2011全国中考数学真题解析120考点汇编 与圆有关的综合题

用心 爱心 专心1 2012 2012 年年 1 1 月最新最细 月最新最细 20112011 全国中考真题解析全国中考真题解析 120120 考点汇编考点汇编 与与 圆有关的综合题圆有关的综合题 一 选择题一 选择题 1 1 2011 山东日照 11 4 分 已知 AC BC 于 C BC a CA b AB c 下列选项中 O 的 半径为 ba ab 的是 A B C D 考点 三角形的内切圆与内心 解一元一次方程 正方形的判定与性质 切线的性质 相 似三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 连接 OE OD 根据 AC BC 分别切圆 O 于 E D 得到 OEC ODC C 90 证出 正方形 OECD 设圆 O 的半径是 r 证 ODB AEO 得出 OD AE BD OE 代入即可求出 r ba ab 设圆的半径是 x 圆切 AC 于 E 切 BC 于 D 且 AB 于 F 同样得到正方形 OECD 根 据 a x b x c 求出 x 即可 设圆切 AB 于 F 圆的半径是 y 连接 OF 则 BCA OFA 得出 AB AO BC OF 代入求出 y 即可 解答 解 C 连接 OE OD AC BC 分别切圆 O 于 E D OEC ODC C 90 OE OD 四边形 OECD 是正方形 OE EC CD OD 设圆 O 的半径是 r OE BC AOE B AEO ODB ODB AEO OD AE BD OE r rb ra r 解得 r ba ab 故本选项正确 用心 爱心 专心2 A 设圆的半径是 x 圆切 AC 于 E 切 BC 于 D 且 AB 于 F 如图 1 同样得到正方形 OECD AE AF BD BF 则 a x b x c 求出 x 2 cba 故本选项错误 B 设圆切 AB 于 F 圆的半径是 y 连接 OF 如图 2 则 BCA OFA AB AO BC OF c yb a y 解得 y ba ab 故本选项错误 D 求不出圆的半径等于 ba ab 故本选项错误 故选 C 点评 本题主要考查对正方形的性质和判定 切线的性质 全等三角形的性质和判定 三 角形的内切圆与内心 解一元一次方程等知识点的理解和掌握 能根据这些性质求出圆的 半径是解此题的关键 2 2 2011 台湾 24 4 分 如图 ABC 的外接圆上 AB BC CA 三弧的度数比为 12 13 11 自 BC 上取一点 D 过 D 分别作直线 AC 直线 AB 的并行线 且交于 E F 两点 则 EDF 的度数为 A 55 B 60 C 65 D 70 考点 圆心角 弧 弦的关系 平行线的性质 专题 探究型 分析 先根据 AB BC CA 三弧的度数比为 12 13 11 求出 的度数 再根据其 度数即可求出 ACB 及 ABC 的度数 由平行线的性质即可求出 FED 及 EFD 的度数 由 三角形内角和定理即可求出 EDF 的度数 解答 解 AB BC CA 三弧的度数比为 12 13 11 360 120 360 110 用心 爱心 专心3 ACB 120 60 ABC 110 55 AC ED AB DF FED ABC 55 EFD ACB 60 EDF 180 60 55 65 故选 C 点评 本题考查的是圆心角 弧 弦的关系及平行线的性质 能根据 AB BC CA 三弧的度 数比为 12 13 11 求出 ABC 及 ACB 的度数是解答此题的关键 3 3 2011 台湾 32 4 分 如图中 CA CD 分别切圆 O1于 A D 两点 CB CE 分别切圆 O2 于 B E 两点 若 1 60 2 65 判断 AB CD CE 的长度 下列关系何者正确 A AB CE CEB AB CE CD C AB CD CED AB CD CE 考点 切线长定理 三角形三边关系 三角形内角和定理 专题 计算题 分析 根据 1 60 2 65 利用三角形内角和定理求出 ABC 的度数 然后可得 AB BC AC 由切线长定理得 AC CD BC CE 利用等量代换求得 AB CE CD 即可 解答 解 1 60 2 65 ABC 180 1 2 180 60 65 55 2 ABC 1 AB BC AC CA CD 分别切圆 O1于 A D 两点 CB CE 分别切圆 O2于 B E 两点 AC CD BC CE AB CE CD 故选 A 点评 此题主要考查切线长定理和三角形三边关系 三角形内角和定理等知识点 解答此 题的关键是利用三角形内角和定理求出 ABC 的度数 4 4 2011 台湾 16 4 分 如图 BD为圆O的直径 直线ED为圆O的切线 A C两点在 圆上 AC平分 BAD且交BD于F点 若 ADE 19 则 AFB的度数为何 用心 爱心 专心4 A 97 B 104 C 116 D 142 考点 弦切角定理 圆周角定理 分析 先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数 根据角平分线的定义得出角 BAF的的度数 再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角 得出角ABD的度数 最后利用三 角形内角和定理即可求出角AFB的度数 解答 解 BD是圆O的直径 BAD 90 又 AC平分 BAD BAF DAF 45 直线ED为圆O的切线 ADE ABD 19 AFB 180 BAF ABD 180 45 19 116 故选C 点评 