题考查一元二次方程根的意义 共轭复数 复数的模等知识 1 已知ab R 且i i2 ba i是虚数单位 是实系数一元二次方程 0 2 qpxx的两个根 那么pq 的值分别是 45pq 43pq 45pq 43pq 2 设关于x的方程 2 tan 2 0 xi xi 有实根 求锐角 及这个实根 解析解析 设实数根为a 则 2 tan 2 0ai ai 即 2 tan2 1 0aaai a tanR 2 tan20 10 aa a 1a 且tan1 又0 2 4 点评点评 这种解法是解这类方程的基本方法 利用复数相等实现复数问题向实数问题的 转化 体现了转化思想 八 复数的待定系数法八 复数的待定系数法 例例 8 8 已知 z 是纯虚数 2 1 i z 是实数 那么 z 等于 A 2i B i C i D 2i 解析解析 设zbi bR 代入 22 2 1 2 2 11 1 1 2 zbibiibbi iiii 由于其为实数 b 2 故选 D 练习练习 2004 广东 14 已知复数 z 与 z 2 2 8i 均是纯虚数 则 z 2i 九 复数中的创新试题九 复数中的创新试题 对于复数的创新试题的考查题型主要为新定义与新运算 或与函数等其他知识点相交汇 型的试题 主要考查学生收集信息 加工信息的能力 例例9 1 9 1 定义 复数b ai 是 zabi a bR 的转置复数 记为 变式变式 引入实根 进入方引入实根 进入方 程 利用复数相等复数程 利用复数相等复数 问题化实数问题求解 问题化实数问题求解 用心 爱心 专心 zbai 复数a bi 是 zabi a bR 的共轭复数 记为z abi 给出下列三个命 题 zi z 0zz 1212 zzzz 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析解析 i ziabibaiz 正确 zzabibai 0baibai 正确 1211221122 zzabiab ibai ba i 1 212121 2 bba abaab i 121122121 21 212 zzabi ab ia abbabba i 121 21 212 a abbabba i 1212 zzzz 错 故选C 点评点评 本题考查了学生收集信息 加工信息和运用信息的能力 将新信息与已学信息联系在 一起运用 是解这类题的关键 2 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为 m 和 n 则复数 m ni n mi 为实数的概 率为 A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 12 解析 因为 22 2 mni nmimnnm i 为实数 所以 22 nm 故mn 则 mn 可以取 1 2 6 共 6 种可能 所以 11 66 61 6 P CC 练习练习 复数 z i 在映射 f 下的象为