第11课时根与系数关系（2）

初三代数教案 第十二章 一元二次方程 第 11 课时 一元二次方程的根与系数的关系 二 教学目标 教学目标 1 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 2 灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题 3 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力 教学重点 教学重点 一元二次方程根与系数关系的应用 教学难点 教学难点 某些代数式的变形 教学过程 教学过程 一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数 的关系 它的应用不仅在验根 已知一根求另一根及待定系数 k 的值 还 在其它数学问题中有广泛而又简明的应用 本节课将学习如下两个问题中 的应用 1 不解方程 求某些代数式的值 2 已知两个数 求作以 这两个数为根的新的一元二次方程 本节课是上节课的延续和深化 一元二次方程根与系数关系的应用 充分显示了它的价值 求根公式为关系的得出立下功劳 但它的作用求根 公式无法代替 它在求某些代数式的值时 大大化简了运算量 同时 已 知一个有实根的一元二次方程 我们易求它的两个根 反之 已知两个数 以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来 根与系数的关系解决了这 个问题 所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用 通过本 节课的学习 学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系 而且 能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力 一 新课引入 提问 什么是一元二次方程根与系数的关系 二 新课讲解 本节课我们继续学习它的应用 1 不解方程 求某些代数式的值 例 不解方程 求方程 2x2 3x 1 0 的两个根的 1 平方和 2 倒数和 分析 若首先求出方程的两根 再求出两根的平方和 倒数和 问题 可以解决 但此题要求不解方程 怎样做呢 如果设方程的两个根为 x1 x2 则两个根的平方和便可表示为 x12 x22 如果将此代数式用 x1 x2 x1x2表示 再用根与系数的关系 问题便可以解决 解 设方程的两个根是 x1 x2 那么 1 x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 教师板书 引导 学生回答 体会 启发学生 总结以下两点 1 运用根与系数的关系 求某些代数式的值 关键是将所求的代数 式恒等变形为用 x1 x2和 x1x2表示的代数式 2 格式 步骤要求规范 第一步 求出 x1 x2 x1x2的值 第二步 将所求代数式用 x1 x2 x1x2的代数式表示 第三步 将 x1 x2 x1x2的值代入求值 练习 设 x1 x2是方程 2x2 4x 3 0 的两个根 利用根与系数的关系 求下列各式的值 1 x1 1 x2 1 2 x12x2 x1x22 4 x1 x2 2 5 x13 x23 学生板书 笔答 评价 2 已知两个数 求作以这两个数为根的一元二次方程 如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x1 x2 那么 x1 x2 p x1x2 q p x1 x2 q x1x2 x2 x1 x2 x x1x2 0 由此得到结论 以两个数 x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 x2 x1 x2 x x1x2 0 解 所求方程是 教师引导 板书 学生回答 练习 教材 P 34 中 4 学生笔答 板书 评价 例 已知两个数的和等于 8 积等于 9 求这两个数 分析 此题可以通过列方程求得 但学习了根与系数的关系 应启发引导学生用另外方法解决 设两个 数分别为 x1 x2 则 x1 x2 8 x1x2 9 又 方程 x2 x1 x2 x x1x2 0 的 两个根为 x1 x2 所以这两个数 x1 x2是方程 x2 8x 9 0 的两个根 解此 方程的两个根便是所求的两个数 解 根据根与系数的关系可知 这两个数是方程 x2 8x 9 0 的两个 根 解这个方程 得 教师板书 学生回答 评价 体会 以上两例 虽然解决的问题不同 但解题时都是直接应用根与系数的 关系 前例是通过一元二次方程 x2 px q 0 的根与系数的关系 以给出的 两个根反过来确定方程的系数 p q 后例是借助于根与系数的关系解 决实际问题 练习 教材 P 34 中 5 学生板书 笔答 体会 评价 教师引导 通过例题的讲解 一则引导学生解决了每个例题中提出的问题 再则 使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来 三 课堂小结 三 课堂小结 1 本节课学习了根与系数的关系的应用 主要有如下几方面 1 验根 2 已知方程的一根 求另一根 3 求某些代数式的值 4 求作一个新方程 2 通过根与系数的关系的应用 能较好地熟悉和掌握了根与系数的 关系 由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力 四 作业 四 作业 教材 P 35 中 A2 3 4 B1 教材 P 34 中 B2 学有余力的同学做 参考题目 一 选择题 每题 3 分 共 18 分 将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内 1 方程 x2 2x a 0 的两根之差的平方等于 16 那么 a 的值为 A 3 B 6 C 3 D 以上答案 都不对 2 如果一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根之比为 2 3 那么 a b c 之间的关系式应为 A 3b2 8ac B a b c C 6b2 25ac D 5a2 9b2 3 已知方程 2x2 mx 2m 1 0 有一个正实根和一个负实根 那么 m 的取 值是 A m B m C m D m 0 4 已知方程 2x2 kx 2k 1 0 的两根平方和为 4 则 k 的值是 A 2 B 10 C 10 2 D 10 2 5 两个根分别是 2 2 的一元二次方程是 A x2 4x 1 0 B x2 4x 1 0 C x2 4x 1 0 D x2 4x 1 0 6 方程组 的解 即 x y 的值恰是一个一元二 次方程的两个根 则 这个一元二次方程为 A x2 5x 6 0 B x2 5x 6 0 C x2 5x 6 0 D x2 5x 6 0 二 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 若矩形的长和宽是方程 4x2 12x 3 0 的两根 则矩形的周长为 面积为 2 已知一矩形的周长为 70 面积是 300 则此长方形的长为 宽为 3 以 2 5 为根的一元二次方程是 4 两个根的和是 4 两个根的积是 的方程是 5 若 3 9 则以 为根的方程是 6 两个数的和是 7 积是 8 则这两个数是 和 三 解答题 第 1 题 20 分 第 2 题 32 分 第 3 题 12 分 共 64 分 1 求作一元二次方程 使它的两根分别是 1 2 3 4 2 已知两个