此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用 是一道在圆中求角度数的综合 题 5 5 2011 台湾省 12 5 分 如图平面上有两个全等的正十边形 ABCDEFGHIJ A B C D E F G H I J 其中 A 点与 A 点重合 C 点与 C 点重 合 求 BAJ 的度数为何 A 96B 108 C 118D 126 考点 正多边形和圆 多边形内角与外角 菱形的性质 专题 计算题 分析 利用正多边形的性质可以得到四边形 ABCB 为菱形 计算其内角后 用多边形的内 角减去即可得到答案 解答 解题技巧 1 正 n 边形每一个内角度数 2 菱形的邻角互 补 解析 两个图形为全等的正十边形 ABCB 为菱形 用心 爱心 专心5 又 ABC AB C 144 BAB 180 144 36 BAJ B AJ BAB 144 36 108 故选 B 点评 本题考查了正多边形与圆的计算 解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形 6 6 2011 山东滨州 8 3 分 如图 在平面直角坐标系中 正方形ABCD的顶点A C分别在 y 轴 x 轴上 以AB为弦的 M 与 x 轴相切 若点A的坐标为 0 8 则圆心M的坐标为 A 4 5 B 5 4 C 5 4 D 4 5 考点 垂径定理 坐标与图形性质 勾股定理 正方形的性质 专题 证明题 分析 过点 M 作 MD AB 于 D 连接 AM 设 M 的半径为 R 因为四边形 OABC 为正方 形 顶点 A C 在坐标轴上 以边 AB 为弦的 M 与 x 轴相切 若点 A 的坐标为 0 8 所以 DA 1 2 AB 4 DM 8 R AM R 又因 ADM 是直角三角形 利用勾股定 理即可得到关于 R 的方程 解之即可 解答 解 过点 M 作 MD AB 于 D 交 OC 于点 E 连接 AM 设 M 的半径为 R 以边 AB 为弦的 M 与 x 轴相切 AB OC DE CO DE 是 M 直径的一部分 四边形 OABC 为正方形 顶点 A C 在坐标轴上 点 A 的坐标为 0 8 OA AB CB OC 8 DM 8 R AD BD 4 垂径定理 在 Rt ADM 中 根据勾股定理可得 AM2 DM2 AD2 R2 8 R 2 42 R 5 M 4 5 故选 D 用心 爱心 专心6 点评 本题考查了垂径定理 坐标与图形性质 勾股定理及正方形的性质 解题时 需 仔细分析题意及图形 利用勾股定理来解决问题 7 7 20112011 年山东省东营市 年山东省东营市 1212 3 3 分分 如图 直线 3 3 3 yx 与 x 轴 y 轴分别相交 于 A B 两点 圆心 P 的坐标为 1 0 圆 P 与 y 轴相切于点 O 若将圆 P 沿 x 轴向左移 动 当圆 P 与该直线相交时 横坐标为整数的点 P 的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 考点 直线与圆的位置关系 一次函数综合题 分析 根据直线与坐标轴的交点 得出 A B 的坐标 再利用三角形相似得出圆与直线相切 时的坐标 进而得出相交时的坐标 解答 解 直线 3 3 3 yx 与 x 轴 y 轴分别相 交于 A B 两点 圆心 P 的坐标为 1 0 A 点的坐标为 0 3 3 x 3 x 3 A 3 0 B 点的坐标为 0 3 AB 2 3 将圆 P 沿 x 轴向左移动 当圆 P 与该直线相切与 C 1时 P1C1 1 根据 AP1C1 ABO 11 1 32 3 APAP AB AP1 2 P1的坐标为 1 0 将圆 P 沿 x 轴向左移动 当圆 P 与该直线相切与 C 2时 P2C2 1 根据 AP2C2 ABO 22 1 32 3 APAP AB 用心 爱心 专心7 AP2 2 P2的坐标为 5 0 从 1 到 5 整数点有 2 3 4 故横坐标为整数的点 P 的个数是 3 个 故选 B 点评 此题主要考查了直线与坐标轴的求法 以及相似三角形的判定 题目综合性较强 注意特殊点的求法是解决问题的关键 8 8 2011 黑龙江鸡西 8 3 分 如图 A B C D是 O上的四个点 AB AC AD交BC 于点E AE 3 ED 4 则AB的长为 A 3 B 23 C 21 D 35 考点考点 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 分析分析 根据圆周角定理可得 ACB ABC D 再利用三角形相似 ABD AEB 即可 得出答案 解答解答 解 AB AC ACB ABC D BAD BAD ABD AEB ABAD AEAB AB2 3 7 21 AB 21 故选 C 点评点评 此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质 根据题意得出 ABD AEB是解决问题的关键 二 填空题二 填空题 1 1 2011 贵港 如图所示 在 ABC 中 AC BC 4 C 90 O 是 AB 的中点 O 与 AC BC 分别相切于点 D E 点 F 是 O 与 AB 的一个交点 连接 DF 并延长交 CB 的延长线 于点 G 则 BG 的长是 2 2 考点 切线的性质 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 第 8 题图 用心 爱心 专心8 分析 连接 OD 由 AC 为圆 O 的切线 根据切线的性质得到 OD 与 AC 垂直 又 AC BC 且 C 90 得到三角形 ABC 为等腰直角三角形 得到 A 45 在直角三角形 ABC 中 由 