2010年高三数学计算试题分类汇编——新课标选考内容

1 20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 新课标选考内容新课标选考内容 2010 辽宁理数 辽宁理数 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E I 证明 ABE ADC II 若ABC 的面积AEADS 2 1 求BAC 的大小 证明 由已知条件 可得BAECAD 因为AEBACB 与是同弧上的圆周角 所以 AEBACD 故 ABE ADC 5 分 因为 ABE ADC 所以 ABAD AEAC 即 AB AC AD AE 又 S 1 2 AB ACsinBAC 且 S 1 2 AD AE 故 AB ACsinBAC AD AE 则 sinBAC 1 又BAC 为三角形内角 所以BAC 90 10 分 2010 辽宁理数 辽宁理数 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知 P 为半圆C 为参数 0 上的点 点 A 的坐标为 1 0 O 为坐标原点 点 M 在射线 OP 上 线段 OM 与 C 的弧的长度均为 3 I 以 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的极坐标 II 求直线 AM 的参数方程 解 由已知 M 点的极角为 3 且 M 点的极径等于 3 故点 M 的极坐标为 3 3 5 分 M 点的直角坐标为 3 66 A 0 1 故直线 AM 的参数方程为 1 1 6 3 6 xt yt t 为参数 10 分 2010 辽宁理数 辽宁理数 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 2 已知cba 均为正数 证明 36 111 2222 cba cba 并确定cba 为何值时 等号成立 证明 证法一 因为 a b c 均为正数 由平均值不等式得 2 222 3 1 3 3 111 3 abcabc abc abc 所以 2 2 3 111 9 abc abc 6 分 故 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 又 22 33 3 9 2 276 3abcabc 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 22 33 3 9 abcabc 时 式等号 成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 证法二 因为 a b c 均为正数 由基本不等式得 22 22 22 2 2 2 abab bcbc caac 所以 222 abcabbcac 同理 222 111111 abcabbcac 6 分 故 2222 111 abc abc 111 333 6 3 abbcac abbcac 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 a b c 222 3abbcac 时 式等号成立 3 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 20102010 福建理数 福建理数 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题做 答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 1 a b 2 0 c N d 且 20 20 MN 求实数 a b c d的值 求直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 5 2 xt yt t 为参数 在极坐标系 与直 角坐标系 xoy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方 程为2 5sin 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线l交于点 A B 若点 P 的坐标为 3 5 求 PA PB 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f xxa 若不等式 3f x 的解集为 15xx 求实数a的值 在 的条件下 若 5 f xf xm 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值范 围 1 选修 4 2 矩阵与变换 命题意图 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 解析 由题设得 02 20 02 20 c ad bc bd 解得 1 1 2 2 a b c d 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线3yx 上的两 0 0 1 3 4 由 0 0 11 11 0 0 1 3 11 11 2 2 得 点 0 0 1 3 在矩阵 M 所对应 的线性变换下的像是 0 0 2 2 从而 直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为yx 2 选修 4 4 坐标系与参数方程 命题意图 本小题主要考查直线的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系等基 础知识 考查运算求解能力 解析 由2 5sin 得 22 2 50 xyy 即 22 5 5 xy 将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 22 22 3 5 22 tt 即 2 3 240 tt 由于 2 3 2 4 420 故可设 12 t t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线过点故由上式及 t 的几何意义得 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 3 选修 4 5 不等式选讲 命题意图 本小题主要考查绝对值的意义 绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 解析 由 3f x 得 3xa 解得33axa 又已知不等式 3f x 的解集为 15xx 所以 31 35 a a 解得2a 当2a 时 2 f xx 设 5 g xf xf x 于是 x 2 3 g xx 21 2 xx x xx 所以 当x5 当 3x2 时 g x 5 当x 2时 g x 5 2010 江苏卷 江苏卷 21 选做题选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应的答并在相应的答 题区域内作答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 5 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证 能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩阵 M 10 0k N 01 10 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1 B1 C1 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力 满分 10 分 解 由题设得 0010 011010 kk MN B O C A D 6 由 002200 10001022 kk 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 k 2 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 k 则由题设知 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 2 2 cos 圆 2cos 的普通方程为 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 又圆与直线相切 所以 22 3 14 0 1 34 a 解得 2a 或8a D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设 a b 是非负实数 求证 3322 abab ab 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证的能力 满分 10 分 方法一 证明 332222 abab abaaabbbba 55 abab 2432234 abaabababb 因为实数 a b 0 2432234 0 0abaabababb 所以上式 0 即有 3322 abab ab 方法二 证明