2011年高考数学二轮考点专题突破 直线与圆

用心 爱心 专心 1 专题四专题四 解析几何第一讲解析几何第一讲 直线与圆直线与圆 一 选择题 1 已知直线 l1的方向向量 a 1 3 直线 l2的方向向量 b 1 k 若直线 l2经过点 0 5 且 l1 l2 则直线 l2的方程为 A x 3y 5 0 B x 3y 15 0 C x 3y 5 0 D x 3y 15 0 解析 l1 l2 a b 0 1 3k 0 k b 1 3 1 1 3 l2方程为 y x 5 1 3 即 x 3y 15 0 答案 B 2 若直线 1 通过点 M cos sin 则 x a y b A a2 b2 1 B a2 b2 1 C 1 D 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 解析 直线 1 通过点 M cos sin 我们知道点 M 在单位圆上 此问题可 x a y b 转化为直线 1 和圆 x2 y2 1 有公共点 圆心坐标为 0 0 由点到直线的距离 x a y b 公式有 1 1 故选 D 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 答案 D 3 2010 福建 以抛物线 y2 4x 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A x2 y2 2x 0 B x2 y2 x 0 C x2 y2 x 0 D x2 y2 2x 0 解析 抛物线 y2 4x 的焦点为 1 0 满足题意的圆的方程为 x 1 2 y2 1 整 理得 x2 y2 2x 0 故选 D 答案 D 4 2010 江西 直线 y kx 3 与圆 x 3 2 y 2 2 4 相交于 M N 两点 若 MN 2 3 则 k 的取值范围是 用心 爱心 专心 2 A B 0 3 4 0 3 4 C D 3 3 3 3 2 3 0 解析 圆心 3 2 到直线的距离 d 3k 1 k2 1 则 MN 2 4 3k 1 k2 1 2 2 2 解得 k 0 故选 A 5k2 6k 3 k2 13 3 4 答案 A 5 2010 湖北 若直线 y x b 与曲线 y 3 有公共点 则 b 的取值范围是 4x x2 A 1 2 1 2 B 1 3 222 C 1 1 2 D 1 2 3 22 解析 y 3 变形为 x 2 2 y 3 2 4 0 x 4 1 y 3 表示以 2 3 4x x2 为圆心 2 为半径的下半圆 如图所示 若直线 y x b 与曲线 y 3 有公共点 只需直线 y x b 在图中两直线之 4x x2 间 包括图中两条直线 y x b 与下半圆相切时 圆心到直线 y x b 的距离为 2 即 2 解得 b 1 2或 b 1 2 舍去 b 的取值范围为 1 2 2 3 b 2222 b 3 故选 D 答案 D 二 填空题 6 2009 全国 若直线 m 被两平行线 l1 x y 1 0 与 l2 x y 3 0 所截得的线段 的长为 2 则 m 的倾斜角可以是 2 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 两直线 x y 1 0 与 x y 3 0 之间的距离为 又动直线 l1与 l2 3 1 22 所截的线段长为 2 故动直线与两线的夹角应为 30 因此只有 适合 2 答案 用心 爱心 专心 3 7 2009 四川理 若 O x2 y2 5 与 O1 x m 2 y2 20 m R 相交于 A B 两点 且两圆在点 A 处的切线互相垂直 则线段 AB 的长度是 解析 如图所示 在 Rt OAO1中 OA O1A 2 OO1 5 55 AC 2 5 2 5 5 AB 4 答案 4 8 2010 课标全国 过点 A 4 1 的圆 C 与直线 x y 1 0 相切于点 B 2 1 则圆 C 的方 程为 解析 由已知 kAB 0 所以 AB 的中垂线方程为 x 3 过 B 点且垂直于直线 x y 1 0 的直线方程为 y 1 x 2 即 x y 3 0 联立 解得Error Error 所以圆心坐标为 3 0 半径 r 4 3 2 1 0 22 所以圆 C 的方程为 x 3 2 y2 2 答案 x 3 2 y2 2 9 2010 山东 已知圆 C 过点 1 0 且圆心在 x 轴的正半轴上 直线 l y x 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 2 解析 设圆心 A x0 0 x0 0 r AC x0 1 BC 由直线 l 方程可知 BCA 2 45 所以 r 2 x0 3 l AB kAB 1 AB 方程为 y 1 x 3 即 x y 3 0 答案 x y 3 0 用心 爱心 专心 4 三 解答题 10 已知 m R 直线 l mx m2 1 y 4m 和圆 C x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线 l 斜率的取值范围 2 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧 为什么 1 2 解 1 直线 l 的方程可化为 y x m m2 1 4m m2 1 直线 l 的斜率 k 因为 m m2 1 m m2 1 1 2 所以 k 当且仅当 m 1 时等号成立 m m2 1 1 2 所以 斜率 k 的取值范围为 1 2 1 2 2 不能 由 1 知 l 的方程为 y k x 4 其中 k 1 2 圆 C 的圆心为 C 4 2 半径 r 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 1 k2 由 k 得 d 1 即 d 从而 若 l 与圆 C 相交 则圆 C 截直线 l 所得的弦 1 2 4 5 r 2 所对的圆心角小于 2 3 所以 l 不能将圆 C 分割 成弧长的比值为 的两段圆弧 1 2 11 已知圆 C x2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为 1 的直线 l 使 l 被圆 C 截得 弦为 AB 以 AB 为直径的圆经过原点 若存在 写出直线 l 的方程 若不存在 说 明理由 解 设直线 l 的方程为 y x b 代入圆的方程 x2 x b 2 2x 4 x b 4 0 即 2x2 2b 2 x b2 4b 4 0 以 AB 为直径的圆过原点 O 则 OA OB 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1x2 y1y2 0 即 x1x2 x1 b x2 b 0 2x1x2 b x1 x2 b2 0 由 式得 x1 x2 b 1 x1x2 b2 4b 4 2 用心 爱心 专心 5 b2 4b 4 b b 1 b2 0 即 b2 3b 4 0 b 4 或 b 1 将 b 4 或 b 1 代入 方程 对应的 0 故存在直线 l x y 4 0 或 x y 1 0 12 已知直线 l 2mx y 8m 3 0 和圆 C x 3 2 y 6 2 25 1 证明 不论 m 取什么实数 直线 l 与圆 C 总相交 2 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程 1 证明 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d 则有 d 6m 6 8m 3 4m2 1 整理可得 4 d2 1 m2 12m d2 9 0 为使上面关于 m 的方程有实数解 122 16 d2 1 d2 9 0 解得 0 d 10 可得 d 5 故不论 m 为何实数值 直线 l 与圆 C 总相交 2 解 由 1 可知 0 d 即 d