AC 与 BC 的长 根据勾股定理求出 AB 的长 又 O 为 AB 的中点 从而得到 AO 等于 BO 都等 于 AB 的一半 求出 AO 与 BO 的长 再由 OB OF 求出 FB 的长 同时由 OD 和 GC 都与 AC 垂 直 得到 OD 与 GC 平行 得到一对内错角相等 再加上对顶角相等 由两对对应角相等的 两三角形相似得到三角形 ODF 与三角形 GBF 相似 由相似得比例 把 OD OF 及 FB 的长代 入即可求出 GB 的长 解答 解 连接 OD AC 为圆 O 的切线 OD AC 又 AC BC 4 C 90 A 45 根据勾股定理得 AB 4 又 O 为 AB 的中点 AO BO AB 2 圆的半径 DO FO AOsinA 2 2 BF OB OF 2 2 GC AC OD AC OD CG ODF G 又 OFD BFG ODF BGF 即 BG 2 2 故答案为 2 2 点评 此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质 在运用切线的性质时 若已 用心 爱心 专心9 知切点 连接切点和圆心 得垂直 若不知切点 则过圆心向切线作垂直 即 知切点连 半径 无切点作垂直 圆与相似三角形 及三角函数相融合的解答题 与切线有关的性 质与判定有关的证明题是近几年中考的热点 故要求学生把所学知识融汇贯穿 灵活运 用 2 2 2011 年四川省绵阳市 16 4 分 如图 将正六边形 ABCDEF 放在直角坐标系中 中 心与坐标原点重合 若 A 点的坐标为 1 0 则点 C 的坐标为 1 3 考点 正多边形和圆 坐标与图形性质 专题 计算题 分析 先连接 OE 由于正六边形是轴对称图形 并设 EF 交 Y 轴于 G 那么 GOE 30 在 Rt GOE 中 则 GE 1 OG 3 E 的坐标为 1 3 和 E 关于 Y 轴对称的 F 点的坐 标就是 1 3 其他坐标类似可求出 解答 解 连接 OE 由正六边形是轴对称图形知 在 Rt OEG 中 GOE 30 OE 2 GE 1 OG 3 A 2 0 B 1 3 C 1 3 D 2 0 E 1 3 F 1 3 故答案为 1 3 点评 本题利用了正六边形的对称性 直角三角形 30 的角所对的边等于斜边的一半 勾 股定理等知识 3 3 2011 广西百色 20 3 分 如图 点C是 O优弧ACB上的中点 弦AB 6cm E为OC 上任意一点 动点F从点A出发 以每秒 1cm 的速度沿AB方向向点B匀速运动 若 y AE2 EF2 则y与动点F的运动时间x 0 x 6 秒的函数关系式为 用心 爱心 专心10 考点考点 垂径定理 勾股定理 分析分析 首先延长CO交AB于G 根据垂径定理的知识 可得CO AB 并可求得AG的值 由 勾股定理可得AE2 AG2 EG2 EF2 FG2 EG2 即可求得y AG2 FG2 即可求得函数关系式 解答解答 解 延长CO交AB于G 点C是 O优弧ACB上的中点 CO AB AG 2 1 AB 2 1 6 3 cm AE2 AG2 EG2 EF2 FG2 EG2 当 0 x 3 时 AF xcm FG 3 x cm y AE2 EF2 AG2 EG2 FG2 EG2 AG2 FG2 9 3 x 2 6x x2 当 3 x 6 时 AF xcm FG x 3 cm y AE2 EF2 AG2 EG2 FG2 EG2 AG2 FG2 9 x 3 2 6x x2 故答案为 y 6x x2 点评点评 此题考查了垂径定理与勾股定理的应用 此题难度适中 解题的关键是注意辅助线 的作法与数形结合思想 分类讨论思想的应用 4 4 2011 广西防城港 18 3 分 如图 AB是半圆O的直径 以OA为直径的半圆O 与弦 AC交于点D O E AC 并交OC于点E 则下列四个结论 点D为AC的中点 S O OE 2 1 S AOC 四边形O DEO是菱 形 其中正确的结论是 把所有正确的结论的序号都填上 E D C B O OA 考点 考点 圆周角定理 平行线的性质 菱形的判定 圆心角 弧 弦的关系 专题 专题 圆的综合题 分析 分析 1 如图 连接OD 则由AO是 O 的直径 得 ADO 90 即OD 弦 AC 故由垂径定理可知点D为弦AC的中点 从而 正确 用心 爱心 专心11 A O O B C D E 2 由O E AC 得 O O E OAC 从而 OAC EOO S S 2 OA O O 4 1 从而S O OE 4 1 S AOC 故 错误 3 如图 连接OD O D 由OA OC OD AC 得 AOC 2 AOD 又 A O D 2 AOD 故 A O D AOC n 又OA 2O A 由弧长公式可知 180 OAn l AC 弧 180 AOn l AD 弧 故 因此 正确 4 易知O E AD O E AD 故四边形O DEO是平行四边形 但AD A O 从 而四边形O DEO不是菱形 故 错误 解答 解答 点评 点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质 圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理 等腰三角形的性质 三角形内角和定理等知识点的灵活运用 此题步骤繁琐 但相对而言 难易程度适中 很适合学生的训练是一道典型的题目 5 5 如图 点 E 0 4 O 0 0 C 5 0 在 A 上 BE 是 A 上的一条弦 则 tan OBE 考点考点 圆周角定理 坐标与图形性质 锐角三角函数的定义 分析 分析 根据同弧所对的圆周角相等 可证 ECO OBE 由锐角三角函数可求 tan ECO 5 4 即 tan OBE 5 4 解答 解答 解 连接 EC 根据圆周角定理 ECO OBE 在 Rt EOC 中 OE 4 OC 5 则 tan ECO 5 4 故 tan OBE 5 4 用心 爱心 专心12 点评 点评 本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识 注意锐角三角函数的概念 在直角三角形中 正弦等于对比斜 余弦等于邻比斜 正切等 于对比邻 6 6 2011 河北 16 3 分 如图 点 0 为优弧 ACB 所在圆的圆心 AOC 108 点D 在AB延长线上 BD BC 则 D 考点 圆周角定理 三角形的外角性质 等腰三角形的性质 专题 计算题 分析 根据圆周角定理 可得出 ABC的度数 再根据BD BC 即可得出答案 解答 解 AOC 108 ABC 54 BD BC D BCD 2 1 ABC 27 故答案为 27 点评 本题考查了圆周角定理 三角形外角的性质以及等腰三角形的性质 是基础知识比 较简单 7 7 2011 黑龙江省黑河 8 3 分 如图 A B C D 是 O 上的四个点 AB AC AD 交 BC 于点 E AE 3 ED 4 则 AB 的长为21 考点 相似三角形的判定与性质 圆周角定理 相交弦定理 专题 计算题 分析 可证明 ABE ADB 则 AB AD AE AB 则 AB2 AD AE 由 AE 3 ED 4 即可 求得 AB 解答 解 AB AC ABE ADB ABE ADB 则 AB AD AE AB 即 AB2 AD AE AE 3 ED 4 AB 7 321AEDEAE 点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理 是基 础知识要熟练掌握 8 8 2011 湖北十堰 15 3 分 如图 一个半径为2 2的圆经过一个半径为 4 的圆的圆 心 则图中阴影部分的面积为 用心 爱心 专心13 考点考点 相交两圆的性质 扇形面积的计算 专题专题 计算题 数形结合 分析分析 连接 O1O2 O1A O1B O2A O2B 由勾股定理得逆定理得 O2O1A O2O1B 90 则 点 A O1 B 在同一条直线上 则 AB 是圆 O1的直径 从的得出阴影部分的面积 S阴影 2 1 S 1 S弓形 AO1B 2 1 S 1 S扇形 AO2B S AO2B 解答解答 解 连接 O1O2 O1A O1B O2A O2B O1O2 O1A 22 O2A 4 O1O22 O1A2 O2A2 O2O1A 90 同理 O2O1B 90 点 A O1 B 在同一条直线上 并且 AO2B 90 AB 是圆 O1的直径 S阴影 2 1 S 1 S弓形 AO1B 2 1 S 1 S扇形 AO2B S AO2B 2 1 22 2 4 1 42 2 1 4 4 8 故答案为 8 点评点评 本题考查了扇形面积的计算 勾股定理和相交两圆的性质 解题的关键是发现阴影 部分的面积的计算方法 9 9 2011 湖南衡阳 16 3 分 如图 O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G EOD 40 则 FCD 的度数为 20 考点考点 圆周角定理 垂径定理 专题专题 几何图形问题 分析分析 根据垂径定理得出弧 DE 等于弧 DF 再利用圆周角定理得出 FCD 20 解答解答 解 O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G A A DEDF DCF 1 2 EOD EOD 40 FCD 20 故答案为 20 用心 爱心 专心14 点评点评 此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论 灵活应用相关定理是解决问题的 关键 1010 2 考点 两点间的距离 分析 根据 AB 12 AC 8 求出 BC 的长 再根据点 D 是线段 BC 的中点 得出 CD BD 即 可得出答案 解答 解 AB 12 AC 8 BC 4 点 C 是线段 AB 上的点 点 D 是线段 BC 的中点 CD BD 2 故答案为 2 点评 此题主要考查了两点距离求法 根据已知求出 BC 4 是解决问题的关键 16 如图 ABC 内接于 O 已知 A 55 则 BOC 110 考点 圆周角定理 分析 直接利用圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半 直接得出答案 解答 解 ABC 内接于 O 已知 A 55 BOC 110 故答案为 110 点评 此题主要考查了圆周角定理 熟练应用圆周角定理是解决问题的关键 用心 爱心 专心15 三 解答题三 解答题 1 1 2011 江苏南京 26 8 分 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm P 为BC的中点 动点Q从点P出发 沿射线PC方向以 2cm s 的速度运动 以P为圆心 PQ 长为半径作圆 设点Q运动的时间为t s 1 当t 1 2 时 判断直线AB与 P的位置关系 并说明理由 2 已知 O为 ABC的外接圆 若 P与 O相切 求t的值 考点考点 圆与圆的位置关系 勾股定理 直线与圆的位置关系 相似三角形的判定与性质 专题专题 几何综合题 动点型 分析 分析 1 根据已知求出AB 10cm 进而得出 PBD ABC 利用相似三角形的性质得出 圆心P到直线AB的距离等于 P的半径 即可得出直线AB与 P相切 2 根据BO 1 2 AB 5cm 得出 P与 O只能内切 进而求出 P与 O相切时 t的值 解答 解答 解 1 直线AB与 P相切 如图 过P作PD AB 垂足为D 在 Rt ABC中 ACB 90 AB 6cm BC 8cm AB 10cm P为BC中点 PB 4cm PDB ACB 90 PBD ABC PBD ABC PDPB ACAB 即 4 610 PD PD 2 4 cm 当t 1 2 时 PQ 2t 2 4 cm PD PQ 即圆心P到直线AB的距离等于 P的半径 直线AB与 P相切 2 ACB 90 AB为 ABC的外接圆的直径 用心 爱心 专心16 BO 1 2 AB 5cm 连接OP P为BC中点 PO 1 2 AC 3cm 点P在 O内部 P与 O只能内切 5 2t 3 或 2t 5 3 t 1 或 4 P与 O相切时 t的值为 1 或 4 点评 点评 此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置 关系 正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习 2 2 2011 江苏苏州 26 8 分 如图 已知 AB 是 O 的弦 OB 2 B 30 C 是弦 AB 上的任意一点 不与点 A B 重合 连接 CO 并延长 CO 交 O 于点 D 连接 AD 1 弦长等于 结果保留根号 2 当 D 20 时 求 BOD 的度数 3 当 AC 的长度为多少时 以 A C D 为顶点的三角形与以 B C 0 为顶点的三角形相 似 请写出解答过程 考点 圆周角定理 垂径定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 几何综合题 数形结合 分析 1 过点 O 作 OE AB 于 E 由垂径定理即可求得 AB 的长 2 连接 OA 由 OA OB OA OD 可得 BAO B DAO D 则可求得 DAB 的度数 又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半 即可求得 DOB 的度数 3 由 BCO A D 可得要使 DAC 与 BOC 相似 只能 DCA BCO 90 然后由相 似三角形的性质即可求得答案 解答 解 过点 O 作 OE AB 于 E 用心 爱心 专心17 则 AE BE 1 2 AB OEB 90 OB 2 B 30 BE OB cos B 2 3 2 AB 2 3 故答案为 2 3 2 连接 OA OA OB OA OD BAO B DAO D DAB BAO DAO B D 又 B 30 D 20 DAB 50 BOD 2 DAB 100 3 BCO A D BCO A BCO D 要使 DAC 与 BOC 相似 只能 DCA BCO 90 此时 BOC 60 BOD 120 DAC 60 DAC BOC BCO 90 即 OC AB AC 1 2AB 3 点评 此题考查了垂径定理 圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识 题目综 合性较强 解题时要注意数形结合思想的应用 3 3 2011 江苏宿迁 26 10 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 P 是反比例函 用心 爱心 专心18 数y x 6 x 0 图象上的任意一点 以 P 为圆心 PO 为半径的圆与 x y 轴分别交于点 A B 1 判断 P 是否在线段 AB 上 并说明理由 2 求 AOB 的面积 3 Q 是反比例函数y x 6 x 0 图象上异于点 P 的另一点 请以 Q 为圆心 QO 半径画 圆与 x y 轴分别交于点 M N 连接 AN MB 求证 AN MB 考点 相似三角形的判定与性质 反比例函数图象上点的坐标特征 三角形中位线定理 圆周角定理 专题 综合题 动点型 分析 1 点 P 在线段 AB 上 由 O 在 P 上 且 AOB 90 得到 AB 是 P 的直径 由此 即可证明点 P 在线段 AB 上 2 如图 过点 P 作 PP1 x 轴 PP2 y 轴 由题意可知 PP1 PP2是 AOB 的中位线 故 S AOB 2 1 OA OB 2 1 2 PP1 PP2 而 P 是反比例函数y x 6 x 0 图象上的任意一点 由此即可求出 PP1 PP2 6 代入前面的等式即可求出 S AOB 3 如图 连接 MN 根据 1 2 则得到 MN 过点 Q 且 S MON S AOB 12 然后利用三 角形的面积公式得到 OA OB OM ON 然后证明 AON MOB 最后利用相似三角形的性质 即可解决问题 解答 解 1 点 P 在线段 AB 上 理由如下 点 O 在 P 上 且 AOB 90 AB 是 P 的直径 点 P 在线段 AB 上 用心 爱心 专心19 2 过点P作PP1 x轴 PP2 y轴 由题意可知PP1 PP2 是 AOB的中位线 故S AOB 2 1 OA OB 2 1 2 PP1 PP2 P是反比例函数y x 6 x 0 图象上的任意一点 S AOB 2 1 OA OB 2 1 2 PP1 2PP2 2 PP1 PP2 12 3 如图 连接MN 则MN过点Q 且S MON S AOB 12 OA OB OM ON OB ON OM OA AON MOB AON MOB OAN OMB AN MB 点评 此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点 相似三角形的性质与判定 三角 形的中位线定理及圆周角定理 综合性比较强 要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好 解决这类综合性的问题 4 4 2011 泰州 26 10 分 如图 以点 O 为圆心的两个同心圆中 矩形 ABCD 的边 BC 为 大圆的弦 边 AD 与小圆相切于点 M OM 的延长线与 BC 相交于点 N 1 点 N 是线段 BC 的中点吗 为什么 2 若圆环的宽度 两圆半径之差 为 6cm AB 5cm BC 10cm 求小圆的半径 考点 垂径定理 勾股定理 矩形的性质 专题 几何综合题 探究型 分析 1 由 AD 是小圆的切线可知 OM AD 再由四边形 ABCD 是矩形可知 AD BC AB CD 故 ON BC 由垂径定理即可得出结论 2 延长 ON 交大圆于点 E 由于圆环的宽度 两圆半径之差 为 6cm AB 5cm 可知 用心 爱心 专心20 ME 6cm 在 Rt OBE 中 利用勾股定理即可求出 OM 的长 解答 解 1 AD 是小圆的切线 M 为切点 OM AD 四边形 ABCD 是矩形 AD BC AB CD ON BC BE BC 5cm N 是 BC 的中点 2 延长 ON 交大圆于点 E 圆环的宽度 两圆半径之差 为 6cm AB 5cm ME 6cm 在 Rt OBE 中 设 OM r OB2 BC2 OM MN 2 即 r 6 2 52 r 5 2 解得 r 7cm 故小圆半径为 7cm 点评 本题考查的是垂径定理 涉及到切线的性质及勾股定理 矩形的性质 根据题意作 出辅助线 构造出直角三角形是解答此题的关键 5 5 2011 盐城 25 10 分 如图 在 ABC中 C 90 以AB上一点O为圆心 OA长 为半径的圆与BC相切于点D 分别交AC AB于点E F 1 若AC 6 AB 10 求 O的半径 2 连接OE ED DF EF 若四边形BDEF是平行四边形 试判断四边形 OFDE 的形状 并说明理由 考点 切线的性质 勾股定理 平行四边形的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性 质 专题 计算题 分析 1 连接 OD 设 O的半径为 r 可证出 BOD BAC 则 AB OB AC OD 从而求得 r 2 由四边形BDEF是平行四边形 得 DEF B 再由圆周角定理可得 B 2 1 DOB 则 ODE是等边三角形 先得出四边形OFDE是平行四边形 用心 爱心 专心21 再根据OE OF 则平行四边形OFDE是菱形 解答 解 1 连接 OD 设 O的半径为r BC切 O于点D OD BC C 90 OD AC OBD ABC AB OB AC OD 即 10r 6 10 r 解得 r 4 15 O的半径为 4 15 2 四边形OFDE是菱形 四边形BDEF是平行四边形 DEF B DEF 2 1 DOB B 2 1 DOB ODB 90 DOB B 90 DOB 60 DE AB ODE 60 OD OE OD DE OD OF DE OF 四边形OFDE是平行四边形 OE OF 平行四边形 OFDE 是菱形 点评 本题考查了切线的性质 勾股定理 圆周角定理 平行四边形的判定和性质以及相 似三角形的判定和性质 是一个综合题 难度中等 6 6 2011 江苏扬州 26 10 分 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BAC 的角平分 线 AD 交 BC 边于 D 1 以 AB 边上一点 O 为圆心 过 A D 两点作 O 不写作法 保留作图痕迹 再判断 直线 BC 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 1 中的 O 与 AB 边的另一个交点为 E AB 6 BD 23 求线段 BD BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积 结果保留根号和 考点 切线的判定与性质 勾股定理 扇形面积的计算 作图 复杂作图 相似三角形的 判定与性质 分析 1 根据题意得 O 点应该是 AD 垂直平分线与 AB 的交点 由 BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D 与圆的性质可证得 AC OD 又由 C 90 则问题得证 2 过点 D 作 DM AB 于 M 由角平分线的性质可证得 DM CD 又由 BDM BAC 根据相似三角 形的对应边成比例 即可证得 CD AC 3 3 可得 DOB 60 则问题得解 用心 爱心 专心22 解答 解 1 如图 连接 OD OA OD OAD ADO BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D CAD OAD CAD ADO AC OD C 90 ODB 90 OD BC 即直线 BC 与 O 的切线 直线 BC 与 O 的位置关系为相切 2 过点 D 作 DM AB 于 M DMB C 90 B B BDM BAC AD 是 CAB 的平分线 CD DM CAD 30 DAB 30 B 30 DOB 60 OD 2 S扇形 ODE S ODB 2 1 OD BD 2 1 2 23 23 线段 BD BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为 S ODB S扇形 ODE 23 用心 爱心 专心23 点评 此题考查了切线的判定与性质 相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面 积的求解方法等知识 此题综合性很强 解题的关键是注意数形结合思想的应用 7 7 2011 南昌 22 7 分 如图 已知 O的半径为 2 弦 BC 的长为32 点A为弦BC 所对优弧上任意一点 B C两点除外 1 求 BAC的度数 2 求 ABC面积的最大值 参考数据 sin60 2 3 cos30 2 3 tan30 3 3 考点 垂径定理 圆周角定理 解直角三角形 专题 几何综合题 分析 1 连接OB OC 作OE BC于点E 由垂径定理可得出BE EC 3 在Rt OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 BOE的度数 再由圆周角定 理即可求解 2 因为 ABC 的边 BC 的长不变 所以当BC边上的高最大时 ABC 的面积最大 此 时点A应落在优弧BC的中点处 过OE BC与点 E 延长EO交 O于点A 则A为优弧BC 的中点 连接AB AC 则AB AC 由圆周角定理可求出 BAE的度数 在Rt ABE中 利 用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长 由三角形的面积公式即可解 答 解答 解 1 解法一 连接OB OC 过O作OE BC于点 用心 爱心 专心24 E OE BC BC 32 3 ECBE 在Rt OBE中 OB 2 2 3 sin OB BE BOE BOE 60 BOC 120 60 2 1 BOCBAC 解法二 连接BO并延长 交 O于点D 连接CD BD是直径 BD 4 DCB 90 在Rt DBC中 2 3 4 32 sin BD BC BDC BDC 60 BAC BDC 60 2 解法一 因为 ABC的边 BC 的长不变 所以当 BC 边上的高最大时 ABC 的面 积最大 此时点 A 落在优弧 BC 的中点处 5 分 过O作OE BC于E 延长EO交 O于点A 则A为优弧BC的中点 连接AB AC 则 AB AC 30 2 1 BACBAE 在Rt ABE中 3 BE 30BAE 3 3 3 3 30tan BE AE S ABC 33332 2 1 答 ABC面积的最大值是33 解法二 因为 ABC的边BC的长不变 所以当BC边上的高最大时 ABC的面积最大 此时点A落在优弧BC的中点处 5 分 过O作OE BC于E 延长EO交 O 于点A 则A为优弧BC的中点 连接AB AC 则 AB AC BAC 60 ABC是等边三角形 在Rt ABE中 3 BE 30BAE 用心 爱心 专心25 3 3 3 3 30tan BE AE S ABC 33332 2 1 答 ABC面积的最大值是33 点评 本题考查的是垂径定理 圆圆周角定理及解直角三角形 能根据题意作出辅助线是 解答此题的关键 8 8 2011 内蒙古呼和浩特 24 8 如图所示 AC 为 O 的直径且 PA AC BC 是 O 的一 条弦 直线 PB 交直线 AC 于点 D 2 3 DBDC DPDO 1 求证 直线 PB 是 O 的切线 2 求 cos BCA 的值 考点 切线的判定与性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 锐角三 角函数的定义 专题 综合题 分析 1 连接 OB OP 由 2 3 DBDC DPDO 且 D D 根据三 角形相似的判定得到 BDC PDO 可得到 BC OP 易证得 BOP AOP 则 PBO PAO 90 2 设 PB a 则 BD 2a 根据切线长定理得到 PA PB a 根据勾 股定理得到 AD 22a 又 BC OP 得到 DC 2CO 得到 DC CA 1 2 22a 2a 则 OA 2 2 a 利用勾股定理求出 OP 然 后根据余弦函数的定义即可求出 cos BCA cos POA 的值 解答 1 证明 连接 OB OP 如图 2 3 DBDC DPDO 且 D D BDC PDO DBC DPO BC OP BCO POA CBO BOP 而 OB OC OCB CBO BOP POA 又 OB OA OP OP 用心 爱心 专心26 BOP AOP PBO PAO 又 PA AC PBO 90 直线 PB 是 O 的切线 2 由 1 知 BCO POA 设 PB a 则 BD 2a 又 PA PB a AD 22 2 2DPPA a 又 BC OP DC 2CO DC CA 1 2 22a 2a OA 2 2 a OP 2222 26 22 a OAPAaa cos BCA cos POA 3 3 OA OP 点评 本题考查了圆的切线的性质和判定 圆的切线垂直于过切点的半径 过半径的外端 点与半径垂直的直线为圆的切线 也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角函数 的定义 9 9 如图 点 C D 分别在扇形 AOB 的半径 OA OB 的延长线上 且 OA 3 AC 2 CD 平行于 AB 并与弧 AB 相交于点 M N 1 求线段 OD 的长 2 若 求弦 MN 的长 考点 垂径定理 勾股定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 几何图形问题 探究型 分析 1 根据 CD AB 可知 OAB OCD 再根据相似三角形的对应边成比例即 可求出 OD 的长 2 过 O 作 OE CD 连接 OM 由垂径定理可知 ME MN 再根据 tan C 可求出 OE 的长 利用勾股定理即可求出 ME 的长 进而求出答案 用心 爱心 专心27 解答 解 1 CD AB OA 3 AC 2 OAB OCD 即 OD 5 2 过 O 作 OE CD 连接 OM 则 ME MN tan C 设 OE x 则 CE 2x 在 Rt OEC 中 OC2 OE2 CE2 即 52 x2 2x 2 解得 x 在 Rt OME 中 OM2 OE2 ME2 即 32 2 ME2 解得 ME 2 故答案为 5 2 点评 本题考查的是垂径定理 涉及到锐角三角函数的定义 相似三角形的判定与性质及 勾股定理 根据题意作出辅助线是解答此题的关键 10 10 2011 四川广安 29 10 分 如图所示 P是 O外一点 PA是 O的切线 A是切 点 B是 O上一点 且PA PB 连接AO BO AB 并延长BO与切线PA相交于点Q 1 求证 PB是 O的切线 2 求证 AQ PQ OQ BQ 3 设 AOQ 若 cos 4 5 OQ 15 求AB的长 考点 直线与圆的位置关系 切线 切线长 相似 解直角三角形 综合题 专题 圆 相似 分析 1 要证PB是 O的切线 只要证明 PBO 90 即可 根据已知条件可考虑 连接PO 通过证明 APO BPO来说明 PBO PAO 90 2 要证明AQ PQ OQ BQ 只需证明 PQBQ OQAQ 即可 为此需要证明 QPB QOA 3 根据已知条件解 Rt AOQ可得AQ与OA的长 则BQ的长可求 利用 2 中证得 的 QPB QOA 根据相似三角形的性质可求得PB的长 利用勾股定理可得PO的长 在 用心 爱心 专心28 Rt AOB中 利用面积等积式可求得AB的一半的长 则AB的长可知 解答 1 证明 如图所示 连结OP 交AB于点C PA PB AO BO PO PO APO BPO PBO PAO 90 又 PA是 O的切线 PA OA 即 PAO 90 PBO PAO 90 PB是 O的切线 2 证明 OAQ PBQ 90 Q为公共角 QPB QOA PQBQ OQAQ 即AQ PQ OQ BQ 3 在 Rt AOQ中 4 cos 5 OA OQ 44 1512 55 OAOQ 2222 15129AQOQOA BQ BO OQ AO OQ 12 15 27 由 2 知 QPB QOA OAQA PBQB 即 129 27PB 解得PB 36 PA PB都是 O的切线 PA PB APC BPC PC AB 即OC AB AB 2BC 2222 361212 10POPBOB 11 22 Rt POB SPB OBPO BC AA 36 1218 10 512 10 PB OB BC PO A 36 10 2 5 ABBC 点评 1 要证明一条直线是圆的切线 如果在已知条件中已知直线和圆已有一个公 共点 那么常连接这个公共点和圆心 本题中OB已连接 再说明这条半径和直线垂直 简称 连半径证垂直 2 等积式的证明经常需转化成比例式来证明 而证明比例式成立的首选方法是利用 相似 根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式 3 在直角三角形中 经常利用面积等积式来求有关线段的长 另外 本题前两问比较简单 易于寻找解题思路 而第 3 问综合性巧强 用到的知识较 用心 爱心 专心29 多 所要求的线段的长较多 许多同学会不能顺利做解 11 11 2011 四川凉山 27 8 分 如图 已知ABC 以BC为直径 O为圆心的半圆 交AC于点F 点E为弧CF的中点 连接BE交AC于点M AD为 ABC的角平分 线 且ADBE 垂足为点H 1 求证 AB是半圆O的切线 2 若3AB 4BC 求BE的长 考点 切线的判定与性质 勾股定理 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 分析 1 连接 EC AD 为 ABC 的角平分线 得 1 2 又 AD BE 可证 3 4 由对顶角相等得 4 5 即 3 5 由 E 为弧 CF 的中点 得 6 7 由 BC 为直径得 E 90 即 5 6 90 由 AD CE 可证 2 6 从而有 3 7 90 证明结论 2 在 Rt ABC 中 由勾股定理可求 AC 5 由 3 4 得 AM AB 3 则 CM AC AM 2 由 1 可证 CME BCE 利用相似比可得 EB 2EC 在 Rt BCE 中 根据 BE2 CE2 BC2 得 BE2 2 42 可求 BE 解答 1 证明 连接 EC AD BE 于 H 1 2 3 4 4 5 3 又 E 为弧 CF 中点 6 7 BC 是直径 E 90 5 6 90 又 AHM E 90 AD CE 2 6 1 3 7 90 又 BC 是直径 AB 是半圆 O 的切线 2 3AB 4BC 由 1 知 90ABC 5AC 在ABM 中 ADBM 于H AD平分BAC 3AMAB 2CM 由CME BCE 得 1 2 ECMC EBCB 2EBEC 8 5 5 BE 点评 本题考查了切线的判定与性质 相似三角形的判定与性质 圆周角定理 勾股 B D A O A H A C A E A M A F A A 用心 爱心 专心30 定理的运用 关键是由已知条件推出相等角 构造互余关系的角推出切线 利用相等角推 出相似三角形 由相似比得出边长的关系 由勾股定理求解 12 12 2011 天津 22 分 已知AB与 O 相切于点C OA OB OA OB与 O 分别交于点 D E I 如图 若 O 的直径为 8 AB 10 求 OA的长 结果保留根号 II 如图 连接CD CE 若四边形 ODCE为菱形 求 OD OA 的值 考点 切线的性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定理 菱形的性质 专题 几何图形问